Задачи / kuznecov-nd-chistyakov-vs-sbornik-zadach-i-voproso

отсчитано 430 °С, термо-ЭДС

для 430 °С градуировки ХК: . составляет

34,12 мВ, с учетом поправки

34,12

0, 65) =33,47 мВ.

_Q.QРеделяем значение температуры t=422,75°С.

•1 О["&:> Определим оценку

наиболее вероятного значения перепада

~=

84,15 + 84 ,06 + 83,8 0 + 83,90+ 83,94 + 84,10+ 84, 02+84,03

Лр

8

Эта погрешность называется дополнительной, так как она вызвана

отклонением одной из влияющих величин (напряжения питания) от

нор 1ального значения.

давления

составляет 4 кПа.

01.6. Изменение барометрического

Так как измерительные приборы манометрических термометров измеря­

ют избыточное давление, то показания

прибора будут завышены на

4 кПа. Шкала газового термометра равномерная, и

по давлению дна-

78

определяется через класс [( и

диапазон

измерения Хк-Хн потенцио­

,\!етра:

Для потенциометров погрешность выражает я в милливольтах [2]:

Хн = Е (600°С , 0 °С)= 49,1 1 м1

Хн=

Е (200 °С, 0"С)= 14,59 мВ;

Ло

= 47,1 1- 1 4 ,59

О,5= 0, 1726 мВ.

lOO

Предел относ11тслыюii погрешности на от:vrеткс 550 °С

0

=

Л

0

) 1

00=

о, 1726

100=0,,386%.

о

Е

0

,О

(530

С

44,71

Предел допускаемой абсолютной погрешности одинаков для всех

отметок шкалы,

тогд,а как предел относительной погрешности упеличн­

вается к началу шкалы.

Например, на отметке 300°С

О

1 726

00= 0,

00

=

,88

1

734%.

2

79

Поэтому диапазон измерения прибора нужно выбирать таким об­

разом, ,ч:rqбы измеряемая величина находилась в конечной ч:асти шкалы.

, 0101''0: Найдем оценку наиболее вероятного значения времени на­

полнения

бака [формула (1.3)}

,3 + 95 ,1 + 9Б,2 +95,3

't=

94,5

+

94,8 + 94,7 + 95 ,2 + 94,9

+ 95

9

= 95с.

Половина ширины доверительного интервала Бр для распределения

Стьюдента определяется по формуле (l.7)

0 ,0825 =

Ер= 3,36

/-

-

0,32 С.

Расход

1

9

Q= V/t. Измерения объема V

определяется по формуле

и времени 't являются взаимонезависимыми,

поэтому погрешность гра-

,.,,,

Л= ± 1/(¾ лv)2 +( л.)2 =

,

= ±V( 09): )2 + ( :lо,з2)2 =± О, 018 л/с.

".,,,,

.

01.11., Сопротивден:ие% термопреобразователя Rt =Rк (U1/Uк). Паде-

ние напряжения на образцовой катушке Ик =IО-3=30 мВ. Сопротивде­

ние

термопреобразоватедя при t=100 °С (табд. П.18)

1 oa=

13,9jl13 Ом.

Падение напряжения на термопреобразоватеде V1=13,9113-3=41,73 мВ.

Оценим предел допускаемой погрешности определения сопротивле­

ния термопреобразователя по формуле (1.1)

ЛRt!Rt У

(ЛRнlRн) + (ЛUt!Ut)2 + (ЛИн/Uн)2 •

Тогда ЛRк/Rк<О,01(10=0,001 (по

условию). ЛИ1

подсчитывается по

формуле

ЛИ1=±(5•10-4 41,73+0,5·0,05)=±0,0459 мВ;

отношение

ЛU1/U1<.±0,00l1, или ±0,11 %.

Величина ЛИ«<± (5- l0-4,30+0,5X

ХО,05) =±0,04

мВ; отношение .ЛИ"/U"..;;:±0,0013, или ±0,13 %. Значе-

ние

ЛR1/R1<± у' (0,001)2+ (0,0011)2+ (?,0013)2=0,00197,

откуда

ЛR1<0,0274 Ом.

Точность

измерения сопротивления достаточно высока, однако из­

м нение сопротивления термопреобразоваtеля при изменении температу­

ры от О

до 100

°С также невелико и составдяет 3,9113 Ом, поэтому от­

носительная

погрешность измерения· сопротивления

уже

ооставляет

o=ЛR1((R100-Ro) l00=0,0274/3,9113· 100 = 0,7 %,

что

ооответствует

2 "S)

-

80

лw

0,795

--=--100 =±О g,J%,

01.14. Определим

W

24•3,5

преобразования термопреобразо­

коэффициент

>1Вателя:

a=50· =0"214 Ом/К.

S=ЛRt!Лt=R0

Возможную погрешность измерения температуры оцею\:васм как по­

грешность косвенного измерения по формуле (1.1):

ЛRt= V

(д°i; ЛR0)

+ (да Ла)2=

'

-. f

Rt

2

дR.t

.Vo

+ at)2 ЛR5 + (R.o tла)2 .

Таюr'м образом, пределы

допускаемых

значений погрешности мед­

•ного тсрмопреобразователя сопротивления, обусловленные отклоненпя­

ми R.o и

°а от номинальных°

значений,° составляют: при

t=100 °С Лt=

=±0,8!3

С; при f=150 C Лt=±0,922

С.

01.15. В связи с тем что все измеряемые параметры определяются

с допускаемыми отклонениями, которые можно считать предельными

значениями погрешности, и сам коэффициент теплоотдачи может быть

оце·нен с ка15им-то пределом допускаемой погрешности. Коэффициент

теплоотдачи определяется как результат косвенных измерений пара­

метров Q,

F,

tc ,и tв . Поэтому

рредел допускаемой абсолютной погреш­

ности определения коэффициента теплоотдачи может быть подсчитан

из выражения [формула (l.l)l

Лак= l 1/

( дак_ ЛQ)2+ ( дак_ЛF)2

-1- (

дак_ Лtс)2+

(' дак_ Лtв)2.

V

м

'

/2

Оценим предел суммарной погрешности Леs измерения температу­

в предположении, что погрешности термометра и потенциометра

ляются независимыми величинами. Тогда

=± 0,203 мВ,

что

Леz =Vле; + Ле; = i/0,22 +О,0322

соответствует

Лt= ±2,9 °С или Лt/Лtс = ±0,0 145. Сопротивление

трубки R определялось по измеренной температуре в соответствии с вы­

ражением

R = R0 (1 + at) .

Погрешность определения значения R обусJiовлена погрешностью

прибора, измеряющего сопротивление, и по1'решностью измерения тем­

пературы. Составляющая погрешности, обусловленная погрешностью

прибора, не превышает

ЛRп=± 0,002R0 (] + at);

при Ro=0,5 Ом, а=4• 10-13 к-1 и t=200 °С

ЛR.п=±О,0018 Ом.

погрешностью

измере­

Составляющая погрешности, обусловленная

ния температуры, не превышает

Ос еним предел суммарной погрешности определения сопротивления

нагреваемой

трубки по ее температуре, полагая, что погрешность

гра­

дуировки

трубки и погрешность измерения температуры·- независимые

величины:

V

Л z

R

=

ЛR;+ЛR =±Vo,001s +o,0058

=±0,006Q6 ом

1ти в относительных величинах ЛRт, /R=±0,00673.

6*

83

Теперь можно оценить погрешность определения количества тепло-

7Ы, передаваемой от трубки к воздуху,

откуда

Q = 12 R = 422 ,0,9 = 1588 Вт,

ЛQ = ( :; Л/

( ; ЛR

=

V(2·0,9 -42- 0,0."J)2 + ( 422 -0,006 06)2

=±ll ,34 Вт.

Оценим предел погрешности определения поверхности теплообме.

на F:

F = ndl = 3,14·0, 1 ,

,1 = 0,00314 м ;

ЛF = v

0

О

2

(,ддFd·Лd)2

( ддFlлt)2 =

г

=±

V

(3,14-о,1.0,0001)

2

2

. 0 6

2

+(3,14-0,01.0,0005)

=±1е, 1 -

м •

дан -----=--1--= 3, 98 1/(м2·К);

дQ - F Uc -tв) 3,14-10---3·80

Q

1588

6

4

---

- ---

= 2,013,10

Вт/(м •К);

дF

2

3

(3,14-10- ) 80

f (tc-tв)

дан

= ---'Q

l_53_3__ = 7

В

/

2•

2

F(tc-tв)

3,14-10-3·802

9,02

т

(м

К )

( 3,98, 11,34)

2 +

( 2,013·

16)

2+

9

9

)

2

+

( 79,02,0,5)

2

=

l'lctи =±

( 7 ,02,2,

=±239 ,06 Вт/(м2•К).

Расчетный коэффициент теплоотдачи

Q

=

1588

=6321,7 Вт/(м2 •К).

а:и=---'=---

0,00314( 200-120)

F (tc--tв)

Предел допускаемой относительной погрешности

Лсtи

239 ,06

l

ОО + 3

0

б

= --=±

--

,78i'O•

u

R

6321,7

c.t

или

78,72

б0

=±--100=±1' 24% .

6321,7

Лв<Л<Л. можно оценить с помощью нормальной функции распредел ­

ния (табл. П .1)

или [4]:

Л

в

Х

-Ф*

Ли

Хо

ер

(Ли<Л<Л )=Ф*

;

В

(

:-

о

)

(

:-

в

)

Вер(-0,15<Л<+0,15)=Ф* (

0,1 5-0,12

) -

0

О

,О8

-

0,15-0,12

-Ф*

(____;...._)=0,64615-0,0003.J=0,6458.

0,08

Таким образом, вероятность того, что отклонение измеренного значения

от действительного не превышает 0,15 МПа, составляет 64,58%.

01.18. Ход решения аналогичен 01.17:

(°•

;в° )­

I!ep (-0,

1 5<Л< + 0,15) = Ф*

1

*

- ,l 5-0

O

=

-

4=

Ф

(

0,9696

0,030

-

0,08

)

0,9392,

т. е. вегоятность того, что измеренное значение нс будет отличаться

от действительного более чем на 0,15 МПа, составляет 93,9 %.

Рассмотренная задача пок

азывает, целесообразность устранения си­

стематической

погрешности.

01.19. По условию погрешность изм рения температуры распреде•

лена по нормальному закону с параметрами Хо=-6 °С и 0"=8°С. За­

данный интерва)! -10<Л<+ 10. Для определения вероятности исполь­

зуем нормальную функцию распределения

10-6

-

Л<+

1 0)=Ф

Вер(-1 0<

*

(

-

-

)

8

-Ф•

-10-6

,

2

(

8

)=0,977 -0,3085=0,6687, или 66,87%.

Такая вероятность может оказаться недостаточной. Для ее повы­

шения необходимо устрани'Ть смещение стрелки, после чего вероятность

будет

.

<+

10) = Ф*

10-0

-

Вер(-1 0<Л

(

-

8

-

)

-Ф*

-10

-

0

=0,8944-0,10<J6=0,7888, или 78 ,88%.

(

8

)

Л;, мВ

Р;

li

дi' мВ

Р;

li

0,09

9,0

1

1),16

0,625

6

0,01

2

0,08

о, 11

1,375

7

0,02

о, 105

5,25

3

0,04

0,09

2,25

8

0,04

0,095

2,375

4

0,02

о, 1 1

5,0

9

0,08

0,085

1,0625

5

0,01

11,0

10

о, 16

О,115

0,7188

рину их,

а в предложенной задаче ширина различная. Для построения

гистограммы по оси

абсц сс откладываются интервалы и на каждом

интервале как н_а основ нии строится прямоугольник. Площадь каждо­

го прямоугольника р

вна частоте Pi данного интервала (частота р; paв­

Jia отношению количества значений в интервале n1 к общему ·числу

значений n в выборке Pi=ni/n). Следов тельно, для построения гисто­

гр

аммы нужно частоту р; каждого

интервала разделить на его ш рину

Л;

и полученное числе взятт, в качестве

высоты

прямоугольника

l;.

В

табл. 01.1 приведены значения высот. Общее число наблюдений n=

=200.

Вид гистограммы (рис. O1.l)

показывает, что предложенное экс-

li

периме/пальное р спределение не

может описываться

законом рав-

номерной плотности.

закл ;:;с:а а : м. в:tа:ь:и:::ио 5

брать теоретическую кривую рас­

пределения, наилучшим обра зом

описывающую экспериментальное

0

статистическое распределение. На ­

fJ,7

9,8 9,9

t

пример, метод моментов заключ .

10 10,f 10,2 E ,M6

ется в подборе нескольких важ­

Рнс. Ot.t

нейших

числовых характеристик

(моментов ) теорет ческого распре-

момента м экспериментального рас-

деления, равных

соответствующим

11ределения. Если для выр;шн в н я используется нормальный закон, то

такими числовым

характеристикам и

являются математическое ожида­

ние Хо н

дисперсия

D, которые должны быть равны соответствующим ,...

статистическ м характерист кам ';

и 5. При большом числе измерений

среднее значение

можно вычислить по приближенной формуле [4],

~

k

,

Х= Х;Р;

i=I

Табли ц а

01.4

4,983

о

0,0037

0,0037

5,013

0,

6186

0,6171

0,0014

0,0058

4,986

0,0087

0,0028

5,016

0,7251

0,7244

0,0007

4,989

0,0154

0,0189

0,0035

5,019

0,8199

0,8133

0,0063

4,992

0,0344

0,0367

0,0023

5,022

0,8850

0,8830

0,002@

4,995

0,0664

0,0681

0,0017

5,025

0,9348

0,9319

0,0029

4,998

О,1138

о,

1170

0,0032

5,028

0,9644

0,9633

0,0011

5,001

о,1837

о,

1867

о,оозо

5,031

0,9822

0,9812

O,OOlO

5,004

0,2749

0,2756

0,0007

5,034

0,9940

0,9913

0,0027

5,007

О,3839

0,3827

0,0012

5,037

0,9999

0,9963

0,0036

5,010

0,5000

0,5000

0,0000

Функцию

Fn(xi)

на

границе

интервала

опредешнот

как

накопленную

сумму

частот

всех

интервалов,

стоящих на

гистограмме

,1евее

этой

границы:

Fn(xi

)

= Pi·

Значения

F n(Xi)

на

границах

1

приведены

в

табл.

01.4.

интервалов

с

Значения теоретической

функции

распределения

F(х)

определяются

помощью нормальной функции распределения

)

= Ф*

(

х,

:-

Хо

)

·

Пользуясь

F (х;

{см.

F(xi)

и

К.i=

зIJачениями

01.21), определяют

= IFn(x;)-F(xi)

1 на границах интервалов.

Все эти

значения приведе­

ны в табл.

01.4.

Максимальный К=О,0063,откуда

Величина

л = k Уп=о,оов3V844 = о, 183.

л=О,183 вписывается

в

любые

границы для доверитель­

ной вероятности, большей

0,01. Поэтому

согласие опытною

и теорети­

ческого

распределения считается

хорошим.

При использовании

таблиц

6

1

след е

помнить

,

что

ем

мень

е

л

*,

при

оторой выполняется

не

[

у

т

ч

ш

к

­

равенство

л.,;;.л*, тем

лучше

совпадение

теоретического и опытного

рас­

пределения.

равномерной плотности определяется выражением [41

01.23.

Закон

)

=

{

с при

а < х < ;

f(х

О при); < а или х > ,

где с=

1

--- ,

f',-CG

\

Математическое ожидание

и

дисперсия подсчитываются

по фор­

мулам

а+в

Хо =-2--;

таким образом,чтобы хо

При выравнив.ании следует выбрать а и fl

и D были равны статистическому среднему

х' и статистической диспер­

сии!); В нашем случае

-;(=

20

Р; =0,00500;

D

Х;

20

(

)"

= 0,09957.

=