32. Математическое описание диффузионных процессов в твердых телах. Законы диффузии.
Процесс диффузии в п/п технологии – направленный перенос атомов примесей, обусловленный тепловым хаотическим движением при наличии градиента концентрации примесей.
Математическое описание диффузионных процессов – законы Фика
(1855 г.), которые применимы к описанию идеальных газов и растворов. В
большинстве случаев диффузия в п/п – одномерный процесс, т.к. глубина диффузии по направлению оси х значительно меньше размеров площади, на которой она происходит (в направлении осей) y и z:
Полупроводниковая структура с диффузионным слоем: w – толщина кристалла; xj – глубина залегания p-n-перехода
1-ый закон Фика – характеризует скорость проникновения атомов одного вещества в другое:
где
J |
x |
|
J |
|
D |
dN |
, |
|
x |
dx |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
– плотность потока или число атомов вещества, переносимых в
1
единицу времени через единичную площадь, с см2 ;
D
– коэффициент
см |
2 |
|
dN
1
диффузии, |
с |
; |
dx |
– градиент концентрации диффундирующих атомов, |
см |
4 |
|
||||||
|
|
|
|
. Знак «минус» – диффузия происходит в направлении убывания концентрации
(совпадает с направлением оси x), а градиент направления в обратную сторону.
2-ой закон Фика – определяет скорость накопления диффундирующей примеси в любой плоскости, перпендикулярной направлению диффузии, как функцию времени:
где времени.
dN dt
dN |
|
d |
|
D |
dN |
, |
dt |
|
|
|
|||
|
dx |
|
dx |
|
||
– изменение концентрации диффундирующей примеси во
Профиль распределения концентрации примесей
Если коэффициент диффузии D считать постоянным (такое допущение справедливо в большинстве случаев диффузии в полупроводниках, а для примесей в кремнии это соответствует N ≤ 1019 см–3). то 2-ой закон Фика примет вид:
dN |
|
2 |
N |
|
||
D |
d |
. |
||||
dt |
dx |
2 |
||||
|
|
|||||
|
|
|
||||
Коэффициент диффузии численно равен плотности потока атомов вещества при единичном градиенте концентрации. Так как диффузионный поток атомов вещества идет в направлении выравнивания перепада концентрации, то коэффициент диффузии D является мерой скорости, с
которой система способна при заданных условиях выровнять разность концентраций. Коэффициент диффузии в общем случае может зависеть от кристаллографического направления. Однако свойства таких материалов, как кремний, германий, арсенид галлия, имеющих кубическую кристаллическую решетку, можно считать изотропными. Законы Фика справедливы в макроскопическом приближении без рассмотрения детальных взаимодействий между атомами примесей и полупроводника. Однако
количественные параметры этого взаимодействия учитываются зависимостью коэффициента диффузии от температуры:
|
|
D D exp |
|
|
E |
, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
ln D ln D |
E |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
где |
D |
– значение коэффициента диффузии при T ; |
E |
– энергия |
||||||
0 |
||||||||||
активации процесса диффузии (складывается из высоты потенциального барьера, необходимого для перехода атома на место вакансии, и энергии
|
k 8, 625 10 5 |
эВ |
|
|
образования вакансии), эВ; |
К – постоянная Больцмана; T – |
|||
|
||||
температура, К. |
|
|
|
|
Температурные зависимости коэффициентов диффузии примесей
Значение энергии активации для наиболее часто используемых примесей составляет единицы электронвольт. Как коэффициент D0, так и
энергия активации |
E |
процесса диффузии определяются физико- |
|
химическими свойствами вещества, в котором происходит диффузия, а также физико-химическими свойствами диффундирующих примесей.
Получить решение уравнения 2-го закона Фика, т. е. найти зависимость распределения концентрации примесей N(x,t) от координаты за время t, в
аналитическом виде невозможно. Для расчета профиля распределения примесей необходимо использовать численные методы.
Коэффициенты диффузии примесей в кремнии
Вид примеси |
Коэффициент диффузии |
|
|
Алюминий Al |
|
|
|
|
|
4,8·exp (–3,44/kT) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мышьяк As |
|
|
|
|
|
|
68,6·exp (–4,25/kT) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Бор B |
|
|
|
|
|
|
0,544·exp (–3,425/kT) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Галлий Ga |
|
|
|
|
|
|
3,6·exp (–3,49/kT) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сурьма Sb |
|
|
|
|
|
|
5,6·exp (–3,92/kT) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Фосфор P |
|
|
|
|
|
|
3,85·exp (–3,66/kT) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dN |
|
d |
2 |
N |
|
|
|
D |
|
. |
||||
|
dt |
dx |
2 |
||||
Решение уравнения |
|
в зависимости от начальных и |
|||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
граничных условий дает разные виды распределения концентрации примесей в полупроводнике. Наибольший практический интерес представляют два частных случая этого решения, которые характеризуют соответственно две стадии диффузии в технологии изготовления полупроводниковых структур.
Первый случай представляет собой диффузию из неограниченного источника
(загонка примесей), а второй носит название диффузии из ограниченного источника (разгонка примесей).