экз линал, 1 сем, 2025-2026

12БИЛЕТ 13. Подстановки. Количество инверсий. Транспозиции. Обратная подстановка

1. Определение подстановки

Всякое взаимно однозначное отображение конечного множества {1, 2, . . . , n} на себя называется подстановкой n-го порядка. Записывается в виде:

где αik = σ(ik) — образ элемента ik. Верхняя и нижняя строки являются перестановками чисел 1, 2, . . . , n. Всего существует n! различных подстановок.

Подстановка не меняется при перестановке её столбцов.

2.Основные понятия

• Канонический вид: запись, в которой верхняя строка упорядочена по возрастанию:

12 . . . n

σ= σ(1) σ(2) . . . σ(n) .

•Тождественная подстановка e:

3.Инверсии. Четность. Модуль подстановки

•Инверсия (беспорядок): пара (i, j) в нижней строке канонической записи образует инверсию, если i < j, но αi > αj.

•Количество инверсий s(σ) — общее число инверсных пар в подстановке.

•Модуль подстановки: |σ| = s(σ).

•Подстановка называется чётной, если s(σ) чётно, и нечётной, если s(σ) нечётно.

4.Транспозиция

Транспозиция — операция над подстановкой, при которой в её нижней строке меняются местами два элемента (верхняя строка остаётся неизменной). Обозначается (i, j).

21

5.Свойства транспозиций

1.Транспозиция соседних элементов меняет четность подстановки на противоположную.

Доказательство. Пусть в канонической записи σ элементы на позициях i и i + 1 — αi и αi+1. После транспозиции (i, i + 1) получаем подстановку τ. Все инверсии, не затрагивающие пару (αi, αi+1), сохраняются. Инверсия в самой паре (αi, αi+1):

•Если в σ была инверсия (αi > αi+1), то в τ её нет.

•Если в σ не было инверсии (αi < αi+1), то в τ она появляется.

Таким образом, число инверсий |τ| = |σ| ± 1, значит, четность меняется.

2.Любая транспозиция (не обязательно соседних элементов) меняет четность подстановки на противоположную.

Доказательство. Пусть нужно поменять местами элементы на позициях i и j (i < j). Эту транспозицию можно выполнить последовательностью транспозиций соседних элементов:

(a)Элемент с позиции i сдвигаем вправо до позиции j − 1: (i, i + 1), (i + 1, i + 2), . . . , (j − 2, j − 1). Всего j − i − 1 транспозиций.

(b)Меняем местами теперь соседние элементы на позициях j − 1 и j: (j − 1, j). Одна транспозиция.

(c)Элемент, бывший на позиции i (теперь на j), сдвигаем влево на исходную позицию i: (j − 1, j − 2), . . . , (i + 1, i), (i, i − 1). Всего j − i − 1 транспозиций.

Общее число транспозиций соседних элементов: (j − i − 1) + 1 + (j − i − 1) = 2(j − i) − 1, что нечётно. Каждая транспозиция соседних меняет четность. Нечётное число таких смен четности даёт итоговую смену четности на противоположную.

3.Если |σ| = N, то из σ можно получить тождественную подстановку e за N транспозиций.

Доказательство. Рассмотрим каноническую запись σ. Алгоритм:

•Перед элементом 1 в нижней строке стоит m1 элементов. Переставим 1 на первую позицию, сделав m1 транспозиций соседних элементов. Это убирает все m1 инверсий с участием 1.

•Теперь перед элементом 2 (исключая уже стоящую на месте 1) стоит m2 элементов. Переставим 2 на вторую позицию за m2 транспозиций, убирая m2 инверсий.

•Продолжаем для 3, . . . , n.

В итоге получим e. Общее число транспозиций: m1 + m2 + · · · + mn = N = |σ|, так как каждый шаг убирает ровно те инверсии, которые учитывались в |σ|.

4. Модуль обратной подстановки равен модулю исходной: |σ−1| = |σ|.

22

новка e, записанная в разных порядках верхней строки. Следовательно, число транспозиций, необходимых для приведения σ и σ−1 к e, должно быть одинаково: |σ| = |σ−1|.

23

13БИЛЕТ 14. Операции над матрицами. Ассоциативность произведения матриц

1. Определение и виды матриц

Матрицей размера m×n над полем F называется таблица из m строк и n столбцов элементов aij F :

a11 a12 . . . a1n

•Квадратная матрица: m = n (порядок n).

•Нулевая матрица θ: все элементы равны 0.

•Треугольная матрица: все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю.

•Диагональная матрица: все элементы вне главной диагонали равны нулю:

2. Основные операции

1.Транспонирование: AT — матрица, где строки и столбцы A поменялись местами: (AT )ij =

Aji.

(A + B)ij = aij + bij.

•Коммутативность: A + B = B + A.

•Ассоциативность: (A + B) + C = A + (B + C).

•Нулевой элемент: A + θ = A.

•Противоположная матрица: A (−A) : A + (−A) = θ.

4.Умножение на скаляр (λ F ):

(λA)ij = λaij.

Свойства: (αβ)A = α(βA), α(A + B) = αA + αB, (α + β)A = αA + βA, 1 · A = A.

Следствие: Множество матриц размера m × n образует линейное пространство над F .

5.Умножение матриц: Если A — m × n, B — n × p, то их произведение C = AB размера m × p определяется:

n

X

cij = aikbkj, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p.

k=1

Условие: число столбцов A равно числу строк B.

24

•EA = AE = A (где E — единичная соответствующего порядка).

•θA = Aθ = θ.

•В общем случае AB ̸= BA (некоммутативность).

3.Свойства произведения матриц (с доказательствами)

1.Ассоциативность: (AB)C = A(BC).

Доказательство. Пусть A — m × n, B — n × p, C — p × r. Элемент на позиции (i, l) в матрице (AB)C равен:

В силу дистрибутивности и коммутативности сложения в поле F , это равно:

Последнее выражение есть элемент [A(BC)]il. Следовательно, (AB)C = A(BC). 2. Дистрибутивность (умножение относительно сложения):

(A + B)C = AC + BC, A(B + C) = AB + AC.

Доказательство. Докажем первое равенство (второе аналогично). Пусть A, B — m × n, C — n × p. Элемент матрицы (A + B)C:

Первая сумма — элемент (AC)ij, вторая — (BC)ij. Следовательно, (A + B)C = AC +

BC.

4.Свойства транспонированной матрицы

1.(AT )T = A.

2.(A + B)T = AT + BT .

3.(αA)T = αAT .

4.(AB)T = BT AT .

тельно, (AB)T = BT AT .

25

14БИЛЕТ 15. Определитель. Неизменность определителя при транспонировании матрицы. Линейность определителя

1. Определение определителя

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы A = (aij)n×n порядка n над полем F называется число:

где сумма берётся по всем подстановкам σ порядка n (всего n! слагаемых). |σ| — количество инверсий в подстановке σ. В каждом слагаемом присутствует ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца.

2. Неизменность определителя при транспонировании

det(AT ) = det A.

Доказательство. Пусть AT = (bij), где bij = aji. Тогда по определению:

X X

det(AT ) = (−1)|σ|b1,σ(1)b2,σ(2) . . . bn,σ(n) = (−1)|σ|aσ(1),1aσ(2),2 . . . aσ(n),n.

В каждом произведении переставим множители так, чтобы первые индексы шли в порядке 1, 2, . . . , n. Это соответствует перестановке сомножителей, которая не меняет значение произведения. При этом вторые индексы образуют некоторую подстановку τ. Так как перестановка сомножителей коммутативна, исходная подстановка σ и новая подстановка τ совпадают (τ = σ−1), а их чётности равны (|τ| = |σ|). Следовательно,

aσ(1),1aσ(2),2 . . . aσ(n),n = a1,τ(1)a2,τ(2) . . . an,τ(n).

Получаем:

X

det(AT ) = (−1)|τ|a1,τ(1)a2,τ(2) . . . an,τ(n) = det A.

τ

Следствие: Любое свойство определителя, доказанное для строк, справедливо и для столбцов, и наоборот.

3. Линейность определителя

Определитель линеен по каждой своей строке (и столбцу). Это означает следующее:

26

2. Однородность по строке (умножение на скаляр):

Доказательство. Докажем оба свойства, используя определение через сумму по подстановкам. Пусть i-я строка представлена как сумма (или умножена на скаляр).

1. Аддитивность:

X

det A = (−1)|σ|a1,σ(1) . . . (ai,σ(i) + bi,σ(i)) . . . an,σ(n)

σ

X

=(−1)|σ|a1,σ(1) . . . ai,σ(i) . . . an,σ(n)

σ

X

+(−1)|σ|a1,σ(1) . . . bi,σ(i) . . . an,σ(n).

σ

Первая сумма — определитель матрицы с i-й строкой (ai1, . . . , ain), вторая — с i-й строкой

(bi1, . . . , bin).

2. Однородность:

X

det A = (−1)|σ|a1,σ(1) . . . (λai,σ(i)) . . . an,σ(n)

σ

X

= λ (−1)|σ|a1,σ(1) . . . ai,σ(i) . . . an,σ(n) = λ · det A′.

σ

По следствию из пункта 2 эти свойства верны и для столбцов.

Следствие: Если строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю (достаточно взять λ = 0).

4. Определитель треугольной матрицы

Теорема: Определитель треугольной (верхней или нижней) матрицы равен произведению элементов её главной диагонали.

Доказательство. Рассмотрим верхнюю треугольную матрицу. В разложении определителя каждое слагаемое содержит множитель из первого столбца. Все элементы первого столбца, кроме a11, равны нулю. Поэтому ненулевой вклад могут дать только те слагаемые, где из первого столбца взят элемент a11. Аналогично, рассмотрим второй столбец. Так как элемент из первой строки уже выбран (это a11 из первого столбца), то из второго столбца можно выбрать элемент только со второй строки и ниже. Из них ненулевым является только a22. Продолжая это рассуждение, получим, что единственное слагаемое, которое не зануляется, — это произведение a11a22 . . . ann, соответствующее тождественной подстановке σ = e (для которой |e| = 0). Следовательно, определитель равен этому произведению.

Следствия:

27

1.Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов.

2.Определитель единичной матрицы det E = 1.

28

15БИЛЕТ 16. Перестановка строк (столбцов) определителя. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами)

1. Перестановка строк (столбцов)

Теорема: Если в определителе поменять местами две строки (или два столбца), то он изменит знак на противоположный:

det A′ = − det A.

Доказательство. Докажем для строк. Пусть в матрице A поменяли местами строки с номерами i и j (i < j), получили матрицу A′. По определению:

X

det A = (−1)|σ|a1,σ(1) . . . ai,σ(i) . . . aj,σ(j) . . . an,σ(n).

σ Sn

Для определителя det A′ элементы в строках i и j поменялись ролями:

X

det A′ = (−1)|σ|a1,σ(1) . . . aj,σ(i) . . . ai,σ(j) . . . an,σ(n).

σ Sn

В каждом слагаемом переставим множители aj,σ(i) и ai,σ(j) местами, чтобы восстановить порядок строк. Получим:

X

det A′ = (−1)|σ|a1,σ(1) . . . ai,σ(j) . . . aj,σ(i) . . . an,σ(n).

σ Sn

Рассмотрим подстановку τ, которая получается из σ транспозицией образов σ(i) и σ(j):

Тогда ai,σ(j) = ai,τ(i) и aj,σ(i) = aj,τ(j). Так как τ получена из σ одной транспозицией, их четности противоположны: (−1)|τ| = −(−1)|σ|. Суммирование по всем σ эквивалентно суммированию по

всем τ (так как соответствие взаимно однозначно). Следовательно:

X

det A′ = (−1)|τ|a1,τ(1) . . . ai,τ(i) . . . aj,τ(j) . . . an,τ(n) = − det A.

τ Sn

Для столбцов доказательство аналогично в силу свойства det AT = det A.

2. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами)

Теорема: Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю: det A = 0.

Доказательство. Рассмотрим два случая в зависимости от характеристики поля F . Случай 1: Характеристика поля char F ̸= 2, т.е. 1 + 1 ̸= 0 в F .

Пусть в матрице A строки i и j одинаковы. Поменяем их местами. С одной стороны, по предыдущей теореме определитель изменит знак: det A′ = − det A. С другой стороны, так как строки одинаковы, матрица не изменилась: A′ = A, значит, det A′ = det A. Получаем равенство:

det A = − det A 2 det A = 0.

Поскольку 2 ̸= 0 в поле, то det A = 0.

29

Случай 2: Характеристика поля char F = 2, т.е. 1+1 = 0 (тогда −1 = 1). В этом случае все слагаемые в определителе имеют знак +. Рассмотрим произвольное слагаемое S, соответствующее подстановке σ:

S = a1,σ(1) . . . ai,σ(i) . . . aj,σ(j) . . . an,σ(n).

Поскольку строки i и j одинаковы, ai,σ(i) = aj,σ(i) и aj,σ(j) = ai,σ(j). Образуем новое слагаемое S′, поменяв местами элементы из строк i и j в произведении:

S′ = a1,σ(1) . . . aj,σ(i) . . . ai,σ(j) . . . an,σ(n) = a1,σ(1) . . . ai,σ(i) . . . aj,σ(j) . . . an,σ(n) = S.

Однако S′ соответствует другой подстановке τ, которая получается из σ транспозицией образов σ(i) и σ(j). Таким образом, каждое слагаемое S встречается в сумме дважды: один раз для σ, второй раз для τ. В поле характеристики 2 сумма двух одинаковых слагаемых равна S + S = (1 + 1)S = 0. Следовательно, вся сумма (определитель) равна нулю.

3.Следствия

1.Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Пусть строка j равна λ умноженной на строку i (λ F ). Вынесем множитель λ из строки j за знак определителя (по линейности). Получим det A = λ·det A′, где в A′ строки i и j уже одинаковы. По доказанной теореме det A′ = 0, следовательно,

det A = λ · 0 = 0.

2.Определитель не изменится, если к одной строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию других строк (столбцов).

Доказательство. Пусть к строке i матрицы A прибавили линейную комбинацию осталь-

ных строк: a′i = ai + Pk̸=λi kak. Обозначим новую матрицу через A′. По линейности определителя по i-й строке:

В каждом слагаемом суммы, начиная со второго, определитель содержит две пропорциональные (фактически одинаковые при k ̸= i) строки: kaв позиции i и та же самая строка ak в своей позиции k. По следствию 1 такие определители равны нулю. Следовательно, det A′ = det A.

30