экз линал, 1 сем, 2025-2026

что в матричной форме записывается как Y = AX.

Следствия:

1.Линейный оператор полностью определяется своей матрицей в данном базисе.

2.Операции сложения операторов и умножения оператора на скаляр соответствуют аналогичным операциям над их матрицами.

3.Композиции операторов A ◦ B соответствует произведение их матриц AB.

Доказательство для композиции: Пусть C = A ◦ B. Если C, A, B — матрицы операторов

C, A, B в базисе e, то для любого x с координатным столбцом X имеем:

Cx = A(Bx) = A(BX) = (AB)X,

следовательно, C = AB.

•Таким образом, после выбора базиса каждый линейный оператор однозначно представляется квадратной матрицей, и действие оператора сводится к умножению этой матрицы на столбец координат вектора.

51

26БИЛЕТ 27. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса

Пусть A : V → V — линейный оператор в n-мерном пространстве V над полем F . Рассмотрим

два базиса: старый e = (e1, . . . , en) и новый e′ = (e′1, . . . , e′n). Пусть T — матрица перехода от e к e′, т.е. e′ = eT (столбцы T — координаты векторов e′j в базисе e). Обозначим через A матрицу

оператора A в базисе e, а через A′ — в базисе e′.

Теорема (преобразование матрицы оператора): Матрицы A и A′ связаны формулой подобия:

Доказательство: Пусть x V — произвольный вектор. Обозначим:

•X — столбец координат x в базисе e,

•X′ — столбец координат x в базисе e′,

•Y — столбец координат образа y = Ax в базисе e,

•Y ′ — столбец координат y в базисе e′.

Из билета 25 (переход к другому базису) имеем связи:

Подставим (2) в (3): T Y ′ = A(T X′) Y ′ = T −1AT X′. Сравнивая с (4), получаем A′X′ = T −1AT X′ для любого столбца X′, откуда следует равенство матриц A′ = T −1AT .

•Таким образом, при замене базиса матрица оператора преобразуется по формуле подобия

(1). Матрицы, связанные таким соотношением, называются подобными.

52

27БИЛЕТ 28. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристическое уравнение

Определения: Пусть A : V → V — линейный оператор. Ненулевой вектор x V называется собственным вектором оператора A, если существует скаляр λ F такой, что

Скаляр λ называется собственным значением оператора A, соответствующим собственному вектору x.

Характеристическое уравнение: Зафиксируем базис e = (e1, . . . , en) в V и пусть A — матрица оператора A в этом базисе. Пусть X — столбец координат вектора x в базисе e. Тогда условие (1) в матричной форме записывается как

где E — единичная матрица порядка n. Уравнение (2) представляет собой однородную систему линейных уравнений относительно координат вектора x. Ненулевые решения существуют тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы равен нулю:

Определение: Уравнение (3) называется характеристическим уравнением оператора A

(или матрицы A). Многочлен

χA(λ) = det(A − λE) = (−1)nλn + · · · + det A

называется характеристическим многочленом оператора (матрицы).

Теорема: Число λ0 F является собственным значением оператора A тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена χA(λ) в поле F .

Доказательство: Непосредственно следует из эквивалентности условий (1) и (3) через матричную запись (2).

•Таким образом, для нахождения собственных значений нужно решить характеристическое

уравнение (3). Для каждого найденного собственного значения λ0 собственные векторы находятся как ненулевые решения однородной системы (A − λ0E)X = 0.

53

28БИЛЕТ 29. Свойство собственных векторов линейного оператора

Теорема 1 (линейная независимость): Собственные векторы x1, x2, . . . , xk, отвечающие попарно различным собственным значениям λ1, λ2, . . . , λk, линейно независимы.

Доказательство: Проведём индукцию по числу векторов k.

•База: k = 1. Единственный собственный вектор x1 ̸= 0 по определению, поэтому линейно независим.

•Предположение: утверждение верно для k − 1 векторов.

• Шаг: Рассмотрим линейную комбинацию α1x1 + · · · + αkxk = 0 (1). Применим к (1)

α1(λ1 − λk)x1 + · · · + αk−1(λk−1 − λk)xk−1 = 0.

По предположению индукции векторы x1, . . . , xk−1 линейно независимы, поэтому αi(λi −

λk) = 0 для всех i = 1, . . . , k − 1. Поскольку λi ̸= kλ, получаем αi = 0. Подставляя в (1), имеем αkxk = 0, откуда αk = 0 (так как xk ̸= 0). Таким образом, все iα= 0, и векторы

линейно независимы.

Теорема 2 (собственное подпространство): Для фиксированного собственного значения

λ0 множество всех собственных векторов, отвечающих λ0, вместе с нулевым вектором образует линейное подпространство пространства V , обозначаемое Vλ0 и называемое собственным

подпространством.

Доказательство: Пусть x, y Vλ0 , т.е. Ax = λ0x, Ay = λ0y. Тогда для любых α, β F :

A(αx + βy) = αAx + βAy = αλ0x + βλ0y = λ0(αx + βy).

Следовательно, αx + βy Vλ0 . Значит, Vλ0 — подпространство.

Замечание: Размерность dim Vλ0 называется геометрической кратностью собственного значения λ0.

54

29БИЛЕТ 30. Условия приведения матрицы к диагональному виду

Определение: Матрица A (и соответствующий оператор A) называется диагонализируемой над полем F , если она подобна диагональной матрице, т.е. существует невырожденная матрица S такая, что

S−1AS = Λ = diag(λ1, λ2, . . . , λn).

Теорема 1 (критерий диагонализируемости): Матрица A диагонализируема над F тогда и только тогда, когда в пространстве V существует базис, состоящий из собственных векторов оператора A.

Доказательство:

•( ) Пусть S−1AS = Λ. Столбцы матрицы S — это координаты векторов f1, . . . , fn некоторого нового базиса f в старом базисе e. Тогда равенство AS = SΛ покоординатно означает Afj = λjfj, т.е. fj — собственные векторы.

•( ) Если f1, . . . , fn — базис из собственных векторов: Afj = λjfj, то матрица оператора в этом базисе диагональна: A′ = diag(λ1, . . . , λn). Если S — матрица перехода от старого базиса e к f, то A′ = S−1AS.

Теорема 2 (условие через характеристический многочлен): Для диагонализируемости матрицы A над F необходимо и достаточно, чтобы:

1.Все корни характеристического многочлена χA(λ) лежали в поле F .

2.Для каждого собственного значения λi алгебраическая кратность ki (кратность корня в χA(λ)) равнялась геометрической кратности di = dim Vλi .

Доказательство: Необходимость условия 1 очевидна: диагональные элементы подобной матрицы — корни χA(λ). Условие 2 следует из того, что сумма геометрических кратностей не превышает n, и равенство Pdi = n достигается только при di = ki для всех i.

Достаточность: если условия 1 и 2 выполнены, то можно выбрать базис в каждом собственном подпространстве Vλi . Объединение этих базисов даст n линейно независимых собственных векторов (по теореме 1 билета 29 векторы из разных подпространств независимы, а внутри одного

— независимы по построению), т.е. базис из собственных векторов.

Следствие: Если характеристический многочлен имеет n различных корней в F , то матрица диагонализируема (так как для каждого корня алгебраическая кратность ki = 1, и di ≥ 1, следовательно di = 1).

55

30БИЛЕТ 31. Евклидовы и унитарные пространства. Неравенство Шварца. Геометрия евклидовых пространств

Определение евклидова пространства: Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если на нём задано скалярное произведение — вещественнозначная функция (x, y), определённая для каждой пары x, y E и удовлетворяющая аксиомам:

1.(x, y) = (y, x) (симметричность),

2.(λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) для любых λ, µ R (линейность по первому аргументу),

3.(x, x) ≥ 0, причём (x, x) = 0 x = 0 (положительная определённость).

Определение унитарного пространства: Комплексное линейное пространство U называется унитарным, если на нём задано эрмитово скалярное произведение — комплекснозначная функция (x, y), удовлетворяющая:

1.(x, y) = (y, x) (эрмитова симметричность),

2.(λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) для любых λ, µ C (линейность по первому аргументу),

3.(x, x) ≥ 0 (вещественное число), причём (x, x) = 0 x = 0.

Теорема (неравенство Коши–Буняковского–Шварца): Для любых векторов x, y евклидова (унитарного) пространства выполняется:

Равенство достигается тогда и только тогда, когда x и y линейно зависимы.

Доказательство: Рассмотрим вещественный случай (евклидово пространство). Для любого вещественного t рассмотрим квадратичную функцию:

f(t) = (x + ty, x + ty) = (x, x) + 2t(x, y) + t2(y, y) ≥ 0.

Дискриминант этого квадратного трёхчлена (относительно t) должен быть неположительным:

D = 4(x, y)2 − 4(x, x)(y, y) ≤ 0,

что даёт (1). Равенство D = 0 означает, что f(t0) = 0 для некоторого t0, т.е. (x+t0y, x+t0y) = 0, откуда x + t0y = 0 — линейная зависимость. Для унитарного пространства доказательство аналогично, но рассматривается f(t) = (x + ty, x + ty) для t C или используется трюк с параметром λ.

Геометрические понятия: На основе скалярного произведения вводятся:

•Норма (длина) вектора: x = p(x, x).

•Угол между ненулевыми векторами в евклидовом пространстве: cos φ = x(x,y·)y (корректность следует из неравенства Шварца, т.к. правая часть по модулю ≤ 1).

•Расстояние: ρ(x, y) = x − y .

•Ортогональность: x y (x, y) = 0.

56

31БИЛЕТ 32. Ортогональный и ортонормированный базисы. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта

Определения: Система векторов {e1, . . . , ek} в евклидовом (унитарном) пространстве называется:

•ортогональной, если (ei, ej) = 0 при i ̸= j;

•ортонормированной (ОНБ), если она ортогональна и ei = 1 для всех i, т.е. (ei, ej) =

δij.

Теорема (процесс ортогонализации Грама–Шмидта): Любую конечную линейно независимую систему векторов {f1, . . . , fm} в евклидовом (унитарном) пространстве можно преобразовать в ортогональную систему {g1, . . . , gm}, а затем в ортонормированную {e1, . . . , em}, причём линейные оболочки L(f1, . . . , fk) = L(g1, . . . , gk) для каждого k = 1, . . . , m.

Доказательство (построение): Определим векторы gk рекуррентно:

Проверим ортогональность: пусть j < k. Вычислим скалярное произведение (gk, gj), подставив выражение для gk:

Таким образом, (gk, gj) = 0 при j ̸= k. Система {ig} ортогональна, все gi ̸= 0 в силу линейной

независимости {fi}. Чтобы получить ортонормированную систему, полагаем ei = gi .

gi

Следствие: В любом конечномерном евклидовом (унитарном) пространстве существует ортонормированный базис. Достаточно применить процесс Грама–Шмидта к произвольному базису пространства.

Замечание: Коэффициенты (fk,gi) называются коэффициентами Фурье вектора fk относительно ортогональной системы {g1, . . . , gk−1}.

57

32БИЛЕТ 33. Ортогональные линейные операторы. Ортогональные матрицы

Определение: Линейный оператор A в евклидовом пространстве E называется ортогональным, если для любых векторов x, y E выполняется:

Эквивалентные условия: Следующие утверждения равносильны:

1.A — ортогональный оператор.

2.Ax = x для всех x E.

3.A переводит любой ортонормированный базис (ОНБ) в ОНБ.

4.Матрица A оператора A в любом ОНБ удовлетворяет A A = E.

Доказательство эквивалентности:

•(1) (2): положить y = x в (1).

•(2) (1): используем тождество (x, y) = 14 ( x + y 2 − x − y 2).

•(1) (4): пусть e = (e1, . . . , en) — ОНБ. Тогда aij = (Aej, ei). Условие (1) для базисных векторов означает (Aei, Aej) = δij, что в матричной форме равносильно A A = E.

•(4) (3): столбцы матрицы A — координаты векторов Aej в базисе e. Условие A A = E означает, что эти столбцы образуют ортонормированную систему, т.е. Ae — ОНБ.

Определение ортогональной матрицы: Квадратная матрица A называется ортогональной, если A A = E (или A = A−1).

Свойства ортогональных матриц:

•Столбцы (и строки) ортогональной матрицы образуют ортонормированную систему.

•| det A| = 1, так как det(A A) = (det A)2 = det E = 1.

•Произведение ортогональных матриц ортогонально: (AB) (AB) = B A AB = B EB =

E.

58

33БИЛЕТ 34. Симметрические операторы. Свойства их матриц

Определение: Линейный оператор A в евклидовом пространстве E называется симметрическим (самосопряжённым), если

Матричная характеристика: Пусть e = (e1, . . . , en) — ортонормированный базис, A = (aij)

— матрица оператора A в этом базисе: Aej = Pi aijei. Тогда

aij = (Aej, ei).

Из условия (1) для базисных векторов получаем:

aij = (Aej, ei) = (ej, Aei) = (Aei, ej) = aji.

Таким образом, A = A, т.е. A — симметрическая матрица. Обратно, если A = A, то оператор симметричен.

Свойства:

•Все собственные значения симметрического оператора — действительные числа (доказывается в билете 35).

•Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны (доказывается в билете 35).

•Симметрическая матрица всегда приводима к диагональному виду в некотором ортонормированном базисе (основная теорема — билет 36).

59

34БИЛЕТ 35. Свойства собственных значений и собственных векторов симметрического оператора

Пусть A — симметрический оператор в евклидовом пространстве E.

Теорема 1 (действительность собственных значений): Все корни характеристического многочлена оператора A являются действительными числами.

Доказательство: Пусть λ C — собственное значение, x ̸= 0 — соответствующий собственный вектор (вообще говоря, комплексный). Тогда Ax = λx. Рассмотрим скалярное произведение (Ax, x). С одной стороны,

(Ax, x) = (λx, x) = λ(x, x).

С другой стороны, используя симметричность оператора,

(Ax, x) = (x, Ax) = (x, λx) = λ(x, x).

Таким образом, λ(x, x) = λ(x, x). Поскольку (x, x) > 0, получаем λ = λ, т.е. λ R.

Теорема 2 (ортогональность собственных векторов): Собственные векторы x и y, отвечающие различным собственным значениям λ и µ (λ ̸= µ), ортогональны.

Доказательство: Вычислим двумя способами (Ax, y):

(Ax, y) = (λx, y) = λ(x, y).

Используя симметричность A:

(Ax, y) = (x, Ay) = (x, µy) = µ(x, y).

Таким образом, λ(x, y) = µ(x, y). Поскольку λ ̸= µ, получаем (x, y) = 0.

60