Линеаризация
И уравнения статики, и уравнения динамики могут быть линейными или нелинейными. Если уравнение нелинейное, то оно подлежит линеаризации.
Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называют
линеаризацией
Нелинейное ≈ Линейное уравнение уравнение
Линеаризация уравнений динамики
В• общем случае при наличии одной выходной (у) и нескольких входных величин (х) динамика элемента (системы) описывается
дифференциальным уравнением (для двух x1 и x2)
где F —некоторая нелинейная функция; n, m, l —целые натуральные числа, определяющие наивысший порядок входящих в уравнение производных входной и выходной величин по времени.
Линеаризация уравнений динамики
Для• реальных систем порядок дифференциального уравнения n > m и n> l.
Линеаризацию нелинейных дифференциальных уравнений осуществляют методом малых отклонений. При этом вместо абсолютного значения переменных в уравнении используют их отклонения от начального значения
В результате уравнение становится линейным и при одной входной величине ∆x может быть записано в виде
a0...an, b0...bm - постоянные коэффициенты
Линеаризация уравнений статики
Линеаризация нелинейных статических характеристик осуществляется несколькими способами:
•Метод касательной.
•Метод малых отклонений.
Метод касательной.
Основан на замене участка кривой прямой линией, касательной к этой кривой в точке A (x0, у0), называемой рабочей
точкой и находящейся в середине рабочего диапазона изменения ∆х.
Линеаризация дифференциальных уравнений
y |
Это рабочая |
= ( ) |
|
точка |
∆ = − 0 |
||
|
|||
y0 |
Δy |
∆ = − 0 |
|
|
( ) ≈ 0 + |
||
|
|
||
yn |
|
= ′ ( 0 ) |
|
|
y(t) k x(t) |
||
|
|
||
|
Δx |
Геометрический смысл линеаризации: |
|
|
|
Замена кривой на касательную к ней |
|
|
|
прямую в рабочей точке |
x0 x
Метод малых отклонений
•Основан на разложении аналитической функции у =f(x) в ряд Тейлора и отбрасывании малозначащих членов.
Таким образом, получаем линеаризованное уравнение
где
В общем случае получаем уравнение элемента системы
f(t)
x(t) 
y(t)
элемент
Получим динамическое уравнение произвольного нелинейного типа
F y, y, y G x, x, f
F y, y, y G x, x, f
Разложив его в ряд Тейлора получим
( ) |
|
F |
+ |
F |
|
|
+ F |
|
y |
|
|
|||||
F y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
y |
|
|
|
|||
|
0 |
|
y |
0 |
y |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|||
= ( |
0 ,f0 |
) |
|
G |
+ |
|
G |
+ |
|
G |
f |
+ R |
||||
G x |
|
x 0 x |
x |
0 x |
f |
|
||||||||||
где R – остаток ряда
