Лабораторная 3 / Вариант_Бета-распределение / 23--_Бета-распределение_лаб3

МИНИстерство науки и высшего образования РФ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра информационных систем

Отчёт

по лабораторной работе №3

по дисциплине «Моделирование систем массового обслуживания»

Тема: Моделирование непрерывной случайной величины

Бета-распределение

Студент гр. 23--
Преподаватель		Татарникова Т. М.

Санкт-Петербург

2025

Задание на работу:

1. Построить на основе базовой случайной величины пять видов распределений:

   • экспоненциальное,

   • равномерное,

   • Эрланга порядка ,

   • Стандартное нормальное,

   • Бета-распределение.

2. Для всех генераторов непрерывной случайной величины построить гистограмму распределения вероятностей случайной величины.

3. Найти теоретические значения математического ожидания и дисперсии для всех видов распределений непрерывной случайной величины. Сравнить полученные значения с эмпирическими.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Для каждого распределения генерируется 10000 значений.

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Значение параметра .

Рисунок 1. Частотная гистограмма экспоненциальной случайной величины.

Эмпирические: M = 2.014, D = 4.008

Теоретические: M = 2.000, D = 4.000

Относительные погрешности: δM = 0.69 %, δD = 0.20 %

Различие мало. Это говорит о правильности построенной модели.

РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

В качестве параметров используются .

Рисунок 2. Частотная гистограмма равномерной случайной величины.

Эмпирические значения: M = 2.986, D = 16.249

Теоретические значения: M = 3.000, D = 16.333

Относительные погрешности: δM = 0.46 %, δD = 0.52 %

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭРЛАНГА ПОРЯДКА К

В качестве параметров используются .

Рисунок 3. Частотная гистограмма эрланговской случайной величины.

Эмпирические: M = 11.929, D = 23.675

Теоретические: M = 12.000, D = 24.000

Относительные погрешности: δM = 0.59 %, δD = 1.36 %

СТАНДАРТНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Рисунок 4. Частотная гистограмма нормальной случайной величины.

Эмпирические: M = -0.001, D = 1.028

Теоретические: M = 0.000, D = 1.000

Относительные погрешности: δD = 2.84 %

БЕТА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Особенности бета-распределения

Бета-распределение — непрерывное распределение на интервале [0, 1], описывающее вероятность успеха или долю чего-либо.

Бета-распределение с параметрами α > 0 и β > 0 имеет плотность вероятности: f(x) = (x^(α-1) * (1-x)^(β-1)) / B(α, β) для x ∈ [0, 1], где B(α, β) — бета-функция, B(α, β) = Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β).

Параметры альфа и бета

Рисунок 5. Частотная гистограмма случайной величины для бета-распределения.

Эмпирические: M = 0.501, D = 0.123

Теоретические: M = 0.500, D = 0.125

Относительные погрешности: δM = 0.14 %, δD = 1.30 %

ВЫВОДЫ

Была создана программная реализация генератора непрерывной случайной величины. Непрерывная случайная величина генерируется за счёт базовой случайной величины. Вычислены теоретические и эмпирические моменты, а также построены гистограммы теоретических и эмпирических вероятностей заданных непрерывных случайных величин. Эмпирические результаты почти не отличаются от теоретических, что говорит о правильности построенных моделей.