Процесс преобразования нелинейных Лианеризация уравнений в линейные называют
лианеризацией
Нелинейное ≈ Линейное уравнение уравнение
Пусть существует нелинейная зависимость
y(t) F(x(t))
Изобразим y(t) графически
Линеаризация дифференциальных
уравнений |
|
y(t) F(x(t)) |
||
y |
Это рабочая |
|
||
Δy |
|
x(t) x0 x(t) |
||
|
точка |
|
||
|
|
|
|
|
y0 |
Δy |
|
y(t) y0 y(t) |
|
|
y yn kx |
|||
Δx |
dy |
|||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
yn |
|
|
|
dx |
|
|
y(t) k x(t) |
||
|
|
|
||
|
Δx |
|
Геометрический смысл линеаризации: |
|
|
|
|
Замена кривой на касательную к ней |
|
|
|
|
прямую в рабочей точке |
|
x0 x
Составим уравнение элемента системы
f(t)
x(t) 
y(t)
элемент
Получим динамическое уравнение произвольного нелинейного типа
F y, y, y G x, x, f
F y, y, y G x, x, f |
(1.1) |
|
|
|
|
Допустим, что установившиеся значения переменных y, x и f являются постоянными величинами y0, x0, f0, характеризующими установившийся режим и определяющими
рабочую точку элемента. |
|
x(t) x0 x(t) |
|
x x0 const |
Для текущих |
||
y y0 const |
y(t) y0 y(t) |
||
координат тогда |
|||
f f0 const |
запишем |
f f0 f (t) |
|
Где x(t), y(t), f (t) отклонения от положения равновесия |
|||
из (1.1) получим уравнение статики элемента |
|
||
F y0 G x0 , f0 |
(1.2) |
|
|
F y0 G x0 , f0
для линеаризации (1.2) разложим его в ряд Тейлора
Рядом Тейлора называют ряд функции y(x) следующего вида
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
n |
(x0 ) |
|
y(x) y(x ) |
y (x0 ) |
(x |
x ) |
y (x0 ) |
(x |
x )2 |
... |
|
(x x )n |
||
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
1! |
|
0 |
2! |
|
0 |
|
|
n! |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Применим (1.1) к ряду Тейлора
F y, y, y G x, x, |
f |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
F |
+ |
F |
|
|
+ F |
|
|
y |
|
|
|
||||||
F y |
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
y |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|||||
= ( |
0,f0 |
) |
|
G |
|
+ |
|
G |
+ |
|
G |
f |
+ R |
(1.3) |
|||||
G x |
|
x 0 x |
x |
0 x |
|
f |
|
|
|||||||||||
где R – остаток ряда
Вычтем из (1.3) – (1.2)
|
F |
|
|
F |
y+ |
|
|
|||
|
|
|
y+ |
|
|
|
||||
|
y 0 |
|
|
y 0 |
|
|
||||
= |
G |
+ |
G |
|
+ |
|||||
|
|
x |
0 x |
|
x |
0 x |
|
|||
Fy 0 |
y |
|
|
G |
0 |
f |
(1.4) |
f |
|
||
Сравним уравнения (1.1) и (1.4)
F y, y, y G x, x, f
(1.1)
1.Точное уравнение
2.Уравнение относительно y, x, f
3.Уравнение нелинейное
|
F |
|
F |
y+ |
F |
y |
|
|
|
y+ |
|
y 0 |
|||
|
y 0 |
|
y 0 |
|
|
0 f |
|
|
G |
|
G |
|
G |
||
= x |
0 x+ x |
0 x+ f |
|||||
|
|
|
(1.4) |
|
|
|
|
1.Уравнение приближенное
2.Уравнение относительно отклонений от т.(x0,y0)
3.Линейное уравнение
4.При изменении т. (x0,y0), изменятся все угловые коэффициенты
Формы записи дифференциал ьных уравнений
В общем виде линеаризованное дифференциальное уравнение, описывающее элемент, можно записать следующим образом
|
dny(t) |
|
|
dn- 1y(t) |
|
dy(t) |
|
|||
a 0 |
dtn |
a1 |
dtn-1 |
... a n- 1 |
dt |
a n y(t) = |
||||
|
dmx(t) |
|
|
|
dkf(t) |
|
(1.5) |
|||
= b |
|
... bm x(t) + c0 |
... + ck f(t) , |
|||||||
0 dtm |
|
dtk |
|
|||||||
где
y(t), x(t), f(t) - выходная и входная величины элемента и внешнее воздействие; ai, bi, ci - постоянные коэффициенты;
n - порядок уравнения, ( n m,k )
Введем алгебраизированный символ дифференцированияp = dtd
Заменим в (1.5) дифференциал на р, а y(t) вынесем за скобку
|
(a |
pn + a |
pn -1 |
+…+a |
n-1 |
p+a ) y(t) = |
(1.6) |
||||
= (b pm +b |
0 |
1 |
|
|
|
|
n |
pk-1 +…+c ) f(t) |
|||
pm-1 +…+b |
m |
) x(t) + (c |
pk +c |
|
|||||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
k |
|
|
В общем случае в соответствии с (1.6) уравнение элемента можно представить в форме
|
|
|
D(p) y(t) = N(p) x(t) + M(p) f(t) |
(1.7) |
|||||
D(p) = |
n |
a |
pn -i |
N(p) = |
m |
b pm - i |
M(p) = |
k |
c pk - i |
|
|
|
|||||||
|
i 0 |
i |
|
|
i 0 |
i |
|
i 0 |
i |
полиномы степени n, m, k от символа дифференцирования p
Первая стандартная форма записи
Дифференциальное уравнение имеет вид
выходная величина и ее |
= |
входные величины и все остальные |
производные |
члены |
|
|
|
|
выходная величина y(t) должна иметь коэффициент равный единице
(a pn + a pn -1 +…+a |
p+a ) y(t) = |
(1.6) |
||
0 |
1 |
n-1 n |
||
|
||||
= (b0pm +b1pm-1 +…+bm) x(t) + (c0pk +c1pk-1 +…+ck) f(t)
Чтобы привести уравнение (1.6) к такому виду, разделим левую и правую его части на an и получим