ЛР заочники / ЛР1

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТИПОВЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Передаточная функция САУ

Наиболее распространенным методом описания и анализа АСУ является операционный метод (метод операционного исчисления), в основе которого лежит прямое интегральное преобразование Лапласа для непрерывных функций:

Это преобразование устанавливает соответствие между функцией действительной переменной t и функцией комплексной переменной s = + j . Функцию f(t), входящую в интеграл Лапласа (1), называют оригиналом, а результат интегрирования, функцию F(s), – изображением функции f(t) по Лапласу. Преобразование выполнимо лишь для функций, которые равны нулю при t 0. Формально это условие обеспечивается умножением функции f(t) на единичную ступенчатую функцию 1(t) или выбором начала отсчета времени с момента, до которого f(t) = 0.

Наиболее важными свойствами преобразования Лапласа при нулевых

Преобразование выполнимо лишь для функций, которые равны нулю при t 0. Формально это условие в ТАУ обеспечивается умножением функции f(t) на единичную ступенчатую функцию 1(t) или выбором начала отсчета времени с момента, до которого f(t) = 0.

Операционный метод в ТАУ получил широкое распространение, так как с его помощью определяют, так называемую, передаточную функцию, которая является самой компактной формой описания динамических свойств элементов и систем.

Как правило, исходная линейная система автоматического управления описывается уравнением следующего вида:

где ai, bi – постоянные коэффициенты; x(t) – выходной сигнал; u(t) – входной сигнал. Операторное преобразование данного уравнения дает следующий результат:

откуда получаем дифференциальный оператор вида

где K(s), D(s) – степенные полиномы. Дифференциальный оператор W(s) называют передаточной функцией. Она определяет отношение выходной величины системы к входной в каждый момент времени, поэтому ее еще называют динамическим коэффициентом усиления. В установившемся режиме d/dt = 0, то есть s = 0, поэтому передаточная функция превращается в коэффициент передачи звена K = bm/an.

Передаточная функция – отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях.

Знаменатель передаточной функции D(s) называют

характеристическим полиномом (уравнением). Его корни, то есть значения s,

при которых знаменатель D(s) обращается в нуль, а W(s) стремится к бесконечности, называются полюсами передаточной функции.

Числитель K(s) называют операторным коэффициентом передачи. Его корни, при которых K(s) = 0 и W(s) = 0, называются нулями передаточной функции.

Звено САУ с известной передаточной функцией называется динамическим звеном. Оно изображается прямоугольником, внутри которого записывается выражение передаточной функции. То есть это обычное функциональное звено, функция которого задана математической зависимостью выходной величины от входной в динамическом режиме. Для звена с двумя входами и одним выходом должны быть записаны две передаточные функции по каждому из входов. Передаточная функция является основной характеристикой звена в динамическом режиме, из которой можно получить все остальные характеристики. Она определяется только параметрами системы и не зависит от входных и выходных величин.

Типовые динамические звенья

Типовые динамические звенья (ТДЗ) – совокупность элементарных, универсальных математических функций, наиболее часто используемых при построении динамических моделей реальных объектов. Как правило, уравнения, описывающие работу ТДЗ в динамике, определяются в виде передаточных функций, связывающих входной и выходной сигналы звеньев (см. рис. 1). Это существенно упрощает и унифицирует описание различных

динамических объектов, которые можно представить в виде ТДЗ. Обычно передаточные функции записываются не для временного представления, а для представления Лапласа, связывая в этом варианте не сигналы (т. е. не функции времени), а их изображения.

Основные типовые динамические звенья и их передаточные функции приведены в табл. 1.

Временные характеристики динамических звеньев

Временные характеристики определяют вид изменения выходного сигнала при подаче на вход звена типового управляющего воздействия. Это позволяет сравнивать свойства звеньев в динамических режимах работы.

Временные свойства звена определяются его переходной и импульсной переходной характеристиками.

Рис. 1. Представление ТДЗ Основной временной функцией, используемой в качестве типового

Для автоматических систем 1(t) является распространенным видом входного воздействия. Как правило, подобные воздействия сопровождают процессы включения систем и вызывают переходы от одного установившегося состояния к другому.

Переходная функция или характеристика h(t) – переходный процесс на выходе линейной системы, возникающий при подаче на вход единичной ступенчатой функции 1(t) .

Кроме ступенчатого сигнала часто в качестве типового управляющего воздействия используют, так называемую, дельта-функцию Дирака. Дельтафункция Дирака (t) – математическая функция, заданная условиями:

Иначе говоря, (t) – это импульс с бесконечно большой амплитудой и бесконечно малым временем длительности, площадь которого равна 1. Для автоматических систем является менее распространенным видом входного воздействия, чем единичная ступенчатая функция.

Из определений функций 1(t ) и (t) очевидна связь между ними:

Результат воздействия дельта-функции на САУ в виде переходного процесса на выходе ТДЗ или линейной системы называется функцией веса и обозначается как . Поскольку получить дельта-функцию довольно сложно, в качестве нее можно рассматривать короткий импульс достаточно высокого уровня.

Для соответствующих типовых реакций:

s = poly(0, 's'); H1 =(1+2*s)/s^2

W1 = syslin('c', H1)

H2 = (1+2*s+s^2)/s^2

W2 = syslin('c', H2)

Пример 2:

s = poly(0, 's');

W1 = syslin('c', 1+2*s, s^2)

W2 = syslin('c', 1+2*s+s^2, s^2)

Пример 3:

W1 = syslin('c', 1+2*%s, %s^2)

W2 = syslin('c', 1+2*%s+%s^2, %s^2)

Для исследования временных характеристик используется функция csim, предназначенная для моделирования линейной системы

[y [,x]] = csim(u, t, sl),

где u – функция управления, принимает значения ‘step’ или ‘impulse’ в зависимости от вызываемой временной характеристики;

t – действительный вектор, характеризующий время; t(1) – начальное время x0=x(t(1));

sl – передаточная функция, представленная функцией syslin.

Далее рассмотрим в качестве примера моделирование апериодических звеньев первого порядка с различными значениями постоянных времени. Результат моделирования в виде переходных характеристик приведен на рис.

2.

Пример:

//построение переходных характеристик

//апериодического звена 1-го порядка K = 1; // коэффициент усиления

T1 = 0.1; // постоянные времени

T2 = 0.5;

T3 = 1;

W1 = syslin('c', K/(T1*%s + 1));// задать ПФ

W2 = syslin('c', K/(T2*%s + 1));

W3 = syslin('c', K/(T3*%s + 1));

t = 0:0.05:5; // временной интервал

h1 = csim('step', t, W1); // моделирование подачи h2 = csim('step', t, W2); // на вход ПФ

h3 = csim('step', t, W3); // ступенчатого воздействия // построение графиков

xbasc(); //очищение графического окна plot(t, h1, 'r', t, h2, 'g', t, h3, 'b'); xgrid(2); // установка сетки на графике // установка подписей графика и осей xtitle('h(t)', 'time, c', 'h(t)');

legend('T=0.1', 'T=0.5', 'T=1'); // подпись легенды

Функция plot, позволяет построить график. В ней через запятую перечисляются аргумент, функция и цвет.

Рис. 2. Переходные характеристики апериодических звеньев в SciLab

Рекомендации по моделированию дифференцирующего звена с

замедлением и изодромного звена

При моделировании переходных и импульсных характеристик с помощью скрипт-языка в среде SciLab возможны трудности в виде некорректного расчета и представления результатов моделирования. Для корректного моделирования необходимо изменить передаточные функции реального дифференцирующего звена и изодромного звена. Передаточная функция реального дифференцирующего звена с замедлением может быть

Скрипт для моделирования переходной характеристики дифференцирующего звена с замедлением:

num = 1D-10;

K = 2; T = 0.1;

W = syslin('c', (K*%s+num)/(num*%s^2+T*%s+1)); t = 0:0.001:1;

y = csim('step', t, W); plot(t, y); xgrid(1);

xtitle('h(t)', 'time, c', 'h(t)');

Результат работы скрипта представлен на рис. 3.

Рис. 3. Переходная характеристика дифференцирующего звена с замедлением

Для изодромного звена передаточная функция должна быть изменена

следующим образом: W (s) = K (Ts +1) .

es2 + s

Скрипт для моделирования переходной характеристики изодромного звена:

num = 1D-10; K = 1; T = 2;

W = syslin('c', K*(T*%s+1)/(num*%s^2 +%s)); t = 0:0.001:1;

y = csim('step', t, W); plot(t, y); xgrid(1);

xtitle('h(t)', 'time, c', 'h(t)');

Результат работы скрипта представлен на рис. 4.