Практическая 3 / 23--_Вариант15_пр3

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра ИС

Моделирование систем

ОТЧЕТ

практической работе №3

Тема: Замкнутая экспоненциальная сеть массового обслуживания

Вариант 15

Студент гр. 23--
Преподаватель		Татарникова Т.М.

Санкт-Петербург

2025

Задание на работу:

Необходимо найти оптимальную структуру ЗСеМО – определить сколько каналов каждого узла системы надо, чтобы задания выполнялись за допустимое время T_доп.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Считать, что в данной ЗСеМО:

 каждый узел системы – это многоканальная СМО

 число каналов первого узла K₁ постоянно и равно 4

количество каналов других СМО определяется в результате структурной оптимизации

Проверить условие: T_пр  T_доп

Если условие выполняется, то оптимальная структура системы найдена, иначе необходимо увеличить на единицу число каналов в узле с минимальной стоимостью C и повторить рекуррентную процедуру для новой структуры. Процедура структурной оптимизации повторяется до выполнения условия.

Изменить значение целевой функции Тдоп в соответствии со значением коэффициента k, то есть считать, что новое значение Тдоп = kТдоп и зафиксировать изменение структуры системы, изменения записать в табл.

РЕШЕНИЕ

Начнем выполнять рекуррентную процедуру при Это и будет первая итерация. Вычисление (увеличение 𝑗 на 1) ведется до тех пор, пока ЗСеМО не войдет в состояние насыщения. Для расчетов воспользуемся следующими формулами:

Среднее время пребывания в каждой СМО:

Среднее время пребывания заявок в замкнутой СеМО:

Уравнения баланса для замкнутой сети:

Пропускная способность ЗСМО:

Среднее число заявок в СМО:

Критерий (признак) насыщения:

Сначала сделаем схему замкнутой сети в виде графа:

Далее для расчета среднего времени пребывания заявок в ЗСеМО нужно вычислить передаточные коэффициенты. Их можно получить, решив систему уравнений баланса. В первый узел можно попасть из второго с вероятностью р₂₁ = 0,2. Во второй узел – из первого и третьего с р₁₂ = р₃₂ =1. В третий – из второго узла с р₂₃ = 0,8. В сумме все передаточные коэффициенты дают 1:

В результате получаем:

После этого по формулам рассчитаем все параметры и составим таблицу с полученными значениями:

По таблице видно, что после первых двух итераций условие по времени выполнялось, но критерий насыщения был меньше 0,9. На третьей итерации > 0,9, но время пребывания заявки в сети превысило допустимое значение (2,2338 > 2,07). То есть для k=1 эта структура не будет оптимальной. Но при k=1,7 допустимое время увеличивается и становится равно Т_доп = 1,7*2,07 = 3,519 с, поэтому структуру ЗСеМО с К₂=1 и К₃=1 и j=3 заявки можно считать оптимальной для этого случая. Оптимальной будем считать систему с наименьшим количеством каналов во всей сети и удовлетворяющей условию задания по времени и критерию.

Теперь увеличим число каналов на 1 в СМО 2, потому что именно 2 узел имеет наименьшую стоимость:

После второго выполнения процедуры мы видим, что стал больше 0,9 после 4 итерации. При этом Т_пр(4) = 2,0176 < Т_доп. Поэтому структуру ЗСеМО с К₂=2 и К₃=1 и j=4 заявки считаем оптимальной для случая при k=1.

Сравнив две таблицы из прошлых шагов, можно заметить, что коэффициент насыщения стал меньше, потому что значения пропускной способности на первой итерации не изменилось, а на второй увеличилось. Это подтверждается значениями критерия при К₂=2 и К₃=2:

Исходя из этого можно сделать вывод о том, что чем больше каналов, тем меньше коэффициент после первых двух итераций. При k=0,5 Т_пр=1,035 с. Единственное значение, которое подходит под условие задания - Т_пр=1,03 с при первой итерации (для любого числа каналов). Но, как мы выяснили коэффициент насыщения никогда не превысит 0,9 при j=1. Это значит, что оптимальную структуру для этой ситуации не найти.

Обобщим полученные результаты:

k	Tдоп, сек	Оптимальная структура
1	2,07	К1=4, К2=2, К3=1 при j=4
0,5	1,035	Нет структуры подходящей по всем критериям
1,7	3,519	К1=4, К2=1, К3=1 при j=3