Otvety_na_ekzamenatsionnye_voprosy_OPT_2022 (1)
.pdf
28. Математическое описание диффузионных процессов в твердых
телах. Законы диффузии.
Математическое описание диффузионных процессов в виде двух законов, основанных на уравнениях теплопроводности, впервые было предложено в 1855 г. немецким ученым А. Фиком применительно к идеальным газам и растворам. Эти законы и лежат в основе макроскопической теории диффузии примесей в полупроводниках.
В большинстве случаев диффузия в полупроводниках может быть представлена как одномерный процесс. На практике это означает, что глубина диффузии (например, вдоль оси x) значительно меньше размеров площади, на которой она происходит (в направлении осей y и z) (рис. 1.1).
Уравнения в одномерном приближении:
Первый закон Фика - если примесь вводится в приповерхностную область кристалла, то создается градиент концентрации и возникает направленный поток частиц,
стремящийся выровнять их концентрацию. Этот процесс описывается первым уравнением Фика.
Данный закон характеризует скорость проникновения одного вещества в другое. 
Знак «-» показывает, что диффузия происходит в направлении убывания концентрации N (совпадает с направлением оси x), тогда как градиент концентрации направлен в сторону увеличения концентрации (не совпадает с направлением оси x). Необходимо обратить внимание на то, что плотность
101
потока определяется как разностью концентраций dN в точках с координатами x1 и 0, так и расстоянием dx между ними.
Второй закон Фика - определяет скорость накопления диффундирующей примеси в любой плоскости, перпендикулярной направлению диффузии, как функцию времени
Оно связывает распределение примеси во времени с распределением по координате.
Для одномерного случая:
(1.2)
Где dN/dt – изменение концентрации диффундирующей примеси во времени.
Коэффициент диффузии численно равен плотности потока атомов вещества при единичном градиенте концентрации.
Так как диффузионный поток атомов вещества идет в направлении выравнивания перепада концентрации,
то коэффициент диффузии D является мерой скорости, с которой система способна при заданных условиях выровнять разность концентраций.
Коэффициент диффузии в общем случае может зависеть от кристаллографического направления.
Однако свойства таких материалов, как кремний, германий, арсенид галлия,
имеющих кубическую кристаллическую решетку, можно считать изотропными. Уравнения (1.1) и (1.2) справедливы в макроскопическом приближении без рассмотрения детальных взаимодействий между атомами примесей и полупроводника.
Однако количественные параметры этого взаимодействия учитываются коэффициентом диффузии, представляемым обычно соотношением:
102
Значение энергии активации для наиболее часто используемых примесей составляет единицы электронвольт. Как коэффициент D0, так и энергия активации процесса диффузии ∆E определяются физикохимическими свойствами вещества, в котором происходит диффузия, а также физико-
химическими свойствами диффундирующих примесей. 2-ой З.Ф.
предполагает зависимость коэффициента диффузии D от концентрации примесей. Получить решение этого уравнения, т. е. найти зависимость распределения концентрации примесей N (x, t) от координаты за время t, в
аналитическом виде невозможно. Для расчета профиля распределения примесей необходимо использовать численные методы с применением ЭВМ.
Если коэффициент диффузии D считать постоянным (такое допущение справедливо в большинстве случаев диффузии в полупроводниках, а для примесей в кремнии (табл. 1.1) это соответствует N ≤ 1019 см–3, то (1.2) примет вид:
Однако и для этого уравнения получить аналитическое решение удается только в некоторых, хотя и очень важных с практической точки зрения,
частных случаях.
103
104
29. Распределение примесей при диффузии. Стадия «загонки»
(введение примесей).
Решение уравнения 
в зависимости от начальных и граничных условий дает разные виды распределения концентрации примесей в полупроводнике. Наибольший практический интерес представляют два частных случая этого решения, которые характеризуют соответственно две стадии диффузии в технологии изготовления полупроводниковых структур.
Первый случай представляет собой диффузию из неограниченного источника (загонка примесей)
Второй носит название диффузии из ограниченного источника (разгонка примесей).
Модель диффузии из неограниченного источника(загонка)
В случае проведения диффузии из неограниченного источника примесей
(загонка примесей) на поверхности полупроводниковых пластин (x = 0)
поддерживается постоянная концентрация примесей, т. е. N (0, t) = Ns = const
при любом времени проведения диффузии. Отметим, что в литературе этот способ проведения диффузии имеет различные названия: диффузия при постоянной концентрации примесей на поверхности, диффузия из источника неограниченной мощности и др. Профиль распределения концентрации примесей по глубине кристалла после проведения процесса диффузии в течение времени t1 при постоянном коэффициенте диффузии D1 (постоянной температуре процесса) описывается с помощью распределения по дополнительной функции ошибок (erfc-распределения):
Символом erfc обозначена функция дополнения интеграла ошибок до единицы (сокращение от error function complementary). Между нею и функцией ошибок erf существует зависимость:
105
Глубина залегания p-n-перехода xj, иначе говоря, металлургическая граница p-n-перехода, определяется как расстояние от поверхности в глубь полупроводника, на котором концентрация введенных примесей N (x; t) равна концентрации примесей в исходном полупроводнике Nисх, т. е. при x = xj N(xj; t) = Nисх.
Количество диффузанта Q, см–2, введенное в полупроводниковую пластину за время проведения диффузии t1 при температуре диффузии Т1 и
отнесенное к единице площади диффузионного слоя, определяется выражением:
Рассматриваемый случай соответствует таким технологическим процессам, когда примесь на поверхности полупроводника постоянно восполняется взамен продиффундировавшей в глубь полупроводника. Такая ситуация реализуется, например, при проведении диффузии методом открытой трубы, когда диффузант вводят в газ-носитель в виде пара или газа,
либо источник примеси предварительно наносят на поверхность полупроводника, как это происходит при диффузии из неорганических пленок, резистов-диффузантов. При этом источник не успевает истощиться за время проведения диффузии. В реальных структурах Ns1 может достигать при данной температуре предельной 8 растворимости, равной 1019…1021 см–3, в
то время как исходная концентрация примесей в полупроводнике Nисх =
106
1014…1016 см–3. Поэтому распределение примесей N(x, t) удобнее изображать не в линейном (рис. 1.4, б), а в полулогарифмическом (рис. 1.4, а)
масштабе.
Из уравнения (1.5) видно, что распределение примесей N(x, t) зависит как от температуры T1 (от T1 зависит коэффициент диффузии D1), так и от времени диффузии t1. О скорости диффузии примесей удобно судить,
например, по глубине залегания p-n-перехода xj (при этом Na = Nd). Если положить постоянной температуру диффузионного процесса T1 (D1 = const),
то по мере увеличения времени диффузии t1 примеси будут все глубже проникать в глубь полупроводника (рис. 1.5, а). Аналогично будет выглядеть распределение примесей, если изменять T1 при постоянном времени проведения диффузии t1 (рис. 1.5, б). Иначе говоря, при изменении любого параметра T1 или t1 получаем качественно одно и то же распределение. Это позволяет сделать следующие выводы.
Во-первых, совершенно очевидно, что будет справедливо и распределение, представленное на рис. 1.5, в. Таким образом, получен важный параметр, характеризующий диффузионный процесс, – произведение D1t1,
или параметр √1 1 , имеющий размерность длины.
Данный параметр называют «длиной диффузии», подразумевая, что на этой длине концентрация примесей уменьшится по сравнению с поверхностной Ns1 в е раз (е = 2,72) за время диффузии t1 (по аналогии с диффузионной длиной неосновных носителей заряда в полупроводниках).
107
Во-вторых, распределение концентрации примесей не изменится, если,
например, D1 увеличится в 2 раза, а t1 уменьшится во столько же раз, или 9
наоборот. Следовательно, технологический процесс диффузии примесей в полупроводник характеризуется не отдельно температурой T1 или временем t1, а обобщенным параметром D1t1 (или √1 1). С теоретической позиции безразлично, какой из параметров изменяется: T1, t1 или оба. С практической
– удобнее поддерживать постоянной температуру T1, что соответствует выводу на определенный температурный режим диффузионной печи, а для достижения необходимой глубины залегания p-n-перехода следует изменять время процесса t1. При разработке технологического процесса следует иметь в виду, что на глубину залегания p-n-перехода сильнее влияет изменение температуры (так как D ~ exp T), чем времени.
108
30. Распределение примесей при диффузии. Стадия «разгонки»
(перераспределение примесей).
Целью первого этапа диффузии является введение в полупроводник точно контролируемого количества примеси, которое будет служить ограниченным источником на втором этапе процесса. При этом поверхностная концентрация примеси на границе x = 0 все время остается постоянной и равной N0. Начальное условие для решения второго уравнения Фика может быть записано в виде
а граничное как:
Распределение концентрации примесей в диффузионном слое описывается функцией Гаусса:
где Q – количество примесных атомов, введенное при загонке; D2 –
коэффициент диффузии, соответствующий температуре проведения диффузии при разгонке примесей T2; 2t – время разгонки примесей.
Поверхностная концентрация примесей:
109
соответствует значению концентрации примесей N (0, t2) по окончании процесса разгонки,
происходящего при температуре
T2(D2) в течение времени t2.
Очевидно, что если изменится время t2 или температура T2
процесса, то Ns2 также изменится
(рис. 1.6, а и б). Распределение легирующей примеси при изменении обобщенного параметра D2t2 , очевидно,
будет иметь вид, представленный на рис. 1.6, в.
Следовательно, диффузию примесей из ограниченного источника Q
можно рассматривать как процесс перераспределения примесей, введенных на первом этапе диффузии при постоянной поверхностной концентрации Ns1 .
Таким образом, распределение примесей в полупроводниковых структурах,
изготовленных методом двухстадийной диффузии при последовательных процессах загонки и разгонки в полупроводниковом материале с Nисх = const,
определяется поверхностной концентрацией Ns1 на этапе загонки примесей,
коэффициентами диффузии D1 и D2 и временем проведения диффузионных процессов t1 и t2 на этапах загонки и разгонки примесей.
При прочих равных условиях увеличение времени загонки примесей t1 ′ >t1 (рис. 1.7) приводит к увеличению количества диффузанта Q (1.6). Поэтому увеличение времени разгонки будет слабее влиять на поверхностную
110