Практическая 3 / 23--_Вариант5_pr3

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

«ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)

Кафедра ИС

Моделирование систем

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

Тема: Замкнутая экспоненциальная сеть массового обслуживания

Вариант 5

Студентка гр. 23--
Руководитель		Татарникова Т.М.

Санкт-Петербург

2025

Исходные данные.

Объект моделирования представлен замкнутой системой массового обслуживания, в которой N − количество узлов системы. Узлы задаются временем обслуживания T_обсi, i = . Переход заявок между узлами системы задается матрицей вероятностей p_ij. Необходимо найти оптимальную структуру системы – определить сколько каналов каждого узла системы надо, чтобы задания выполнялись за допустимое время T_доп.

Для решения структурной оптимизации применяется рекуррентная процедура (2.48) – (2.52). Считать, что:

 каждый узел системы – это многоканальная СМО

 число каналов первого узла K₁ постоянно и равно 4

количество каналов других СМО определяется в результате структурной оптимизации

Проверить условие: T_пр  T_доп

Если условие выполняется, то оптимальная структура системы найдена, иначе необходимо увеличить на единицу число каналов в узле с минимальной стоимостью C и повторить рекуррентную процедуру для новой структуры. Процедура структурной оптимизации повторяется до выполнения условия.

Изменить значение целевой функции Т_доп в соответствии со значением коэффициента k, то есть считать, что новое значение Т_доп = kТ_доп и зафиксировать изменение структуры системы, изменения записать в табл.

Рис. 1 Схема Замкнутой СеМО с исходными параметрами

Решение.

Для того, чтобы найти оптимальную структуру сети, необходимо вычислить основные параметры замкнутой СеМО. Добавим на исходную схему переходные вероятности.

Рис. 2 Схема ЗСМО в виде графа

С помощью полученной схемы и матрицы переходных вероятностей найдем передаточные коэффициенты, составив систему уравнений баланса:

Решив ее, получим:

Эти коэффициенты будут постоянными на протяжении каждого выполнения процедуры.

В работе применяется итерационный метод анализа средних значений характеристик замкнутых СеМО, позволяющий определить показатели функционирования — средние длины очередей и времена ожидания (пребывания в СеМО), производительность сети, загрузку её узлов и др. Это даёт возможность оценить критерий насыщения и сопоставить среднее время пребывания заявок в ЗСеМО с заданным допустимым значением.

Выполнение рекуррентной процедуры начинается при 𝑗 = 1, _i = 0 для ∀𝑖 = . Вычисление (увеличение 𝑗 на 1) ведется до тех пор, пока ЗСеМО не войдет в состояние насыщения. Будем пользоваться следующими формулами:

1. Среднее время пребывания в каждой СМО:

(j) = Т_обсi *

2. Среднее время пребывания заявок в замкнутой СеМО:

3. Пропускная способность ЗСМО:

4. Среднее число заявок в СМО:

5. Критерий (признак) насыщения:

Составим таблицу с остальными параметрами в Excel, введя формулы:

Таблица 1. Результаты 1 выполнения процедуры

j	L1( j )	L2( j )	L3( j )	L4( j )	Тпр1( j )	Тпр2( j )	Тпр3( j )	Тпр4( j )	Тпр( j )	λ( j )	е
1	0	0	0	0	1	0,7	0,5	0,4	0,65	1,538	0,585
2	0,385	0,269	0,192	0,154	1,096	0,888	0,596	0,462	0,761	2,628
3	0,72	0,583	0,392	0,304	1,18	1,108	0,696	0,522	0,877	3,421	0,768
4	1,009	0,948	0,595	0,446	1,252	1,364	0,798	0,578	0,998	4,008	0,854
5	1,255	1,367	0,8	0,579	1,314	1,657	0,9	0,632	1,126	4,44	0,903

После первого выполнения рекуррентной процедуры при параметрах:

Tобс1	Tобс2	Tобс3	Tобс4	К1	К2	К3	К4	а1	а2	а3	а4
1	0,7	0,5	0,4	4	1	1	1	0,25	0,25	0,25	0,25

Видно, что критерий насыщения стал больше 0,9 на 5 итерации и время Т_пр(5) < Т_доп = 1,53 с. Значит, для k=1 оптимальная структура найдена –

К₁ = 4, К₂ = К₃ = К₄ = 1. Такая же структура будет оптимальной и при k=1,7, потому что оба условия выполняются: ≤ 0,9 и 1,126 < 2,601.

Чтобы найти оптимальную структуру при k=0,5 начнем увеличивать количество каналов в соответствии со стоимостями узлов, начиная с наименьшей, то есть 4 узел, затем 3 и 2.

Таблица 2. Результаты выполнения процедуры при К_i =3000, i>1

j	L1( j )	L2( j )	L3( j )	L4( j )	Тпр1( j )	Тпр2( j )	Тпр3( j )	Тпр4( j )	Тпр( j )	λ( j )	е
1	0	0	0	0	1	0,7	0,5	0,4	0,65	1,538	0,518
2	0,385	0,269	0,192	0,154	1,096	0,7	0,5	0,4	0,674	2,967
3	0,813	0,519	0,371	0,297	1,203	0,7	0,5	0,4	0,701	4,28	0,693
4	1,287	0,749	0,535	0,428	1,322	0,7	0,5	0,4	0,731	5,472	0,782
5	1,808	0,958	0,684	0,547	1,452	0,7	0,5	0,4	0,763	6,553	0,835
6	2,379	1,147	0,819	0,655	1,595	0,7	0,5	0,4	0,799	7,509	0,873
7	2,994	1,314	0,939	0,751	1,749	0,7	0,5	0,4	0,837	8,363	0,898
8	3,657	1,464	1,045	0,836	1,914	0,7	0,5	0,4	0,879	9,101	0,919
9	4,355	1,593	1,138	0,91	2,089	0,7	0,5	0,4	0,922	9,761	0,932
10	5,098	1,708	1,22	0,976	2,275	0,7	0,5	0,4	0,969	10,32	0,946

Tобс1	Tобс2	Tобс3	Tобс4	К1	К2	К3	К4	а1	а2	а3	а4
1	0,7	0,5	0,4	4	3000	3000	3000	0,25	0,25	0,25	0,25

При последовательном увеличении каналов на 1 в определенный момент значения перестают изменяться, потому что L_i становится слишком мал в сравнении с К_i. Условие по времени выполняется при j=5, но коэффициент насыщения не доходит до 0,9. Поэтому невозможно определить оптимальную структуру для k=0,5 и Т_доп = 0,765 с.

Выводы.

Оптимальная структура была найдена при k=1 и k=1,7. Для того, чтобы найти оптимальную структуру для k=0,5 необходимо изменить количество каналов на первом узле, что по условию задачи делать нельзя.

Полученные результаты приведены в таблице:

Таблица 3. Оптимальные структуры для всех значений допустимого времени

k	Tдоп	Оптимальная структура
1	1,53	К1=4, К2=1, К3=1 К4=1 при j=5
0,5	0,765	-
1,7	2,601	К1=4, К2=1, К3=1 К4=1 при j=5