экз линал, 1 сем, 2025-2026

Ответы на вопросы экзамена по Линейной алгебре. Первый семестр, 2025-2026 год. С ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМИ

Сделано с помощью дипсика и подгонов

Содержание

1

2

1БИЛЕТ 1. Поле. Примеры полей. Простейшие следствия из аксиом поля.

Множество F называется полем, если в нем введены операции сложения (+) и умножения (·), удовлетворяющие следующим аксиомам:

1) Коммутативность сложения:

Элементы поля принято называть скалярами.

2.Примеры полей

•Q — поле рациональных чисел.

•R — поле действительных чисел.

•C — поле комплексных чисел.

•Zp — поле вычетов по модулю p, где p — простое число.

Пример множества, не являющегося полем:

Множество натуральных чисел N не является полем, так как в нём не выполняется аксиома 9 (отсутствуют обратные элементы).

3

3. Простейшие следствия из аксиом поля

1. Единственность нуля

Если 01 и 02 — нулевые элементы, то 01 = 02.

Доказательство:

Пусть 01 и 02 — нули. Тогда:

Доказательство:

( ) Пусть · . Если ̸ , то существует −1. Умножая равенство на −1, получаем:

α x = 0 α = 0 α α α−1 · (α · x) = α−1 · 0 1 · x = 0 x = 0.

( ) Если α = 0 или x = 0, то по свойству 3 получаем α · x = 0.

5. Правило знаков

(−a) · b = a · (−b) = −(a · b),

(−a) · (−b) = a · b.

Доказательство:

Достаточно использовать дистрибутивность и свойства нуля и противоположного элемента.

6. Единственность единицы и обратного элемента

• Единица 1 единственна.

• Для каждого ̸ обратный элемент−1 единственен. a = 0 a

4

2БИЛЕТ 2. Сравнения и их свойства. Сложение и умножение по модулю n

1. Определение сравнения по модулю n

Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю n (n N, n ≥ 2), если их разность

Эквивалентное определение: a и b имеют одинаковые остатки при делении на n.

2. Свойства сравнений

Для любых a, b, c, d Z:

1)Рефлексивность: a ≡ a (mod n)

2)Симметричность: a ≡ b (mod n) b ≡ a (mod n)

3)Транзитивность: a ≡ b, b ≡ c (mod n) a ≡ c (mod n)

8)Сокращение на взаимно простое с модулем:

Если НОД d,n = 1, то

a · d ≡ b · d (mod n) a ≡ b (mod n)

3. Множество вычетов по модулю n

Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1}

— множество всех возможных остатков при делении на n.

4. Операции по модулю n

Для a, b Zn:

Сложение по модулю n (обозначается ):

5

Вычисление через целую часть

Если a + b ≥ n или a · b ≥ n, их заменяют на остатки:

6

3БИЛЕТ 3. Поле остатков от деления на p

Определение

Множество Zp = {0, 1, 2, . . . , p−1} с операциями сложения и умножения по модулю p называется

полем вычетов по модулю p.

Теорема

Zp является полем тогда и только тогда, когда p — простое число.

Доказательство

1. Проверка аксиом поля для Zp

Рассмотрим операции: a b = (a + b) mod p, a b = (a · b) mod p.

1)Коммутативность сложения: a b = (a + b) mod p = (b + a) mod p = b a

2)Ассоциативность сложения: (a b) c = (a+b)+c mod p = (a+b)+c mod p = a (b c)

3)Существование нуля: Элемент 0: a 0 = a

4)Существование противоположного: Для a ̸= 0: p − a; для a = 0: 0

5)Дистрибутивность: (a (b c)) = ((a·(b+c)) mod p) = ((ab+ac) mod p) = (a b) (a c)

6)Коммутативность умножения: a b = (ab) mod p = (ba) mod p = b a

7)Ассоциативность умножения: (a b) c = (a·b)·c mod p = (a·b)·c mod p = a (b c)

8)Существование единицы: Элемент 1: 1 a = a

9)Существование обратного элемента (основное условие):

Для a ̸= 0 нужно найти b такой, что a b = 1, т.е. ab ≡ 1 (mod p).

2.Критерий простоты p

Необходимость: Если Zp — поле, то для любого a ̸= 0 существует обратный.

Если p составное: p = ab где 1 < a, b < p, то a b = 0, но a, b ̸= 0 — противоречие с отсутствием делителей нуля в поле.

Достаточность: Если p простое, то для любого a {1, 2, . . . , p − 1} верно (a, p) = 1.

7

4БИЛЕТ 4. Поле комплексных чисел

1. Определение комплексных чисел

Комплексным числом называется выражение вида

z = a + bi,

где:

•a, b R — действительные числа

•a — действительная часть (Re(z))

•b — мнимая часть (Im(z))

•i — мнимая единица, удовлетворяющая условию i2 = −1 Множество всех комплексных чисел обозначается C.

2.Операции в C

Для z1 = a + bi, z2 = c + di:

Сложение

z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

Умножение

z1 · z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc)i

Сопряжённое число

Для z = a + bi:

z = a − bi

Модуль (абсолютная величина)

√

|z| = a2 + b2

Деление

Для z2 ̸= 0:

3. Поле комплексных чисел

Теорема: Множество C с указанными операциями сложения и умножения образует поле.

Проверка аксиом поля:

1)Коммутативность сложения: z1 + z2 = z2 + z1

2)Ассоциативность сложения: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

3)Нулевой элемент: 0 = 0 + 0i, z + 0 = z

4)Противоположный элемент: Для z = a + bi: −z = −a − bi, z + (−z) = 0

5)Дистрибутивность: z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3

8

6)Коммутативность умножения: z1 · z2 = z2 · z1

7)Ассоциативность умножения: (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3)

8)Единичный элемент: 1 = 1 + 0i, 1 · z = z

4. Геометрическая интерпретация (комплексная плоскость)

Каждому комплексному числу z = a + bi соответствует точка (a, b) на плоскости:

•Ось Ox — действительная ось

•Ось Oy — мнимая ось

•|z| — расстояние от точки до начала координат

•arg z — угол между положительным направлением действительной оси и вектором z

5.Тригонометрическая и показательная формы

z = a + bi = |z|(cos φ + i sin φ) = |z|eiφ,

где φ = arg z — аргумент (tan φ = b/a)

6. Свойства комплексного сопряжения

Для любых z, w C:

•z + w = z + w

•z · w = z · w

•z = z

•z · z = |z|2 R

•z + z = 2Re(z) R

•z − z = 2iIm(z)

7.Основные тождества

•Формула Эйлера: eiφ = cos φ + i sin φ

•Формула Муавра: (cos φ + i sin φ)n = cos(nφ) + i sin(nφ)

•Теорема о корнях: Уравнение zn = w имеет ровно n различных решений в C

8.Важное отличие от R

В C не существует отношения порядка, совместимого с операциями сложения и умножения (в отличие от R).

Вывод

C — алгебраически замкнутое поле (основная теорема алгебры: любой многочлен степени n ≥ 1 с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней с учётом кратности).

9

5БИЛЕТ 5. Линейное пространство над полем. Простейшие следствия из аксиом

1. Определение линейного пространства

Линейным (векторным) пространством над полем F называется множество L, в котором:

• Для любых двух элементов x, y L определено сложение x + y L

•Для любого элемента x L и любого скаляра λ F определено умножение на скаляр

λx L

Элементы линейного пространства называют векторами. При этом выполняются следующие аксиомы:

4)Существование противоположного вектора: x L (−x) L : x + (−x) = θ

5)Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов: α(x+ y) = αx+

αy α F, x, y L

6)Дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров: (α+β)x = αx+

βx α, β F, x L

2. Простейшие следствия из аксиом

Свойство 1: Единственность нулевого вектора

В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор. Доказательство: Пусть θ1 и θ2 — нулевые векторы. Тогда:

θ1 = θ1 + θ2 = θ2 + θ1 = θ2

Свойство 2: Единственность противоположного вектора

Для любого вектора x существует единственный противоположный вектор −x. Доказательство: Пусть x1 и x2 противоположны x. Тогда:

x1 = x1 + θ = x1 + (x + x2) = (x1 + x) + x2 = θ + x2 = x2

Свойство 3: Умножение нулевого скаляра на вектор

0 · x = θ x L

Доказательство:

0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x

Прибавляя −(0 · x) к обеим частям, получаем θ = 0 · x.

10