экз линал, 1 сем, 2025-2026

35БИЛЕТ 36. Существование для симметрического оператора ортонормированного базиса из собственных векторов

Теорема (спектральная теорема): Для любого симметрического оператора A в конечномерном евклидовом пространстве E существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

Доказательство (индукцией по размерности n):

•База: n = 1. Любой нормированный вектор является собственным (т.к. одномерное пространство инвариантно).

•Предположение: теорема верна для всех пространств размерности < n.

•Шаг: Рассмотрим оператор A в n-мерном пространстве E. По теореме 1 (билет 35) суще-

ствует хотя бы одно действительное собственное значение λ1. Пусть e1 — соответствующий собственный вектор единичной длины: Ae1 = λ1e1, e1 = 1.

•Рассмотрим ортогональное дополнение L = {x E | (x, e1) = 0}. Это подпространство

размерности n − 1 инвариантно относительно A: для любого x L имеем (Ax, e1) = (x, Ae1) = λ1(x, e1) = 0, значит Ax L.

•Ограничение оператора A на L является симметрическим оператором в L. По предпо-

ложению индукции в L существует ортонормированный базис (e2, . . . , en) из собственных векторов этого ограничения.

•Тогда система (e1, e2, . . . , en) — искомый ортонормированный базис E из собственных векторов A.

Следствие (матричная формулировка): Для любой симметрической матрицы A существует ортогональная матрица U (U = U−1) такая, что

U AU = Λ = diag(λ1, . . . , λn),

где λi — собственные значения A. Столбцы U — координаты собственных векторов в исходном ортонормированном базисе.

61

36БИЛЕТ 37. Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Изменение матрицы при изменении базиса

Определение: Квадратичной формой на линейном пространстве V над R называется функция Q : V → R, которая в некотором (и любом) базисе e = (e1, . . . , en) записывается как однородный многочлен второй степени от координат:

nn

=1 j=1

где x = x1e1 + · · · + xnen.

Симметрическая матрица формы: Квадратичная форма однозначно определяется симметрической матрицей A = (aij). Тогда

x1

Q(x) = X AX, X = ... .

xn

Доказательство единственности: Любой однородный многочлен второй степени можно представить с симметричной матрицей, положив aij = 12 коэффициента при xixj для i ̸= j.

Изменение матрицы при замене базиса: Пусть e′ = eT — новый базис (T — матрица перехода). Координаты вектора преобразуются: X = T X′. Тогда

Q(x) = (T X′) A(T X′) = (X′) (T AT )X′.

Следовательно, матрица формы в базисе e′ равна A′ = T AT .

Определение: Матрицы A и A′, связанные соотношением A′ = C AC с невырожденной C, называются конгруэнтными.

62

37БИЛЕТ 38. Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду

Теорема (метод Лагранжа): Любую квадратичную форму Q(x) можно невырожденным линейным преобразованием переменных привести к виду

Q(y) = λ1y12 + · · · + λnyn2 ,

где λi {−1, 0, 1}.

Доказательство (алгоритм):

• Если a11 ̸= 0, выделим полный квадрат по переменной 1x:

• Если a11 = 0, но существует aii ̸= 0, переобозначаем переменные.

• Если все диагональные элементы нулевые, но есть aij ̸= 0 (i ̸= j), делаем заменуi =x ui + uj, xj = ui − uj, после чего появляется ненулевой квадрат.

•Повторяем процесс для формы Q1 от меньшего числа переменных.

•В конце делаем замену zi = p|λi|yi для ненулевых λi, получая коэффициенты ±1.

Закон инерции (Сильвестр): Число p положительных, число q отрицательных и число r нулевых коэффициентов в нормальном виде не зависят от способа приведения.

L(e1, . . . , ep) и L2 = L(fp′ +1, . . . , fp′ +q′ ). Если p′ > p, то dim L1 + dim L2 > n, значит L1 ∩L2 ̸= {0}. Но для ненулевого вектора из пересечения форма должна быть одновременно > 0 и ≤ 0 —

противоречие. Аналогично доказывается p = p′, q = q′.

63

38БИЛЕТ 39. Положительно определённые и отрицательно определённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра

Определения: Квадратичная форма Q(x) (и её матрица A) называется:

•положительно определённой, если Q(x) > 0 для всех x ̸= 0;

•отрицательно определённой, если Q(x) < 0 для всех x ̸= 0;

•неопределённой — в остальных случаях.

Критерий Сильвестра: Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все её угловые миноры (главные миноры) положительны:

Доказательство необходимости: Если форма положительно определена, то её ограничение на подпространство первых k координат также положительно определено. Матрица этого ограничения — угловой минор порядка k. Её определитель положителен как произведение положительных собственных значений.

Доказательство достаточности: Индукция по n. Для n = 1 очевидно. Предположим, что для форм от n −1 переменных критерий верен. Рассмотрим форму от n переменных с положительными угловыми минорами. По предположению её ограничение на первые n−1 переменных положительно определено. Методом Якоби можно привести форму к виду

где ∆0 = 1. По условию все ∆k > 0, значит все коэффициенты положительны, т.е. форма положительно определена.

Критерий для отрицательно определённой формы: Форма отрицательно определена

знаки угловых миноров чередуются, начиная с отрицательного: ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, . . .

Доказательство: Форма Q(x) отрицательно определена тогда и только тогда, когда форма −Q(x) положительно определена. Матрица −Q есть −A. Применяя критерий Сильвестра к −A, получаем указанное условие.

Связь с собственными значениями: Форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A положительны (поскольку в ортонормированном базисе форма имеет диагональный вид с собственными значениями на диагонали).

64