Вкладка 7
Разработка приложений искусственного интеллекта в киберфизических системах
6 (29.10.2025)
Лямбда исчисления - Это механизм формального описания любого алгоритма в соответствии с декларативной концепцией функционального языка. Формализация - это описание алгоритма на формальном языке объективность и синтаксис которого позволяют однозначно описать все действия и их последовательность.
Haskell на сто процентов соответствует семантике лямбда исчисления.
В лямбда исчислении - нет встроенных констант, элементарных операторов, условных выражений и циклов, чисел.
Методы построения лямбда выражений:
● Первый метод - метод применения или аппликации. Аппликация - это применение функции к входным данным.
● Второй метод - метод абстракции. Является способов ввода
неименованной(анонимной) функции. Если аргумент x в выражении F(X) не используется, то в выражении лямбдаX.F - выражает собой постоянное значение(константу) со значением F.
Бета эквивалентность или бето редукция - под бета эквивалентностью или бета редукции понимается подстановка конкретного значения аргумента в функциональное выражение.
Каррирование позволяет записывать функции нескольких аргументов в обычные лямбда анотации.Функция сначала применяется только к первому аргументу
!!!Что такое формализация, применение, абстрацуия, что такое бето эквивалентность, в каком порядке выполняется.(подстановка применяется в порядке каррирования).
Переменные в лямбда выражениях могут быть свободными или связанными.
Ввыражении вида x^2+x - переменные x являются свободными. То есть значение этого
выражения зависит от значения переменной x и в лучшем случае её нельзя переименовывать.(глобальная)
Ввыражения таких как интеграл(o,x) sinYdY переменная Y является локальной, вместо
Y можем использовать любое наше значение. (локальная)
Вкаком либо подвыражении переменая может быть свободной, однако во всём выражении она может быть связана какой либо операцией связывания переменной. Например такой как операция суммирования или интегрирования. Та часть выражения которая находится внутри операции связывания называется областью видимости переменной.
Процесс переименования переменной называется альфа редукции или альфа преобразованием, и выражения отличающиеся друг от друга только именами локальных переменных(связанных переменных) называются альфа эквивалентными.
!!!Могут дать пример.
Логика лямбда исчисления.
Единственным типом данных в лямбда исчислении являются функции. Одни функции могут быть введены на базе других.
Выражения которые создаются нотаций лямбда исчисления с помощью метода операции аппликации и абстракции называются лямбда термами. В качестве лямда термов могут выступать следующие объекты:
● Переменные ● Константы ● Аппликации ● Абстракции
● Комбинации указанных выше объектов
Если переменная X находится в теле F лямбда абстракции вида лямбда X.F то есть является локальной переменной функции(выражения), то она называется связанной. Если же эта переменная является глобальной, то есть находится во внешней зоне видимости, то эта переменная называется свободной.
Связанные переменные можно переименовывать с точностью до альфа редукции или альфа эквивалентности.
Термы, все переменные которых связаны, называются комбинаторами.
Термы которые отличаются друг от друга только именами связанных переменных, называются альфа эквивалентными или альфа равнозначными.
Вычисление терма сводится к последовательности преобразований, которые называются редукциями.
Таким образом в лямбда исчислении есть две базовые редукции:
Альфа редукция - переименование переменной. Чтобы не было в выражении двузначности толкование при вычислении функции.
Бета редукция - подстановка терма в выражение вместо обобщенного параметра.
Нормальная форма лямбда терма не содержит ни одного бета-редекса. Бета-редекс это применение абстракции(возможность применения абстракции к определенному терму который имеет вид
Не все последовательности редукций приводят к нормальной форме если она есть.
Если начать последовательность редукций с самого левого и с самого внешнего редекса в указанной бесконечной последовательности редукций, то сразу получается Y и терм приводится к нормальной форме.
Теорема 1: Если выражение С приводится к выражению Т, где выражение Т находится
в нормальной форме, то последовательность редукций построенной таким образом
чтобы всегда выбирался самый левый и самый внешний редекс гарантированно
приведёт терм С к нормальной форме.
Теорема 2: Если выражение Т приводится в форме С1 и при этом выражение Т приводится к форме С2, то при этом существует терм W, такой что выражения C1 и С2 приводятся к W.
Следствие 1: Если Т1 = Т2, то существует терм W такой что T1 приводится к W и T2
приводится к W. Под равенством принимается совпадение с точностью до альфа
редукции.
Следствие 2: Если выражение Т приводится к нормальной форме Т1 и вместе с тем приводится к нормальной форме Т2, то эти две формы T1 и Т2 альфа эквивалентны.
Способ редукции лямбда терма при котором на каждом шаге выбирается самый левый и самый внешний бета редекс называется нормальной редукционной стратегией.
Аппликативная редукционная стратегия это способ редукции лямбда терма, при котором на каждом шаге выбирается простейший бета редекс не содержащий никаких бета редексов. Аппликативная работает быстрее за счёт того что каждый бета редекс редуцируется только один раз и не дублируется.
Базовые программные конструкции в нотации лямбда-исчисления.
Как известно условный оператор if имеет следующий вид: If C(С -булевое выражение) then A else B.
- эта запись соответствует тому, что абстракция
интерпретируется ассоциативно вправо.
Примеры:
