экз линал без докв, 1 сем, 2025-2026

2. f1, f2, . . . , fn — полная система Тогда:

1.m ≤ n

2.Можно заменить m векторов в системе {f1, . . . , fn} на векторы e1, . . . , em так, чтобы полученная система

e1, . . . , em, fim+1 , . . . , fin

осталась полной.

Следствия

1.Любую линейно независимую систему можно дополнить до базиса.

2.Все базисы одного пространства имеют одинаковое число векторов (определяют размерность).

3.Размерность пространства — максимальное число линейно независимых векторов в нём.

10БИЛЕТ 10. Лемма Штейница и следствия из неё. Размерность линейного пространства

1. Лемма Штейница (о замене)

Пусть e1, . . . , em — базис в V и a1, . . . , an — линейно независимая система в V . Тогда:

1.n ≤ m

2.Можно заменить n векторов в базисе на a1, . . . , an так, чтобы получить новый базис

2.Следствия из леммы Штейница

1.Любую линейно независимую систему можно дополнить до базиса

2.Все базисы одного пространства содержат одинаковое число векторов

3.Любые две максимальные линейно независимые системы имеют одинаковое число векторов

3.Размерность линейного пространства

•Определение: Число векторов в (любом) базисе пространства V называется его размерностью. Обозначается dim V

•Если базис бесконечен — пространство бесконечномерно

•dim Rn = n, dim Pn = n + 1 (многочлены степени ≤ n)

11БИЛЕТ 11. Подпространство линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств

1. Определение подпространства

Непустое L V — подпространство, если:

1.x, y L (x + y) L

2.x L, λ F (λx) L

11

L — линейное пространство, dim L ≤ dim V .

2. Сумма подпространств

L1 + L2 = {x1 + x2 | x1 L1, x2 L2}

•L1 + L2 — подпространство

•Коммутативна: L1 + L2 = L2 + L1

•Ассоциативна

3.Пересечение подпространств

L1 ∩ L2 = {x V | x L1 и x L2}

•L1 ∩ L2 — подпространство

•L1 ∩ L2 L1, L1 ∩ L2 L2

4.Теорема о размерности суммы

dim(L1 + L2) = dim L1 + dim L2 − dim(L1 ∩ L2)

12 БИЛЕТ 12. Линейная оболочка совокупности векторов

1. Определение линейной оболочки

Пусть V — линейное пространство над полем F и a1, . . . , an V . Линейной оболочкой L(a1, . . . , an) называется множество всех линейных комбинаций этих векторов:

L(a1, . . . , an) = {λ1a1 + · · · + λnan | λ1, . . . , λn F }.

Говорят, что оболочка натянута на систему a1, . . . , an.

2.Свойства линейной оболочки

1.L(a1, . . . , an) является линейным подпространством в V , причём наименьшим по включению подпространством, содержащим векторы a1, . . . , an.

2.Если векторы b1, . . . , bm L(a1, . . . , an), то

L(b1, . . . , bm) L(a1, . . . , an).

3.Если вектор системы линейно выражается через остальные, его можно исключить без изменения оболочки:

Если a1 L(a2, . . . , an), то L(a1, a2, . . . , an) = L(a2, . . . , an).

13БИЛЕТ 13. Подстановки. Количество инверсий. Транспозиции. Обратная подстановка

1. Определение подстановки

Взаимно однозначное отображение {1, 2, . . . , n} на себя. Запись:

Всего n! подстановок. Подстановка не меняется при перестановке столбцов.

12

2.Основные понятия

• Канонический вид: верхняя строка упорядочена:

3.Инверсии и четность

• Инверсия в нижней строке: пара (i, j), где i < j, но αi > αj.

•Количество инверсий s(σ) = |σ|.

•Подстановка чётная, если |σ| чётно, и нечётная, если |σ| нечётно.

4.Транспозиция

Операция (i, j) — перестановка двух элементов в нижней строке подстановки.

5.Свойства транспозиций

1.Транспозиция соседних элементов меняет четность подстановки.

2.Любая транспозиция меняет четность подстановки.

3.Если |σ| = N, то из σ можно получить e ровно за N транспозиций.

4.Модуль обратной подстановки равен модулю исходной: |σ−1| = |σ|.

14БИЛЕТ 14. Операции над матрицами. Ассоциативность произведения матриц

1.Основные виды матриц

•Матрица m × n: таблица aij F .

•Квадратная (порядка n), нулевая θ, треугольная, диагональная, единичная E.

2.Операции и их свойства

1.Транспонирование: (AT )ij = Aji.

2.Сложение (одинаковый размер):

(A + B)ij = aij + bij.

Свойства: коммутативность, ассоциативность, A + θ = A, существование (−A).

13

4. Определитель треугольной матрицы

•Для диагональной матрицы: det D = a11a22 . . . ann.

•det E = 1.

16БИЛЕТ 16. Перестановка строк (столбцов) определителя. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами)

1. Перестановка строк (столбцов)

При перестановке любых двух строк (или двух столбцов) определитель меняет знак на противоположный:

det A′ = − det A.

2. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами)

Если в определителе есть две одинаковые строки (или два одинаковых столбца), то он равен нулю:

det A = 0.

(Доказательство рассматривает случаи полей характеристики ̸= 2 и = 2.)

3.Следствия

1.Пропорциональность строк/столбцов: Если две строки (столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

2.Элементарное преобразование строк/столбцов: Определитель не меняется, если к одной строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию других строк (столбцов).

17БИЛЕТ 17. Разложение определителя по строке (столбцу)

1.Определения

•Минор Mij элемента aij — определитель матрицы, полученной из A вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.

•Алгебраическое дополнение: Aij = (−1)i+jMij.

15

2. Теорема о разложении

Для любой строки i:

n

X

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ainAin = aijAij. j=1

Для любого столбца j:

n

X

det A = aijAij.

i=1

3. Свойство ортогональности

Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю:

4. Объединённая формула

n

X

akjAij = det A · δki, где δki — символ Кронекера.

j=1

18 БИЛЕТ 18. Определитель произведения матриц

1. Теорема

Для любых квадратных матриц A и B одного порядка n справедливо равенство:

det(AB) = det A · det B.

2.Следствия

1.Определитель произведения коммутирует: det(AB) = det(BA).

2.Для конечного произведения: det(A1A2 . . . Ak) = det A1 · det A2 · · · · · det Ak.

3.Если A обратима, то det(A−1) = (det A)−1, так как det(A · A−1) = det E = 1.

19БИЛЕТ 19. Элементарные преобразования матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду

1. Элементарные преобразования

Три типа операций над строками (столбцами) матрицы:

1.Перестановка двух строк (столбцов).

2.Умножение строки (столбца) на число λ ̸= 0.

3.Прибавление к одной строке (столбцу) другой, умноженной на число λ.

Матрица B, полученная из A конечным числом таких преобразований, называется эквивалентной (A B).

•Каждое преобразование обратимо.

•Преобразование строк можно выполнить умножением слева на соответствующую матрицу, полученную из единичной.

16

2. Ступенчатый вид матрицы

Матрица имеет ступенчатый вид, если:

1.Все нулевые строки — внизу.

2.Ведущий (первый ненулевой) элемент каждой строки находится строго правее ведущего элемента строки выше.

3.Теорема о приведении

Любую матрицу с помощью элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду (алгоритм Гаусса).

4. Приведение к единичной матрице

Для невырожденной квадратной матрицы A (det A ̸= 0) продолжением метода Гаусса (метод Гаусса–Жордана) её можно привести к единичной матрице E:

1.Привести к ступенчатому виду.

2.Сделать все ведущие элементы равными 1 (поделить строки на них).

3.Обнулить все элементы выше ведущих, двигаясь снизу вверх.

Преобразования, переводящие A в E, применённые к расширенной матрице (A|B), дают на месте B решение системы AX = B.

20 БИЛЕТ 20. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре

1.Определения

•Минор k-го порядка — определитель подматрицы k × k.

•Ранг матрицы r = A — наибольший порядок ненулевого минора.

•Базисный минор — любой ненулевой минор порядка r. Его строки и столбцы — базисные.

2.Теорема о базисном миноре

1.Базисные строки (столбцы) линейно независимы.

2.Любая другая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

3.Следствия

1.Ранг матрицы равен максимальному количеству её линейно независимых строк (столбцов).

2.Квадратная матрица A порядка n невырожденна (det A ̸= 0) тогда и только тогда, когда её строки (столбцы) линейно независимы, т.е. A = n.

4.Методы вычисления ранга

1.Метод окаймляющих миноров: последовательно увеличиваем порядок ненулевого минора, пока это возможно.

17

2.Метод элементарных преобразований: приводим матрицу к ступенчатому виду; ранг равен числу ненулевых строк. (Преобразования не меняют ранг.)

21БИЛЕТ 21. Обратная матрица: единственность, условие существования, методы вычисления

1. Определение и единственность

Матрица A−1 называется обратной к квадратной матрице A, если

AA−1 = A−1A = E.

Если обратная матрица существует, то она единственна.

2. Условие существования

Матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырождена, т.е.

det A ̸= 0.

3.Методы вычисления

1.Метод присоединённой матрицы:

A−1 = det1 AA ,

где A — присоединённая матрица (транспонированная матрица из алгебраических дополнений Aij элементов A).

2.Метод элементарных преобразований (Гаусса–Жордана):

•Составляем блочную матрицу (A | E).

•Элементарными преобразованиями строк приводим левый блок к E.

•Тогда правый блок станет A−1.

4.Основные свойства

Для невырожденных матриц A, B:

1.(A−1)−1 = A.

2.det(A−1) = det1 A.

3.(AB)−1 = B−1A−1.

4.(AT )−1 = (A−1)T .

22 БИЛЕТ 22. Правило Крамера

Правило Крамера применяется для решения квадратных систем линейных уравнений, т.е. систем, в которых число уравнений равно числу неизвестных (m = n).

Рассмотрим систему:

.

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn.

18

Обозначим через ∆ определитель основной матрицы системы:

Теорема (Правило Крамера): Если определитель ∆ ̸= 0 (основная матрица невырожденная), то система (3) имеет единственное решение, которое находится по формулам:

где ∆j (j = 1, 2, . . . , n) — определитель, полученный из ∆ заменой j-го столбца на столбец свободных членов:

b1

b2

B = .. .

.

bn

Краткий вывод:

•При ∆ ̸= 0 ранг основной матрицы равен n, следовательно, система совместна и определена (имеет единственное решение).

•Формулы Крамера дают явное выражение для каждого неизвестного через определители.

•Метод удобен для теоретических рассуждений и решения систем с небольшим числом неизвестных.

23БИЛЕТ 23. Свойства решений однородной системы линейных уравнений. Связь решений однородной системы с решениями неоднородной

Однородная система (ОС) AX = 0 всегда совместна (имеет тривиальное решение X = 0).

Критерий нетривиальных решений: ОС имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ранг r основной матрицы меньше числа неизвестных n (r < n).

Следствие: Квадратная ОС (m = n) имеет нетривиальные решения det A = 0.

Свойства решений однородной системы:

1. Замкнутость относительно линейных комбинаций. Любая линейная комбинация решений ОС также является её решением.

Следствие: Если ОС имеет нетривиальное решение, то она имеет бесконечно много решений.

2. Пространство решений. Множество всех решений ОС образует линейное подпространство в F n.

Связь решений неоднородной и однородной систем: Рассмотрим неоднородную систему

AX = B (2) и соответствующую ОС AX = 0 (1).

Структура общего решения: Если X0 — частное решение системы (2), а Y — общее решение системы (1), то общее решение неоднородной системы имеет вид:

X = X0 + Y.

19

Следствие: Разность двух любых решений неоднородной системы является решением соответствующей однородной системы.

•Таким образом, для отыскания всех решений неоднородной системы достаточно найти одно её частное решение и общее решение ассоциированной однородной системы.

24БИЛЕТ 24. Фундаментальная система решений однородной системы

Определение (ФСР): Для однородной системы AX = 0 с n неизвестными, где rang A = r, фундаментальной системой решений называется любой набор из k = n−r линейно независимых решений X(1), X(2), . . . , X(k). Любое решение системы линейно выражается через ФСР.

Базисные и свободные переменные: При фиксированном базисном миноре матрицы A соответствующие ему неизвестные называются базисными (связанными), остальные — сво-

бодными.

Теорема (существование ФСР): Для системы AX = 0 с rang A = r существует ФСР, состоящая ровно из k = n − r решений.

Способ построения (каноническая ФСР): 1. Выразить базисные переменные через свободные из системы уравнений, соответствующих базисному минору. 2. Задать для свободных переменных k наборов значений, образующих столбцы единичной матрицы порядка k:

X(1) : (xr+1, . . . , xn) = (1, 0, . . . , 0),

X(2) : (xr+1, . . . , xn) = (0, 1, . . . , 0),

. . .

X(k) : (xr+1, . . . , xn) = (0, 0, . . . , 1).

3. Для каждого набора найти соответствующие значения базисных переменных. Полученные столбцы X(1), . . . , X(k) и образуют ФСР.

Свойства ФСР:

•Решения ФСР линейно независимы.

•Любое решение X однородной системы представляется в виде линейной комбинации X = c1X(1) + · · · + ckX(k), где коэффициенты ci — значения свободных переменных в X.

•Совокупность всех решений системы образует линейное подпространство размерности n− r; ФСР является его базисом.

25БИЛЕТ 25. Переход к другому базису в линейном пространстве

Пусть V — n-мерное линейное пространство, и в нём заданы два базиса:

e = (e1, . . . , en) и e′ = (e′1, . . . , e′n).

Матрица перехода: Если векторы нового базиса выражаются через старый:

20