экз линал без докв, 1 сем, 2025-2026

называется матрицей перехода от базиса e к базису e′. Столбцы T — координаты векторов e′j в базисе e.

Свойства матрицы перехода:

•Матрица T невырождена (det T ̸= 0).

•Матрица перехода от e′ к e равна T −1.

Преобразование координат вектора: Пусть вектор x имеет координатные столбцы X в базисе e и X′ в базисе e′. Тогда

X = T X′ или X′ = T −1X.

Последовательная замена базиса: Если T1 — матрица перехода от e к e′, а T2 — от e′ к e′′, то матрица перехода от e к e′′ равна произведению:

T= T1T2.

•Таким образом, замена базиса описывается умножением на невырожденную матрицу. Координаты вектора преобразуются с помощью этой матрицы или её обратной.

26БИЛЕТ 26. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Связь координат образа и прообраза

Определение: Отображение A : V → V называется линейным оператором, если для всех x, y V и λ F :

A(x + y) = Ax + Ay, A(λx) = λAx.

Матрица линейного оператора: Пусть e = (e1, . . . , en) — базис в V . Разложим образы базисных векторов по этому базису:

Aej = a1je1 + a2je2 + · · · + anjen, j = 1, . . . , n.

Матрица A = (aij), у которой j-й столбец составлен из координат вектора Aej, называется

матрицей оператора A в базисе e.

Связь координат образа и прообраза: Пусть вектор x имеет в базисе e координатный столбец X, а его образ y = Ax — координатный столбец Y (в том же базисе). Тогда

Y = AX.

То есть действие оператора на векторе сводится к умножению его координатного столбца на матрицу оператора.

Свойства:

•Линейный оператор однозначно определяется своей матрицей в данном базисе.

•Сложению операторов и умножению оператора на скаляр соответствуют те же операции над их матрицами.

•Композиции операторов A ◦ B соответствует произведение их матриц AB.

21

27БИЛЕТ 27. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса

Пусть A — линейный оператор в n-мерном пространстве V , e и e′ — два базиса, T — матрица перехода от e к e′ (e′ = eT ). Если A и A′ — матрицы оператора A в базисах e и e′ соответственно, то они связаны формулой:

A′ = T −1AT.

Матрицы A и A′ называются подобными.

28БИЛЕТ 28. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристическое уравнение

Определения: Ненулевой вектор x V называется собственным вектором линейного оператора A, если существует число λ F такое, что

Ax = λx.

Число λ называется собственным значением оператора A, соответствующим вектору x.

Характеристическое уравнение: Пусть A — матрица оператора A в некотором базисе. Условие Ax = λx равносильно (A − λE)X = 0, где E — единичная матрица, X — координатный столбец x. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы

det(A − λE) = 0.

Это уравнение называется характеристическим. Многочлен χA(λ) = det(A −λE) — хаарактеристический многочлен оператора (матрицы). Его корни (в поле F ) и есть собственные значения.

29БИЛЕТ 29. Свойство собственных векторов линейного оператора

•Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

•Если x — собственный вектор, то любая его ненулевая скалярная кратность αx (α ̸= 0) также является собственным вектором с тем же собственным значением.

•Множество всех собственных векторов, отвечающих данному собственному значению λ0, вместе с нулевым вектором образует линейное подпространство, называемое собственным подпространством Vλ0 .

30БИЛЕТ 30. Условия приведения матрицы к диагональному виду

Квадратная матрица A (линейный оператор A) называется диагонализируемой, если она подобна диагональной матрице, т.е. существует невырожденная матрица S такая, что S−1AS =

diag(λ1, . . . , λn).

Условия диагонализируемости:

22

1.Матрица диагонализируема над полем F тогда и только тогда, когда в пространстве V существует базис из собственных векторов оператора A. В этом базисе матрица оператора диагональна, а на диагонали стоят соответствующие собственные значения.

2.Достаточное условие: если характеристический многочлен оператора имеет n различных корней в поле F , то матрица диагонализируема.

3.Необходимое и достаточное условие: матрица диагонализируема над F тогда и только тогда, когда:

•Все корни характеристического многочлена лежат в F .

•Для каждого собственного значения λi его алгебраическая кратность (кратность корня в характеристическом многочлене) равна его геометрической кратности (размерности собственного подпространства Vλi ).

31БИЛЕТ 31. Евклидовы и унитарные пространства. Неравенство Шварца. Геометрия евклидовых пространств

Евклидово пространство: Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если задано скалярное произведение — отображение (·, ·) : E × E → R, удовлетворяющее аксиомам:

1.(x, y) = (y, x) (симметричность),

2.(λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (линейность по первому аргументу),

3.(x, x) ≥ 0, причём (x, x) = 0 x = 0 (положительная определённость).

Унитарное пространство: Комплексное линейное пространство U называется унитарным, если задано эрмитово скалярное произведение (·, ·) : U × U → C, удовлетворяющее:

1.(x, y) = (y, x) (эрмитова симметричность),

2.(λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z),

3.(x, x) ≥ 0, причём (x, x) = 0 x = 0.

Неравенство Коши–Буняковского–Шварца: Для любых векторов x, y евклидова (унитарного) пространства выполняется:

|(x, y)|2 ≤ (x, x) · (y, y).

Равенство достигается тогда и только тогда, когда x и y линейно зависимы. Геометрия: На основе скалярного произведения вводятся:

•Длина (норма) вектора: x = p(x, x).

•Угол между ненулевыми векторами: cos φ = x(x,y·)y .

•Расстояние между векторами: ρ(x, y) = x − y .

•Ортогональность: x y (x, y) = 0.

32БИЛЕТ 32. Ортогональный и ортонормированный базисы. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта

Определения: Система векторов {e1, . . . , ek} в евклидовом (унитарном) пространстве называется:

23

•Ортогональной, если (ei, ej) = 0 при i ̸= j.

•Ортонормированной (ОНБ), если она ортогональна и ei = 1 для всех i, т.е. (ei, ej) = δij (символ Кронекера).

Свойства ОНБ:

•Коэффициенты разложения вектора по ОНБ находятся простым образом: x = Pni=1 ciei, где ci = (x, ei).

•Выполняется равенство Парсеваля: x 2 = Pni=1 |ci|2.

Процесс ортогонализации Грама–Шмидта: Любую линейно независимую систему векторов {f1, . . . , fm} можно преобразовать в ортогональную {g1, . . . , gm} (и затем в ортонормированную {e1, . . . , em}) по формулам:

g1 = f1,

g2 = f2 − (f2, g1)g1, (g1, g1)

g3 = f3 − (f3, g1)g1 − (f3, g2)g2, (g1, g1) (g2, g2)

. . .

k−1

gk = fk − X (fk, gi)gi.

i=1 (gi, gi)

Затем полагают ei = gi . Полученная система {e1, . . . , em} — ортонормированна и порождает

gi

то же подпространство, что и исходная система {fi}.

Следствие: В любом конечномерном евклидовом (унитарном) пространстве существует ортонормированный базис.

33БИЛЕТ 33. Ортогональные линейные операторы. Ортогональные матрицы

Определение: Линейный оператор A в евклидовом пространстве E называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение:

(Ax, Ay) = (x, y) для всех x, y E.

Эквивалентные условия: Следующие утверждения равносильны:

1.A — ортогональный оператор.

2.A сохраняет норму: Ax = x для всех x E.

3.A переводит любой ортонормированный базис (ОНБ) в ОНБ.

4.Матрица A оператора A в любом ОНБ удовлетворяет условию A A = E (или A = A−1).

Ортогональные матрицы: Квадратная матрица A называется ортогональной, если A A =

E (т.е. A = A−1).

Свойства ортогональных матриц:

•Столбцы (и строки) ортогональной матрицы образуют ортонормированную систему в Rn.

•| det A| = 1.

•Произведение ортогональных матриц — ортогональная матрица.

24

34БИЛЕТ 34. Симметрические операторы. Свойства их матриц

Определение: Линейный оператор A в евклидовом пространстве E называется симметрическим (или самосопряжённым), если для любых векторов x, y E выполняется:

(Ax, y) = (x, Ay).

Матричная характеристика: Оператор A симметричен тогда и только тогда, когда его матрица A в любом ортонормированном базисе является симметрической (т.е. A = A).

Свойства матриц симметрических операторов:

•Все собственные значения симметрического оператора — действительные числа.

•Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

•Симметрическая матрица всегда диагонализируема в некотором ортонормированном базисе.

35БИЛЕТ 35. Свойства собственных значений и собственных векторов симметрического оператора

Пусть A — симметрический оператор в евклидовом пространстве E.

Теорема 1 (действительность собственных значений): Все корни характеристического многочлена (а значит, все собственные значения) оператора A являются действительными числами.

Теорема 2 (ортогональность собственных векторов): Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям оператора A, ортогональны.

Следствие: В каждом собственном подпространстве можно выбрать ортонормированный базис. Объединив такие базисы для всех различных собственных значений, получим ортогональную систему собственных векторов, которую можно нормировать.

36БИЛЕТ 36. Существование для симметрического оператора ортонормированного базиса из собственных векторов

Теорема (основная теорема о симметрических операторах): Для любого симметрического оператора A в конечномерном евклидовом пространстве E существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. В этом базисе матрица оператора диагональна, причём на диагонали стоят действительные числа — собственные значения оператора.

Следствия:

•Всякая симметрическая матрица A ортогонально подобна диагональной матрице: существует ортогональная матрица U (U = U−1) такая, что U AU = Λ, где Λ — диагональная матрица с собственными значениями A на диагонали.

•Симметрический оператор всегда диагонализируем.

25

37БИЛЕТ 37. Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Изменение матрицы при изменении базиса

Определение: Квадратичной формой от переменных x1, . . . , xn называется однородный многочлен второй степени:

=1 j=1

Матрица квадратичной формы: Квадратичная форма однозначно определяется симметрической матрицей A = (aij), называемой матрицей квадратичной формы. Тогда форма может быть записана в матричном виде:

x1

Q(x) = X AX, где X = ... .

xn

Изменение матрицы при замене базиса: Пусть в линейном пространстве задан базис e, и квадратичная форма имеет в этом базисе матрицу A. При переходе к новому базису e′ = eT (где T — матрица перехода) координаты вектора преобразуются: X = T X′. Тогда в новом базисе форма запишется как:

Q(x) = (T X′) A(T X′) = (X′) (T AT )X′.

Следовательно, матрица квадратичной формы в новом базисе равна A′ = T AT .

Замечание: Матрицы A и A′, связанные соотношением A′ = T AT с невырожденной T , называются конгруэнтными.

38БИЛЕТ 38. Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду

Теорема (метод Лагранжа): Любую действительную квадратичную форму невырожденным линейным преобразованием переменных можно привести к нормальному виду (каноническому виду):

Q(y1, . . . , yn) = λ1y12 + λ2y22 + · · · + λnyn2 ,

где все коэффициенты λi равны +1, −1 или 0.

Закон инерции: Число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения (инварианты формы).

Нормальный вид (по теореме Якоби): Если все угловые миноры матрицы A отличны от нуля, то существует базис, в котором форма принимает вид:

где ∆0 = 1, а ∆k — k-й угловой минор матрицы A.

39БИЛЕТ 39. Положительно определённые и отрицательно определённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра

Определения: Квадратичная форма Q(x) (и её симметрическая матрица A) называется:

26

•положительно определённой, если Q(x) > 0 для всех x ̸= 0;

•отрицательно определённой, если Q(x) < 0 для всех x ̸= 0;

•неопределённой, если принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Критерий Сильвестра: Квадратичная форма Q(x) = X AX положительно определена тогда и только тогда, когда все её угловые миноры (главные миноры) матрицы A положительны:

∆1 = a11 > 0, ∆2 = det a11 a12 > 0, . . . , ∆n = det A > 0.

Критерий для отрицательно определённой формы: Форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров чередуются, начиная с отрицательного:

∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, . . .

Связь с собственными значениями: Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения её матрицы A положительны.

27