экз линал, 1 сем, 2025-2026

Свойство 4: Умножение скаляра на нулевой вектор

α · θ = θ α F

Доказательство:

α · θ = α · (x + (−x)) = αx + α(−x) = αx + (−α)x = (α + (−α))x = 0 · x = θ

Свойство 5: Противоположный вектор как умножение на −1 (−1) · x = −x x L

Доказательство:

x + (−1)x = 1 · x + (−1)x = (1 + (−1))x = 0 · x = θ

Следовательно, (−1)x противоположен x.

Свойство 6: Критерий равенства нулю произведения скаляра на вектор

αx = θ α = 0 или x = θ

Доказательство:

( ) Если ̸ , то существует −1 . Умножая на −1:

α = 0 α F αx = θ α

α−1(αx) = α−1θ (α−1α)x = 1 · x = x = θ

( ) Если α = 0 или x = θ, то по свойствам 3 и 4: αx = θ.

11

Свойство 3: Надсистема зависимой системы

Если часть системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Доказательство: Пусть βy + · · · + γz = 0 (не все коэффициенты нули). Тогда:

0 · x + βy + · · · + γz = 0

— не все коэффициенты нули.

Свойство 4: Подсистема независимой системы

Если система линейно независима, то всякая её подсистема также линейно независима.

Доказательство: От противного. Если подсистема зависима, то по свойству 3 вся система была бы зависима.

13

7БИЛЕТ 7. Полные системы векторов. Их свойства

1. Определение полной системы

Система векторов e1, e2, . . . , en V называется полной в линейном пространстве V , если любой вектор x V можно представить в виде линейной комбинации векторов этой системы:

x = α1e1 + α2e2 + · · · + αnen, αi F

2. Свойства полных систем

Свойство 1: Уменьшение полной системы

Если система векторов полная, то число элементов этой системы можно уменьшить без потери свойства полноты тогда и только тогда, когда эта система является линейно зависимой.

Доказательство:

( ) Если можно исключить вектор без потери полноты, то этот вектор выражается через остальные → система линейно зависима.

( ) Если система линейно зависима, то некоторый вектор выражается через остальные. Подставляя это выражение в разложение произвольного вектора x, получаем, что x выражается через оставшиеся векторы → полнота сохраняется.

Свойство 2: Дополнение независимой системы

Если система векторов линейно независимая, то её можно дополнять векторами без потери линейной независимости в том и только том случае, если она является неполной.

Доказательство:

( ) Если можно дополнить без потери независимости, то новый вектор не выражается через исходные → исходная система неполная.

( ) Если система неполная, то существует вектор en+1, не выражающийся через исходные. Покажем, что {e1, . . . , en, en+1} линейно независима. Пусть:

α1e1 + · · · + αnen + αn+1en+1 = 0

Если αn+1 ̸= 0, то ne+1 выражается через e1, . . . , en — противоречие. Значит, αn+1 = 0. Тогда:

α1e1 + · · · + αnen = 0

По независимости исходной системы все αi = 0. Значит, дополненная система независима.

3.Связь с базисом

•Базис — это линейно независимая полная система векторов.

•Минимальная полная система = базис.

•Максимальная линейно независимая система = базис.

14

8БИЛЕТ 8. Базис линейного пространства. Единственность разложения по базису

1. Определение базиса

Базисом линейного пространства V называется система векторов e1, e2, . . . , en V , которая является одновременно:

•Полной — любой вектор x V можно представить в виде линейной комбинации: x = a1e1 + a2e2 + · · · + anen

• Линейно независимой — равенство a1e1 + · · · + anen = 0 выполняется только при a1 =

·· · = an = 0

2.Единственность разложения по базису

Если e1, e2, . . . , en — базис в V , то любой вектор x V представляется единственным образом в виде:

x = a1e1 + a2e2 + · · · + anen

Числа a1, a2, . . . , an называются координатами вектора x в базисе e1, e2, . . . , en.

3. Доказательство единственности

Пусть есть два разложения:

x = a1e1 + · · · + anen = b1e1 + · · · + bnen

Вычитаем:

0 = (a1 − b1)e1 + · · · + (an − bn)en

Из линейной независимости базиса: a1 = b1, . . . , an = bn.

15

9БИЛЕТ 10. Лемма Штейница и следствия из неё. Размерность линейного пространства

1. Лемма Штейница (о замене)

Пусть e1, . . . , em — базис в V и a1, . . . , an — линейно независимая система в V . Тогда:

1.n ≤ m

2.Можно заменить n векторов в базисе на a1, . . . , an так, чтобы получить новый базис

Доказательство (индукция по n)

База: n = 1. a1 = α1e1 + · · · + αmem, не все αi = 0. Пусть α1 ̸= 0, тогда1eвыражается через a1, e2, . . . , em. Система a1, e2, . . . , em — полная и линейно независимая, т.е. базис.

Переход: Пусть для n −1 верно. Заменим n −1 вектор в базисе на a1, . . . , an−1. Получим базис a1, . . . , an−1, en, . . . , em. Разложим an по этому базису: an = k1a1 +· · ·+kn−1an−1 +knen+· · ·+kmem.

Не все kn, . . . , km = 0, иначе a1, . . . , an были бы зависимы. Пусть kn ̸= 0, тогдаneвыражается через a1, . . . , an, en+1, . . . , em. Заменяем en на an — получаем новый базис. n ≤ m.

2.Следствия из леммы Штейница

1.Любую линейно независимую систему можно дополнить до базиса.

2.Все базисы одного пространства содержат одинаковое число векторов.

Доказательство: Пусть базисы e1, . . . , em и a1, . . . , an. По лемме: n ≤ m и m ≤ n, значит m = n.

3.Любые две максимальные линейно независимые системы имеют одинаковое число векторов.

3.Размерность линейного пространства

Определение: Число векторов в (любом) базисе пространства V называется его размерностью. Обозначается dim V .

•Если базис бесконечен — пространство бесконечномерно

•dim Rn = n

•dim Pn = n + 1 (многочлены степени ≤ n)

16

10БИЛЕТ 11. Подпространство линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств

1. Определение подпространства

Непустое подмножество L V называется подпространством линейного пространства V , если:

Доказательство, что L — линейное пространство

•Аксиомы 1, 2, 5–7 наследуются из V

•Нулевой вектор: при λ = 0 имеем 0 · x = 0 L

•Противоположный вектор: при λ = −1 имеем (−1)x = −x L

•Умножение на 1: при λ = 1 имеем 1 · x = x L

Таким образом, L — линейное пространство, и dim L ≤ dim V .

2. Сумма подпространств

Определение: Суммой подпространств L1 и L2 называется множество:

L1 + L2 = {x1 + x2 | x1 L1, x2 L2}

Свойства:

1.L1 + L2 — подпространство в V

2.Коммутативность: L1 + L2 = L2 + L1

3.Ассоциативность: (L1 + L2) + L3 = L1 + (L2 + L3)

3.Пересечение подпространств

Определение: Пересечением подпространств L1 и L2 называется:

L1 ∩ L2 = {x V | x L1 и x L2}

Свойства:

1.L1 ∩ L2 — подпространство в V

2.L1 ∩ L2 L1, L1 ∩ L2 L2

4.Теорема о размерности суммы подпространств

dim(L1 + L2) = dim L1 + dim L2 − dim(L1 ∩ L2)

Доказательство

Пусть {e1, . . . , ek} — базис L1 ∩ L2. Дополним:

•В L1 до базиса: {e1, . . . , ek, f1, . . . , fm}

•В L2 до базиса: {e1, . . . , ek, g1, . . . , gn}

17

Тогда {e1, . . . , ek, f1, . . . , fm, g1, . . . , gn} — базис L1 + L2.

dim(L1 + L2) = k + m + n = (k + m) + (k + n) − k = dim L1 + dim L2 − dim(L1 ∩ L2).

18

11 БИЛЕТ 12. Линейная оболочка совокупности векторов

1. Определение линейной оболочки

Пусть V — линейное пространство над полем F и a1, . . . , an — система векторов в V . Линейной оболочкой векторов a1, . . . , an называется совокупность L всех линейных комбинаций этих векторов, то есть множество элементов вида

x = λ1a1 + · · · + λnan, λ1, . . . , λn F.

Говорят, что L натянуто на систему векторов a1, . . . , an и обозначают L(a1, . . . , an).

2.Свойства линейной оболочки

1.Линейная оболочка L(a1, . . . , an) является линейным подпространством в V , причём наименьшим подпространством, содержащим векторы a1, . . . , an.

Доказательство. a) Докажем, что L — подпространство.

• L V , и L ̸= (например, сами векторы1a,. . . , an L, так как ai = 0 ·a1 + · · ·+ 1 · ai + · · · + 0 · an ).

• Пусть x, y L. Тогда существуют скаляры α1, . . . , αn, β1, . . . , βn F такие, что x = α1a1 + · · · + αnan, y = β1a1 + · · · + βnan.

Их сумма:

x + y = (α1 + β1)a1 + · · · + (αn + βn)an L.

• Пусть x L, λ F . Тогда

λx = λ(α1a1 + · · · + αnan) = (λα1)a1 + · · · + (λαn)an L.

Условия подпространства выполнены, следовательно, L — линейное подпространство

в V .

b)Докажем, что L — наименьшее подпространство, содержащее a1, . . . , an. Всякое подпространство S V , содержащее векторы a1, . . . , an, обязано содержать все их линейные комбинации (по аксиомам замкнутости относительно сложения и умножения

на скаляр). Значит, L(a1, . . . , an) S. Таким образом, L содержится в любом таком подпространстве и является наименьшим.

2.Если векторы b1, . . . , bm L(a1, . . . , an), то вся их линейная оболочка содержится в исходной:

L(b1, . . . , bm) L(a1, . . . , an).

Доказательство. Поскольку bj L(a1, . . . , an), каждый bj является линейной комбинацией векторов a1, . . . , an. Любая линейная комбинация векторов b1, . . . , bm (то есть любой элемент из L(b1, . . . , bm)) в силу подстановки и приведения подобных членов также окажется линейной комбинацией векторов a1, . . . , an. Следовательно, любой элемент из

L(b1, . . . , bm) принадлежит L(a1, . . . , an).

3.Всякий вектор системы a1, . . . , an, линейно зависящий от остальных векторов этой системы, можно исключить из неё без изменения линейной оболочки.

Если a1 L(a2, . . . , an), то L(a1, a2, . . . , an) = L(a2, . . . , an).

Доказательство. • По свойству (2), так как a1 L(a2, . . . , an) и a2, . . . , an L(a2, . . . , an), то L(a1, a2, . . . , an) L(a2, . . . , an).

19

•Обратное включение L(a2, . . . , an) L(a1, a2, . . . , an) очевидно, поскольку любая линейная комбинация векторов a2, . . . , an может быть записана как линейная комбинация векторов a1, a2, . . . , an с нулевым коэффициентом при a1: 0 ·a1 + λ2a2 + · · ·+ λnan.

Из обоих включений следует равенство линейных оболочек.

20