экз линал, 1 сем, 2025-2026

16БИЛЕТ 17. Разложение определителя по строке (столбцу)

1. Определения (минор, алгебраическое дополнение)

Пусть A = (aij) — квадратная матрица порядка n.

•Минором Mij элемента aij называется определитель матрицы порядка n−1, полученной из A вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.

•Алгебраическим дополнением элемента aij называется число

Aij = (−1)i+jMij.

2. Теорема о разложении определителя

Теорема (разложение по строке): Для любой фиксированной строки i определитель матрицы A равен сумме произведений элементов этой строки на их алгебраические дополнения:

n

X

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ainAin = aijAij. j=1

Аналогично, для любого столбца j:

n

X

det A = aijAij.

i=1

Доказательство. Докажем формулу для строки. Представим i-ю строку матрицы A как сумму:

(ai1, ai2, . . . , ain) = ai1(1, 0, . . . , 0) + ai2(0, 1, . . . , 0) + · · · + ain(0, 0, . . . , 1).

По свойству линейности определителя по строке, det A равен сумме определителей, в каждом из которых i-я строка заменена на одно из слагаемых. То есть:

det A = ai1Di1 + ai2Di2 + · · · + ainDin,

где Dij — определитель матрицы, у которой на месте i-й строки стоит единица на j-й позиции, а на остальных позициях нули.

Вычислим Dij. Переставим в этом определителе i-ю строку на первое место, совершив i − 1 транспозиций строк. Затем переставим j-й столбец на первое место, совершив j − 1 транспозиций столбцов. От этих перестановок определитель умножится на (−1)(i−1)+(j−1) = (−1)i+j. В результате получим определитель вида:

где вторая и последующие строки, а также второй и последующие столбцы образованы элементами исходной матрицы A без i-й строки и j-го столбца.

Разложим этот определитель по первой строке. Единственный ненулевой элемент первой строки

— это 1 в позиции (1,1). Его алгебраическое дополнение есть определитель матрицы, полученной вычёркиванием первой строки и первого столбца, который в точности равен минору Mij. Следовательно,

Dij = (−1)i+j · 1 · Mij = (−1)i+jMij = Aij.

31

Подставляя Dij = Aij в исходную сумму, получаем искомую формулу:

n

X

det A = aijAij.

j=1

Формула для столбца следует из свойства det A = det AT и разложения по строкам транспонированной матрицы.

3. Свойство ортогональности (следствие)

Следствие: Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю:

строки на k-ю строку. В матрице A′ строки i и k одинаковы (обе равны k-й строке исходной матрицы A). Следовательно, det A′ = 0. Поскольку алгебраические дополнения Aij вычисляются через миноры, не зависящие от элементов i-й строки, они для матрицы A′ совпадают с алгебраическими дополнениями для матрицы A. Поэтому:

4. Объединённая формула

— символ Кронекера. Аналогично для столбцов:

n

X

aikAij = det A · δkj.

i=1

32

17 БИЛЕТ 18. Определитель произведения матриц

1. Теорема

Для любых квадратных матриц A и B одного порядка n выполняется равенство:

det(AB) = det A · det B.

Следствие (коммутативность): det(AB) = det(BA).

2. Доказательство

Доказательство. Пусть A = (aij)n×n, B = (bij)n×n. Рассмотрим вспомогательную блочную матрицу C порядка 2n:

где E — единичная матрица порядка n, а 0 — нулевая матрица n × n.

Шаг 1. Преобразуем матрицу C, не меняя её определитель. Прибавим к первым n строкам матрицы C строки с (n+1)-й по 2n-ю, умноженные соответственно на a11, a12, . . . , a1n для первой строки, на a21, a22, . . . , a2n для второй и т.д. Это элементарное преобразование (прибавление линейной комбинации строк) не меняет определитель. В результате в левом верхнем блоке A

элементы заменятся на:

n

X

aij + aik(−δkj) = aij − aij = 0,

k=1

а в правом верхнем блоке 0 элементы станут:

n

X

0 + aikbkj = (AB)ij.

k=1

Таким образом, матрица C преобразуется к виду:

Шаг 2. Вычислим det C = det C′. Разложим определитель det C′ по первым n строкам (теперь они содержат нули слева). Единственный ненулевой минор, соответствующий первым n строкам и некоторым n столбцам, — это минор, составленный из столбцов с (n + 1)-го по 2n-й (правый блок). Соответствующий знак этого минора в разложении определителя матрицы порядка 2n равен (−1)S, где S — сумма номеров выбранных столбцов. Поскольку мы выбрали столбцы с номерами n + 1, n + 2, . . . , 2n, то

S = (n + 1) + (n + 2) + · · · + 2n = n(3n + 1). 2

Следовательно, (−1)S = (−1)n(3n+1)/2. Этот множитель не зависит от элементов матриц.

Оставшийся минор первых n строк (это блок AB) имеет порядок n, и его определитель равен det(AB). Дополнительный минор (для строк с n + 1 по 2n и столбцов с 1 по n) — это блок −E с определителем det(−E) = (−1)n det E = (−1)n. Поэтому:

det C′ = (−1)n(3n+1)/2 · det(AB) · (−1)n.

Разложим определитель по последним n строкам (строкам блока [−E B]). В этих строках левый

33

блок −E имеет ненулевые элементы только на диагонали. Единственный ненулевой минор, соответствующий последним n строкам и некоторым n столбцам, — это минор, составленный из первых n столбцов (блок −E). Соответствующий знак в разложении равен (−1)T , где T

— сумма номеров выбранных столбцов (это 1, 2, . . . , n), поэтому T = n(n + 1)/2. Оставшийся минор (для первых n строк и последних n столбцов) — это блок 0, его определитель равен 1 (так как мы выбираем строки и столбцы, образующие единичную матрицу после перестановок? Нет, осторожно). На самом деле, дополнительный минор — это блок A для первых n строк и первых n столбцов? Нет, мы выбрали для последних n строк первые n столбцов (блок −E). Тогда для первых n строк остаются последние n столбцов — блок 0, определитель которого равен 0? Это неверно. Давайте аккуратно.

делитель равен произведению определителей диагональных блоков: det A · det B. Это следует из разложения по строкам или из формулы для определителя блочной матрицы. Поэтому:

det C = det A · det B.

Шаг 4. Приравнивая два выражения для det C, получаем:

det A · det B = (−1)n(3n+1)/2 · det(AB) · (−1)n.

Упростим показатель степени у (−1):

чательно имеем:

det A · det B = det(AB).

Альтернативное доказательство (через сумму по подстановкам), основанное на присланных фрагментах:

Раскроем произведения и суммы. Получим сумму по всем наборам (k1, k2, . . . , kn), где каждый ki пробегает от 1 до n:

Внутренняя сумма — это определитель матрицы, строки которой составлены из строк матрицы B с номерами k1, k2, . . . , kn. Если среди индексов k1, . . . , kn есть совпадения, то этот определитель равен нулю (имеет одинаковые строки). Поэтому ненулевой вклад дают только наборы, в которых все ki различны, т.е. (k1, . . . , kn) — некоторая перестановка чисел 1, . . . , n. Пусть τ —

подстановка, для которой τ(i) = ki. Тогда a1k1 . . . ankn = a1τ(1) . . . anτ(n). Определитель во внутренней сумме соответствует матрице, строки которой переставлены согласно τ. Перестановка

строк меняет знак определителя на (−1)|τ|. Таким образом,

X

(−1)|σ|bk1σ(1) . . . bknσ(n) = (−1)|τ| det B.

σ

34

3.Следствие и замечание

•Поскольку умножение чисел коммутативно, det A · det B = det B · det A, следовательно, det(AB) = det(BA).

•Теорема обобщается на произведение любого конечного числа квадратных матриц одного порядка:

det(A1A2 . . . Ak) = det A1 · det A2 · · · · · det Ak.

35

18БИЛЕТ 19. Элементарные преобразования матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду

1. Элементарные преобразования (эквивалентные преобразования)

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие операции над её строками (или аналогично над столбцами):

1.Перестановка двух строк (столбцов).

2.Умножение строки (столбца) на любое число λ ̸= 0 из поля F .

3.Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произвольное число λ F .

Матрица B, полученная из матрицы A с помощью конечного числа элементарных преобразований, называется эквивалентной матрице A (обозначается A B).

•Каждое элементарное преобразование обратимо (существует обратное элементарное преобразование того же типа).

•Любое элементарное преобразование строк матрицы A размера m×n можно осуществить умножением этой матрицы слева на квадратную матрицу порядка m, полученную из

единичной матрицы Em применением того же преобразования к её строкам. Аналогично, преобразование столбцов — умножением справа на соответствующую матрицу, полученную из En.

2.Ступенчатый (эшелонированный) вид матрицы

Матрица A имеет ступенчатый вид, если выполняются следующие условия:

1.Все нулевые строки (состоящие целиком из нулей) расположены внизу матрицы.

2.В каждой ненулевой строке первый слева ненулевой элемент (называемый ведущим или угловым) расположен строго правее ведущего элемента строки, находящейся выше.

Пример:

3. Теорема о приведении к ступенчатому виду

Теорема: Любую матрицу с помощью элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду.

Доказательство. Докажем конструктивно, предъявив алгоритм (метод Гаусса).

1. Пусть дана матрица A размера m × n. Начнём с элемента a11 (первый столбец, первая строка).

2. Основной шаг для текущего элемента aij:

• Случай 1: Если aij ̸= 0 (текущий элемент ненулевой), то с помощью преобразований типа (3) обнуляем все элементы под ним в том же столбце: для каждой строки k >

i прибавляем к строке k строку i, умноженную на −akj . Затем смещаем текущий

aij

элемент на один столбец вправо и на одну строку вниз (к элементу ai+1,j+1), если это возможно. Если достигнут последний столбец или последняя строка, процесс завершается.

36

•Случай 2: Если aij = 0, то просматриваем элементы в том же столбце ниже текущего (элементы ai+1,j, ai+2,j, . . .).

–Если все они нулевые, то переходим к следующему столбцу, оставляя строку

прежней (текущий элемент становится ai,j+1), если такой столбец существует. В противном случае (если j — последний столбец) процесс завершается.

–Если найден ненулевой элемент akj (k > i), то меняем местами строки i и k (преобразование типа (1)) и возвращаемся к случаю 1 для того же элемента (который теперь стал ненулевым).

3.Поскольку на каждом шаге алгоритма либо номер текущего столбца увеличивается, либо процесс завершается, а число столбцов n конечно, алгоритм завершится за конечное число шагов (не более n итераций основного шага).

4.По завершении алгоритма все нулевые строки окажутся внизу (так как мы их никогда не поднимаем), а ведущие элементы будут сдвинуты вправо при движении вниз по строкам (что гарантируется конструкцией шага). Следовательно, полученная матрица имеет ступенчатый вид.

4.Приведение к единичной матрице (метод Гаусса–Жордана)

Для квадратной невырожденной матрицы A (т.е. det A ̸= 0) можно продолжить преобразования

ипривести её к единичной матрице E. Алгоритм:

1.Привести матрицу A к ступенчатому виду с помощью описанного выше алгоритма. Для невырожденной квадратной матрицы в ступенчатом виде все ведущие элементы будут находиться на главной диагонали, и они будут ненулевыми.

2.Начиная с последней ненулевой строки, сделать все ведущие элементы равными 1, разделив каждую строку на её ведущий элемент (преобразование типа (2)).

3.Затем, начиная с последней строки и двигаясь вверх, с помощью преобразований типа

(3)обнулить все элементы над каждым ведущим элементом. Для строки i (с ведущим элементом 1 на позиции j) вычитаем из каждой строки k < i строку i, умноженную на

элемент akj.

В результате этих преобразований матрица A превратится в единичную матрицу E.

Замечание: Если к расширенной матрице (A|B) применить те же элементарные преобразования строк, что приводят A к E, то на месте B получится решение системы AX = B (если оно существует).

37

19 БИЛЕТ 20. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре

1. Определения: минор, ранг, базисный минор

Пусть A — матрица размера m × n.

•Минором k-го порядка матрицы A называется определитель квадратной подматрицы порядка k, полученной из A пересечением любых k строк и k столбцов (k ≤ min(m, n)).

•Рангом матрицы A (обозначается rang A или A) называется наибольший порядок её ненулевого минора. Если все элементы A нулевые, то ранг считается равным нулю. Если A = r, то существует хотя бы один ненулевой минор порядка r, а все миноры порядка r + 1 (если они существуют) равны нулю.

•Базисным минором называется любой ненулевой минор порядка r = A. Строки и столбцы, участвующие в образовании базисного минора, называются базисными строками и базисными столбцами.

2.Теорема о базисном миноре

Теорема (о базисном миноре):

1.Базисные строки (столбцы) матрицы линейно независимы.

2.Любая строка (столбец) матрицы A является линейной комбинацией её базисных строк (столбцов).

Доказательство. 1. Докажем линейную независимость базисных строк. Пусть M — базисный минор порядка r, расположенный на пересечении строк i1, i2, . . . , ir и столбцов j1, j2, . . . , jr. Предположим, что соответствующие r строк линейно зависимы. Тогда одна из них, например строка ik, является линейной комбинацией остальных. Вычтем из строки ik эту линейную комбинацию. По свойствам определителя, значение минора M не изменится, однако строка ik станет нулевой. Тогда определитель M (разложенный по этой нулевой строке) станет равен нулю, что противоречит условию M ̸= 0. Следовательно, базисные строки линейно независимы. Аналогично доказывается для столбцов.

2. Докажем, что любая строка выражается через базисные. Не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор M расположен в левом верхнем углу матрицы (этого всегда можно добиться перестановкой строк и столбцов, что не меняет линейных соотношений). Тогда матрица A имеет вид:

Возьмём любую строку с номером i > r и любой столбец j (1 ≤ j ≤ n). Рассмотрим определитель ∆ порядка r + 1, полученный окаймлением минора M i-й строкой и j-м столбцом:

Покажем, что ∆ = 0. Если 1 ≤ j ≤ r, то в определителе ∆ два одинаковых столбца (столбец j и один из первых r столбцов), поэтому ∆ = 0. Если j > r, то ∆ является минором порядка r + 1

38

исходной матрицы A, а так как A = r, все миноры порядка r + 1 равны нулю. Следовательно, ∆ = 0 для всех j.

где Ak — алгебраические дополнения элементов последнего столбца. Заметим, что Ai = (−1)(r+1)+(r+1)M M ̸= 0 (так как это минор M, дополненный строкой и столбцом). Поэтому из (*) можно выразить aij:

Обозначив коэффициенты λk = −Ak/Ai (они не зависят от j, так как Ak и Ai вычисляются из элементов, не включающих j-й столбец, кроме самого элемента akj, который выносится), получаем для всех j = 1, . . . , n:

aij = λ1a1j + λ2a2j + · · · + λrarj.

Это означает, что i-я строка является линейной комбинацией первых r (базисных) строк с коэффициентами λ1, . . . , λr. Аналогично доказывается утверждение для столбцов.

3.Следствия

1.Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк (столбцов).

2.Критерий невырожденности квадратной матрицы. Квадратная матрица A порядка n называется невырожденной, если det A ̸= 0. Тогда:

A невырождена строки (столбцы) A линейно независимы A = n.

Доказательство. • Необходимость. Если det A ̸= 0, то этот определитель является базисным минором, и A = n. По теореме о базисном миноре все n строк являются базисными, значит, они линейно независимы.

•Достаточность. Если строки линейно независимы, то максимальное число линейно независимых строк равно n, следовательно, A = n. Тогда существует ненулевой минор порядка n, то есть det A ̸= 0.

4.Методы вычисления ранга матрицы

1.Метод окаймляющих миноров.

•Находим любой ненулевой элемент матрицы (минор 1-го порядка).

•Последовательно окаймляем ненулевой минор k-го порядка, добавляя строку и столбец, стараясь получить ненулевой минор (k + 1)-го порядка.

•Если на некотором шаге все окаймляющие миноры равны нулю, то ранг матрицы равен k.

2.Метод элементарных преобразований (практический).

•Элементарные преобразования строк (или столбцов) не меняют ранг матрицы.

•Приводим матрицу к ступенчатому виду с помощью алгоритма Гаусса.

•Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в её ступенчатом виде.

•Базисным минором будет минор, составленный из столбцов, содержащих ведущие элементы ненулевых строк (после обратной перестановки столбцов, если необходимо, чтобы он был ненулевым).

39