Лабораторная 3 / Вариант_Распределение Пуассона / 23--_Пуассон_лаб3

МИНИстерство науки и высшего образования РФ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра информационных систем

Отчёт

по лабораторной работе №3

по дисциплине «Моделирование систем массового обслуживания»

Тема: Моделирование непрерывной случайной величины

Распределение Пуассона

Студент гр. 23--
Преподаватель		Татарникова Т. М.

Санкт-Петербург

2025

ВВЕДЕНИЕ

Цель работы:

Выполнить программную реализацию генератора непрерывной случайной величины с заданным законом распределения.

Задание на работу:

1. Построить на основе базовой случайной величины пять видов распределений:

   • экспоненциальное,

   • равномерное,

   • Эрланга порядка ,

   • Стандартное нормальное,

   • Пуассона.

2. Для всех генераторов непрерывной случайной величины построить гистограмму распределения вероятностей случайной величины.

3. Найти теоретические значения математического ожидания и дисперсии для всех видов распределений непрерывной случайной величины. Сравнить полученные значения с эмпирическими.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Для каждого распределения генерируется 10000 значений.

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Значение параметра .

Рисунок 1. Частотная гистограмма экспоненциальной случайной величины.

Эмпирические: M = 0.202, D = 0.040

Теоретические: M = 0.200, D = 0.040

Относительные погрешности: δM = 0.78 %, δD = 1.08 %

Различие мало. Это говорит о правильности построенной модели.

РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

В качестве параметров используются .

Рисунок 2. Частотная гистограмма равномерной случайной величины.

Эмпирические: M = 7.492, D = 2.103

Теоретические: M = 7.500, D = 2.083

Относительные погрешности: δM = 0.11 %, δD = 0.93 %

Это говорит о правильности построенной модели.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭРЛАНГА ПОРЯДКА К

В качестве параметров используются .

Рисунок 3. Частотная гистограмма эрланговской случайной величины.

Эмпирические: M = 2.991, D = 2.986

Теоретические: M = 3.000, D = 3.000

Относительные погрешности: δM = 0.29 %, δD = 0.47 %

Различие мало. Это говорит о правильности построенной модели.

СТАНДАРТНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Рисунок 4. Частотная гистограмма нормальной случайной величины.

Эмпирические: M = 0.018, D = 0.992

Теоретические: M = 0.000, D = 1.000

Относительные погрешности: δD = 0.78 %

Различие мало. Это говорит о правильности построенной модели.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Функция вероятности распределения Пуассона задается формулой: P(k) = (λ^k * e^(-λ)) / k! для k = 0, 1, 2, ...

Прямое использование метода обратной функции (когда мы генерируем равномерную случайную величину U и ищем такое k, что F(k) ≤ U < F(k+1), где F — кумулятивная функция распределения) здесь затруднительно. Это связано с тем, что не существует простой аналитической формулы для обратной функции к F(k).

Этот метод напрямую использует физический смысл пуассоновского процесса: он моделирует время между событиями.

Метод, основанный на связи с экспоненциальным распределением

Алгоритм:

1. Задать параметр λ и положить счётчик событий k = 0.

2. Задать произведение p = 1.

3. Цикл:

   • Сгенерировать случайное число u, равномерно распределенное на (0, 1).

   • Обновить произведение: p = p * u.

   • Если p < e^(-λ), то закончить и вернуть текущее значение k.

   • Иначе: увеличить счётчик k = k + 1 и перейти к генерации следующего u.

В качестве параметров используются .

Рисунок 5. Частотная гистограмма Пуассоновской случайной величины.

Эмпирические: M = 2.995, D = 2.978

Теоретические: M = 3.000, D = 3.000

Относительные погрешности: δD = 0.74 %

ВЫВОДЫ

Успешно создана и реализована программа для генерации непрерывных случайных величин с заданными распределениями.

Для проверки точности работы генератора выполнен комплекс процедур верификации:

1. Численная проверка – проведено вычисление и последующее сравнение теоретических и фактически полученных значений основных статистических моментов (математического ожидания и дисперсии).

2. Визуальная проверка – для каждого типа распределения построены и визуально сопоставлены гистограмма эмпирических данных и график теоретической функции плотности вероятности.

Результаты проверки подтверждают высокую точность работы генератора:

• Расчётные эмпирические моменты практически совпадают с теоретическими.

• Форма эмпирических распределений визуально соответствует теоретическим кривым.

Наблюдаемые незначительные отклонения не выходят за рамки ожидаемой статистической погрешности, присущей методам численного моделирования. Таким образом, можно сделать вывод о корректности использованных математических моделей, правильности алгоритмической реализации и высокой точности разработанного генератора.