В общем виде линеаризованное дифференциальное уравнение, описывающее элемент, можно записать следующим образом
|
dny(t) |
|
|
dn- 1y(t) |
|
dy(t) |
|
|||
a 0 |
dtn |
a1 |
dtn-1 |
... a n- 1 |
dt |
a n y(t) = |
||||
|
dmx(t) |
|
|
|
dkf(t) |
|
(1.5) |
|||
= b |
|
... bm x(t) + c0 |
... + ck f(t) , |
|||||||
0 dtm |
|
dtk |
|
|||||||
где
y(t), x(t), f(t) - выходная и входная величины элемента и внешнее воздействие; ai, bi, ci - постоянные коэффициенты;
n, m, k - порядок уравнения, ( n m,k )
Введем алгебраизированный символ дифференцированияp = dtd
Заменим в (1.5) дифференциал на р, а y(t) вынесем за скобку
|
(a |
pn + a |
pn -1 |
+…+a |
n-1 |
p+a ) y(t) = |
(1.6) |
||||
= (b pm +b |
0 |
1 |
|
|
|
|
n |
pk-1 +…+c ) f(t) |
|||
pm-1 +…+b |
m |
) x(t) + (c |
pk +c |
|
|||||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
k |
|
|
В общем случае в соответствии с (1.6) уравнение элемента можно представить в форме
|
|
|
D(p) y(t) = N(p) x(t) + M(p) f(t) |
(1.7) |
|||||
D(p) = |
n |
a |
pn -i |
N(p) = |
m |
b pm - i |
M(p) = |
k |
c pk - i |
|
|
|
|||||||
|
i 0 |
i |
|
|
i 0 |
i |
|
i 0 |
i |
полиномы степени n, m, k от символа дифференцирования p
Первая стандартная форма записи
Дифференциальное уравнение имеет вид
выходная величина и ее |
= |
входные величины и все остальные |
производные |
члены |
|
|
|
|
выходная величина y(t) должна иметь коэффициент равный единице
(a pn + a pn -1 +…+a |
p+a ) y(t) = |
(1.6) |
||
0 |
1 |
n-1 n |
||
|
||||
= (b0pm +b1pm-1 +…+bm) x(t) + (c0pk +c1pk-1 +…+ck) f(t)
Чтобы привести уравнение (1.6) к такому виду, разделим левую и правую его части на an и получим
( )=¿
Вторая стандартная форма
записи (Операторный метод или метод Лапласа)
решение дифференциальных уравнений сводится к алгебраическим действиям
вдифференциальном уравнении
1.вместо реальных функций времени записать их изображения по Лапласу
2.в полиномах символ дифференцирования p
заменить на оператор Лапласа s
Пьер-Симон Лаплас
(1749-1827)
Оператор Лапласа
Оператор Лапласа s представляет собой комплексную величину
s=c+j
c=Re s - абсцисса абсолютной сходимости
=Im s –угловая частота, имеющая размерность [рад/с]
Для перехода от реальных функций времени - оригиналов к их изображениям по Лапласу и наоборот вводят
Прямое интегральные преобразование
X s L[x(t)]= x(t)e- stdt
0
Обратное интегральные преобразования
y(t) = L- 1[Y(s)]= |
1 |
c+ j |
|
Y(s)est ds |
|||
j 2 |
|||
|
c- j |
(1.7)
D(p) y(t) = N(p) x(t) + M(p) f(t)
дифференциальное
уравнение реальных функций времени
(1.9)
D(s) Y(s) = N(s) X(s) + M(s) F(s)
Алгебраическое уравнение изображений функций времени по Лапласу
Обозначим |
|
|
M(s) |
|
|
W (s) N(s) |
W (s) |
передаточные функции |
|||
|
|||||
x |
D(s) |
f |
D(s) |
|
|
|
|
|
|||
(1.9) принимает вид второй стандартной записи
Y(s) = Wx(s) X(s) + Wf(s) F(s)
Если f(t) = 0, то F(s) = 0 и тогда W |
x |
(s) = |
Y(s) |
|
|
X(s) |
- передаточная функция элемента по входу Х
Eсли x(t)=0, то X(s)=0 и тогда W |
(s) = |
Y(s) |
f |
|
F(s) |
- передаточная функция элемента по входу F
