Практическая 3 / 23--_Вариант9_pr3

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра ИС

Моделирование систем

ОТЧЕТ

практической работе №3

Тема: Замкнутая экспоненциальная сеть массового обслуживания

Вариант 9

Студентка гр. 23--
Преподаватель		Татарникова Т.М.

Санкт-Петербург

2025

УСЛОВИЕ

Объект моделирования представлен замкнутой системой массового обслуживания, в которой N − количество узлов системы. Узлы задаются временем обслуживания T_обсi, i = . Переход заявок между узлами системы задается матрицей вероятностей p_ij. Необходимо найти оптимальную структуру системы – определить сколько каналов каждого узла системы надо, чтобы задания выполнялись за допустимое время T_доп.

Считать, что в данной ЗСеМО:

 каждый узел системы – это многоканальная СМО

 число каналов первого узла K₁ постоянно и равно 4

количество каналов других СМО определяется в результате структурной оптимизации

Проверить условие: T_пр  T_доп

Если условие выполняется, то оптимальная структура системы найдена, иначе необходимо увеличить на единицу число каналов в узле с минимальной стоимостью C и повторить рекуррентную процедуру для новой структуры. Процедура структурной оптимизации повторяется до выполнения условия.

Изменить значение целевой функции Т_доп в соответствии со значением коэффициента k, то есть считать, что новое значение Т_доп = kТ_доп и зафиксировать изменение структуры системы, изменения записать в табл.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Т_обс1 = 0.2 ; Т_обс2 = 0.5 ; Т_обс3 = 0.45 ; Т_обс4 = 0.1 ; Т_доп ≤ 0,58

Рис. 1 Схема ЗСеМО и входные параметры

РЕШЕНИЕ

Для решения задачи структурной оптимизации применяется рекуррентная процедура, при которой:

 каждый узел системы – это многоканальная СМО

 число каналов первого узла K₁ постоянно и равно 4

количество каналов других СМО определяется в результате структурной оптимизации

Для нахождения оптимальной структуры необходимо вычислить все основные параметры сети. Выполнение рекуррентной процедуры начинается при 𝑗 = 1, _i = 0 для ∀𝑖 = . Вычисление (увеличение 𝑗 на 1) ведется до тех пор, пока ЗСеМО не войдет в состояние насыщения. Будем пользоваться следующими формулами:

• среднее время пребывания в каждой СМО:

• среднее время пребывания заявок в замкнутой СеМО:

• уравнения баланса для замкнутой сети:

• пропускная способность ЗСМО:

• среднее число заявок в СМО:

• критерий (признак) насыщения:

Сразу изобразим схему сети с указанием вероятностей переходов в соответствии с матрицей переходных вероятностей:

Рис. 2 Схема ЗСМО в виде графа

Для расчета среднего времени пребывания заявок в замкнутой экспоненциальной сети массового обслуживания (ЗСеМО) необходимо определить передаточные коэффициенты. Они находятся путем решения системы уравнений баланса.

В 1 узел заявка может попасть из 4 с вероятностью р₄₁ = 1; во 2 узел – из 1 и 2 с р₁₂ =1 и р₂₂ =0,2; в 3 узел – из 2 узла с р₂₃ = 0,5; в 4 узел – из 2 и 3 узла с р₂₄ =0,3 и р₃₄ =1. В сумме все передаточные коэффициенты дают 1.

Решим ее:

Составим таблицу с остальными параметрами в Excel, введя формулы:

Рис. 3 Таблицы для вычислений: К₂=К₃=К₄=1

Оптимальной структурой для сети будем считать ту, которая имеет минимальное общее число каналов обслуживания и при этом соответствует требованиям задания по допустимому времени пребывания заявок и критерию насыщения.

После выполнения процедуры 1 раз критерий насыщения стал больше 0,9 при j=4 заявки в сети, но Т_пр(4) > Т_доп (0,677 > 0,58), значит для k=1 начальная структура при К₂=К₃=К₄=1 не является оптимальной. При k=1,7 допустимое время стало равно 0,986 с и теперь все условия оптимальности выполнены.

Для проведения рекуррентной процедуры во 2 раз, увеличим число каналов в узле с наименьшей стоимостью – во 2, и установим последующий порядок увеличения каналов – 2, 4, 3 в соответствии со стоимостями узлов.

Рис. 4 Таблицы для вычислений: К₂=2, К₃=К₄=1

По таблице видно, что при К₂=2, К₃=К₄=1 стал больше 0,9 после 5 итерации. При этом Т_пр(5) = 0,583 с все еще больше допустимого времени. Поэтому увеличиваем число каналов дальше.

При К₂= К₄=2, К₃=1 произошла аналогичная ситуация.

При К₂=К₃=К₄=2:

Рис. 5 Таблицы для вычислений: К₂=К₃=К₄=2

На 5 итерации коэффициент насыщения >0,9 и Т_пр(5) > Т_доп. Мы нашли оптимальную структуру для k=1.

Для k=0,5 не возможно подобрать оптимальную структуру, потому что даже на 1 итерации при L_i(1) = 0 Т_пр(1)=0,311 с, что уже больше Т_пр=0,29 с. При этом с каждой итерацией Т_пр(j) увеличивается, а с последовательным увеличением числа каналов Т_пр будет стремиться к Т_пр(1)=0,311, но не станет ниже этого значения (даже при K_i=5000).

Рис. 6 Таблицы для вычислений: К₂=К₃=К₄=5000

ВЫВОДЫ

В ходе выполнения практической работы задача структурной оптимизации замкнутой экспоненциальной сети массового обслуживания при установленных параметрах и допустимых характеристиках

была выполнена, но не для всех случаев нашлась оптимальная структура сети.

В таблице представлены результаты решения.X

Применяя итерационный метод оценки средних показателей замкнутых сетей массового обслуживания, удалось определить ключевые параметры для различных количеств заявок в системе, включая среднее время пребывания в системах массового обслуживания, среднее время пребывания заявок в замкнутой сети, пропускную способность сети и среднее число заявок в системах.