экз линал, 1 сем, 2025-2026

3.Методы вычисления обратной матрицы

1.Метод присоединённой (союзной) матрицы.

•Вычисляем определитель det A. Если det A = 0, то обратной матрицы не существует.

•Находим алгебраические дополнения Aij для всех элементов матрицы A.

•Строим присоединённую матрицу A = (Aji) (транспонированную матрицу из алгебраических дополнений).

•Обратная матрица вычисляется по формуле:

A−1 = det1 AA .

2.Метод элементарных преобразований (метод Гаусса–Жордана).

•Записываем блочную матрицу (A | E) размера n × 2n.

•С помощью элементарных преобразований только строк приводим левый блок к единичной матрице E. Если это невозможно (в левом блоке появляется нулевая строка), то матрица A вырождена и обратной не имеет.

•В результате преобразований получим матрицу (E | B). Тогда B = A−1.

Обоснование: Каждое элементарное преобразование строк эквивалентно умножению слева на некоторую матрицу T . Таким образом, последовательность преобразований соответствует умножению на произведение таких матриц: Tk . . . T1A = E. Отсюда Tk . . . T1 = A−1. Так как те же преобразования применялись к правому блоку E, то Tk . . . T1E = A−1. Следовательно, правый блок и есть A−1.

4. Свойства обратной матрицы

Если A и B — невырожденные матрицы одного порядка, то:

1.(A−1)−1 = A.

2.det(A−1) = det1 A.

3.(AB)−1 = B−1A−1.

4.(AT )−1 = (A−1)T .

41

21 БИЛЕТ 22. Правило Крамера

Правило Крамера применяется для решения квадратных систем линейных уравнений, т.е. систем, в которых число уравнений равно числу неизвестных (m = n).

Доказательство

1.Совместность и единственность: Так как ∆ ̸= 0, ранг основной матрицы равен n. Ранг расширенной матрицы (A|B) не может превышать n (по числу строк), и он не меньше

ранга A. Следовательно,

rang A = rang(A|B) = n.

По теореме Кронекера-Капелли система совместна. Поскольку ранг равен числу неизвестных, решение единственно.

2.Вывод формул: Пусть x1, x2, . . . , xn — решение системы. Умножим каждое уравнение системы на алгебраическое дополнение Aij элемента aij определителя ∆ (фиксируем стол-

Следовательно, левая часть равна xj∆. Правая часть есть определитель ∆j, полученный из ∆ заменой j-го столбца на столбец B. Таким образом:

42

3. Формулировка правила: Если ∆ ̸= 0, то система (3) имеет единственное решение:

Вывод: Правило Крамера даёт явное решение квадратной невырожденной системы через определители. Оно является следствием теоремы Кронекера-Капелли и свойств определителей.

43

22БИЛЕТ 23. Свойства решений однородной системы линейных уравнений. Связь решений однородной системы с решениями неоднородной

Однородная система (ОС) всегда совместна, так как всегда имеет тривиальное решение x1 = x2 = · · · = xn = 0. Система имеет вид:

.

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0.

Или в матричной форме: AX = 0.

Теорема (о нетривиальных решениях): Однородная система (1) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ранг r её основной матрицы меньше числа неизвестных n (т.е. r < n).

Доказательство: Существование нетривиального решения равносильно линейной зависимости столбцов матрицы A. По теореме о базисном миноре столбцы линейно зависимы тогда и только тогда, когда не все они являются базисными, т.е. когда r < n.

Следствие: Квадратная (m = n) однородная система имеет нетривиальные решения определитель её основной матрицы равен нулю.

Свойства решений однородной системы:

1. Линейная комбинация решений есть решение. Если столбцы X(1), X(2), . . . , X(s) — ре-

шения системы (1), то любая их линейная комбинация Ps λkX(k) также является решением

(1).

k=1

следовательно, Y — решение.

Следствие: Если ОС имеет хотя бы одно нетривиальное решение, то она имеет бесконечно много решений (достаточно умножить решение на любой скаляр).

2. Множество всех решений образует линейное подпространство. Совокупность всех решений системы (1) является линейным подпространством пространства Fn.

Доказательство: Пусть X(1) и X(2) — произвольные решения, т.е. AX(1) = 0 и AX(2) = 0.

•Сумма решений является решением: A(X(1) + X(2)) = AX(1) + AX(2) = 0 + 0 = 0.

•Умножение на скаляр даёт решение: A(λX(1)) = λAX(1) = λ · 0 = 0 для любого λ F . Оба условия подпространства выполнены.

Связь решений неоднородной и однородной систем: Рассмотрим неоднородную систему

AX = B (2) и соответствующую ей однородную AX = 0 (1).

Теорема (структура общего решения): Если X0 — некоторое (частное) решение неоднородной системы (2), а Y — общее решение соответствующей однородной системы (1), то общее решение неоднородной системы имеет вид:

X = X0 + Y.

44

Доказательство: Пусть AX0 = B и для любого Y из множества решений (1) выполнено AY = 0. Тогда

A(X0 + Y ) = AX0 + AY = B + 0 = B,

т.е. X0 + Y удовлетворяет системе (2). Обратно, любое решение (2) можно представить в таком виде.

Следствие: Разность двух произвольных решений неоднородной системы является решением соответствующей однородной системы. Если X1 и X2 — решения (2), то A(X1 − X2) = AX1 − AX2 = B − B = 0, т.е. X1 − X2 есть решение (1).

•Таким образом, для нахождения общего решения неоднородной системы достаточно знать одно её частное решение и общее решение соответствующей однородной системы.

45

23БИЛЕТ 24. Фундаментальная система решений однородной системы

Определение (ФСР): Пусть дана однородная система AX = 0 с n неизвестными, где rang A = r. Фундаментальной системой решений (ФСР) называется любой набор из k = n − r линейно независимых решений этой системы: X(1), X(2), . . . , X(k). Любое решение однородной системы линейно выражается через ФСР.

Базисные и свободные переменные: Если в матрице A зафиксировать базисный минор, то соответствующие ему столбцы (и неизвестные) называют базисными (или связанными), а остальные неизвестные — свободными.

Теорема (существование ФСР): Для однородной системы AX = 0 с n неизвестными и rang A = r существует ФСР, состоящая из k = n − r решений.

Доказательство: 1. Без ограничения общности считаем, что базисный минор расположен в левом верхнем углу матрицы A (этого всегда можно добиться перестановкой уравнений и переменных). Тогда по теореме о базисном миноре строки с номерами r + 1, . . . , m являются линейными комбинациями первых r строк. Следовательно, если некоторый набор значений переменных удовлетворяет первым r уравнениям, то он автоматически удовлетворяет и всем остальным. Поэтому систему можно заменить эквивалентной, состоящей только из первых r уравнений:

a11x1 + · · · + a1rxr + a1,r+1xr+1 + · · · + a1nxn = 0,

...

ar1x1 + · · · + arrxr + ar,r+1xr+1 + · · · + arnxn = 0.

2. Перенесём свободные переменные xr+1, . . . , xn в правые части:

a11x1 + · · · + a1rxr = −a1,r+1xr+1 − · · · − a1nxn,

... (1)

ar1x1 + · · · + arrxr = −ar,r+1xr+1 − · · · − arnxn.

3.При фиксированных значениях свободных переменных система (1) становится квадратной (r × r) с невырожденной основной матрицей (её определитель — базисный минор). Следовательно, она имеет единственное решение относительно базисных переменных x1, . . . , xr.

4.Построим k = n − r линейно независимых решений, задавая для свободных переменных следующие наборы значений (канонические серии):

X(1) : xr+1 = 1, xr+2 = 0, . . . , xn = 0, X(2) : xr+1 = 0, xr+2 = 1, . . . , xn = 0,

. . .

X(k) : xr+1 = 0, xr+2 = 0, . . . , xn = 1.

Для каждой такой серии находим (единственные) значения базисных переменных из системы

(1). Полученные столбцы X(1), . . . , X(k) являются решениями исходной системы.

5. Эти решения линейно независимы, так как матрица, составленная из последних k координат этих столбцов (соответствующих свободным переменным), является единичной матрицей Ek.

Следствие: Любое решение X однородной системы можно единственным образом представить в виде линейной комбинации решений ФСР:

X = c1X(1) + c2X(2) + · · · + ckX(k),

где коэффициенты ci — значения соответствующих свободных переменных в решении X.

46

•Таким образом, ФСР образует базис линейного подпространства решений однородной системы. Размерность этого подпространства равна n − r.

47

24БИЛЕТ 25. Переход к другому базису в линейном пространстве

Пусть V — линейное пространство размерности n над полем F , и в нём заданы два базиса:

e = (e1, e2, . . . , en) и e′ = (e′1, e′2, . . . , e′n).

Матрица перехода: Так как векторы нового базиса e′ выражаются через старый базис e, то существуют коэффициенты tij F такие, что

столбцами которой являются координаты новых базисных векторов e′j в старом базисе e, называется матрицей перехода от базиса e к базису e′.

Свойство матрицы перехода: Матрица перехода T всегда невырождена (det T ̸= 0).

Доказательство: Если бы столбцы T были линейно зависимы, то из (1) следовала бы линейная зависимость векторов e′1, . . . , e′n, что противоречит тому, что они образуют базис. Следовательно, столбцы линейно независимы, и det T ̸= 0.

Преобразование координат вектора: Пусть произвольный вектор x V имеет в базисах e и e′ координатные столбцы

т.е. x = x1e1 + · · · + xnen = x′1e′1 + · · · + x′ne′n.

Теорема (о преобразовании координат): Координаты вектора при замене базиса связаны формулами:

x = (t11x′1 + · · · + t1nx′n)e1 + · · · + (tn1x′1 + · · · + tnnx′n)en.

Но с другой стороны, x = x1e1 + · · · + xnen. В силу единственности разложения по базису получаем:

48

В матричной форме это и есть X = T X′. Умножая слева на T −1, получаем X′ = T −1X.

Преобразование матрицы перехода при последовательной замене базиса: Пусть есть три базиса: e, e′, e′′, и известны матрицы перехода T1 от e к e′ и T2 от e′ к e′′. Тогда матрица перехода от e к e′′ равна произведению:

T = T1T2.

Доказательство: Если X = T1X′ и X′ = T2X′′, то X = T1(T2X′′) = (T1T2)X′′, что и означает, что матрица перехода от e к e′′ есть T1T2.

•Таким образом, переход к новому базису осуществляется с помощью невырожденной матрицы T . Координаты вектора преобразуются по формулам (2).

49

25БИЛЕТ 26. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Связь координат образа и прообраза

Пусть V — линейное пространство над полем F .

Определение (линейный оператор): Отображение A : V → V называется линейным оператором, если для любых векторов x, y V и любого скаляра λ F выполнены условия:

Эти два условия эквивалентны одному условию линейности:

A(λx + µy) = λAx + µAy, x, y V, λ, µ F.

Примеры: нулевой оператор, тождественный оператор, оператор дифференцирования в пространстве многочленов, оператор поворота на плоскости.

Матрица линейного оператора: Пусть dim V = n и e = (e1, e2, . . . , en) — фиксированный базис в V . Так как Aej V , то этот вектор можно разложить по базису e:

Определение: Матрица A = (aij)n×n, в которой j-й столбец составлен из координат образа Aej базисного вектора ej, называется матрицей линейного оператора A в базисе e.

Теорема (связь координат образа и прообраза): Пусть x V — произвольный вектор,

То есть умножение столбца координат вектора x на матрицу оператора A даёт столбец координат образа Ax.

Доказательство: Пусть x = x1e1 + · · · + xnen. Применим оператор A и используем его линейность и разложение (1):

С другой стороны, y = Pni=1 yiei. В силу единственности разложения по базису получаем:

n

X

yi = aijxj, i = 1, . . . , n,

j=1

50