Практическая 1 / 23--_Вариант25_pr_1

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)

Кафедра ИС

Моделирование систем

ОТЧЕТ

практической работе №1

Тема: Системы массового обслуживания

Вариант 25

Студент гр. 23--
Руководитель		Татарникова Т.М.

Санкт-Петербург

2025

Условие задачи:

В торговом павильоне покупателей обслуживает один продавец. Площадь павильона равна 24 м², из них 10 м² приходится на торговый зал. Если в павильоне очередь на обслуживание составляет человек, то потенциальный покупатель туда не входит. Определите рекомендации по эффективной работе, если интенсивность прихода покупателей составляет человек в час, а среднее время обслуживания покупателя равно минуты.

РЕШЕНИЕ

Гипотеза

Из условий задачи интуитивно понятно, что данная СМО не будет работать эффективно, так как число поступающих заявок в час будет превышать число тех заявок, которые продавец сможет обработать.

Докажем это, используя аналитические расчеты.

Исходные данные

- количество каналов

- размер очереди

- интенсивность потока заявок

- среднее время обслуживания

Исходя из приведенных данных делаем вывод , что СМО является одноканальной с ограниченным накопителем H, размер которого составляет m. (M/M/1/m)

1. Расчет исходных данных

Коэффициент загрузки:

. (1.1)

, значит СМО не является стационарной

Рассчитаем вероятность отказа :

(1.2)

, а значит 83% заявок не обработаются и получат отказ.

Данный показатель демонстрирует низкую эффективность СМО.

Проанализируем, как различные изменения в условиях повлияют на повышение эффективности.

2. Расчет с изменением времени обслуживания.

Рассмотрим изменения в эффективности СМО, меняя только параметр времени обслуживания T_обс.

Подставим в формулу 1.2. данные из формулы 1.1:

(2.1)

Построим график функции , чтобы рассмотреть изменения:

Рис.1 Зависимость вероятности отказа системы от времени обслуживания

Исходя из данных, представленных на графике выше, можно заметить, что уменьшив время обслуживания до значения T_обс = 1 мин, мы получим

P_отк = 0.5.

Далее исследуем зависимость данного показателя от числа каналов обслуживания.

3. Расчет с изменением количества каналов.

Проведем расчет для числа каналов n = 2 и n = 3. Время обслуживания оставим на значении T_обс = 3 мин.

Для многоканальных СМО с ограниченным накопителем H, размер которого равен m используются следующие формулы:

(3.1)

(3.2)

(3.3)

1. Расчет для n = 2 .

Используя аналитический расчет для СМО с числом каналов n = 2 , приходим к выводу, что вероятность отказа уменьшится до значения P_отк=0.335

Проведем аналогичные расчеты для числа каналов n = 3.

2. Расчет для n = 3 .

Перед расчетом вероятности отказа , заметим, что вероятность простоя системы оказалась достаточно большой.

Хоть и значение вероятности отказа в случае 3 каналов оказалась малой, все же мы не можем взять такое количество каналов из-за большого значения вероятности простоя системы .

4. Изменение других показателей СМО.

Изменение таких показателей, как размер очереди m и интенсивности потока является нерациональным , так как m в малой степени влияет на , а интенсивность потока не следует менять, например, из соображений экономической выгоды торгового павильона.

5. Расчет с изменением показателей количества каналов n и времени обслуживания Т_обс.

Для обеспечения повышенной эффективности павильона, исходя из вычислений, проведенных выше, для расчета возьмем следующие значения: Количество каналов обслуживания .

Среднее время обслуживания

Коэффициент загрузки:

Вероятность простоя системы:

Вероятность отказа:

Средняя длина очереди:

Среднее число заявок в СМО:

Степень загрузки многоканальной СМО:

Временные характеристики:

мин - среднее время ожидания обслуживания.

- среднее время пребывания заявки в СМО.

6. Выводы

Исходя из результатов вычислений пунктов 2-5 делаем вывод, что для улучшения эффективности работы павильона, следует уменьшить время обслуживания покупателя до 2,5 мин и нанять второго продавца. Данное решение является оптимальным, так как дальнейшие увеличение числа сотрудников или уменьшение времени обслуживания приведут к увеличению вероятности простоя системы.

Если увеличение сотрудников невозможно, следует уменьшить время обслуживания. Так, например при T_обс = 1 мин, павильон будет терять только 50% потенциальных покупателей вместо 83%.

Если уменьшение времени обслуживания невозможно, следует увеличить количество сотрудников до n = 2. В этом случае павильон будет терять только 33% потенциальных покупателей вместо 83%. (В случае трех сотрудников павильон почти не будет терять потенциальных покупателей, однако вероятность простоев системы возрастет до 13%).