ДГТФ, проф. Рогозкин Д.Б.

Курс знакомит студентов с применением методов теории функций комплексного переменного для вычисления определенных интегралов, получения асимптотических разложений интегралов и рядов. В Курсе рассматриваются различные случаи использования метода перевала, метод ВКБ приближенного решения дифференциальных уравнений. Задача преподавания курса – дать студентам навыки точных и приближенных аналитических вычислений, которые необходимы для дальнейшего изучения курсов теоретической физики.

 

Дополнительные главы теоретической физики.

(календарный план)

1-ая неделя.

Оценка математических выражений. Асимптотические последовательности и ряды. Асимптотическое разложение функции.

2-ая неделя

Метод Лапласа асимптотический оценки интегралов от функций действительной переменной.

3-ая неделя

Основные понятия и результаты теории функций комплексной переменной.

4-6-ая недели

Теория вычетов и её приложение к вычислению определенных интегралов. Случаи многозначных функций.

7-ая неделя

Метод перевала. Асимптотическая оценка интегралов от осциллирующих функций. Асимптотический выражения для функций Эйри, Бесселя и Ганкеля.

8-ая неделя

Асимтотические оценки сумма ряда. Метод Ватсона суммирования ряда. Примеры.

9-ая неделя

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом контурного интегрирования Лапласа. Интегральные представления для полиномов Эрмита и Лаггера.

10-12 -ая недели.

Интегральные представления для функций Бесселя , Ганкеля и модифицированных бесселевых функций. Асимптотический выражения для бесселевых функций при больших значениях аргумента.

13-ая неделя.

Метод ВКБ приближенного решения дифференциальных уравнений. Условия применимости.

14-ая неделя.

Граничные условия и сшивание ВКБ= решений .

15-ая неделя

Применение ВКБ приближения для получения асимптотических представлений полиномов Эрмита, Лежандра, функций Эйри и Бесселя.

16-ая неделя

Приложения в задачах теоретической физики.

 

Литература.

Ли Цзун-дао. Математические методы в физике. М.: Мир, 1965.

Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного, М.: Наука, 1982.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной, М.: Наука,

Грей Э., Мэтьюз Г.Б. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике. М.: ИЛ, 1953.

 

 

Дополнительные главы теоретической физики.

(вопросы к зачету)

1. Асимптотическое разложение функций exf (X) и E(x) при x>> 1.

2. Применение теории вычетов к вычислению определенных интегралов, содержащих x , ln x.

3. Асимптотическое вычисление интегралов от функций действительной переменной методом перевала. Асимптотика гамма-функции.

4. Асимптотическая оценка интегралов от осциллирующих функций. Асимптотические выражения для функции Эйри при х >> 1.

5. Метод Ватсона суммирования рядов. Примеры.

6. Метод контурного интегрирования Лапласа. Решение уравнения Эйри.

7. Интегральные представления для функций Бесселя и Ганкеля. Асимптотические выражения. Функции Бесселя и Ганкеля при малых значениях аргумента.

8. Интегральные представления для функции Макдональда и модифицированной функции Бесселя. Асимптотические выражения; выражения при малых значениях аргумента.

9. Метод ВКБ приближенного решения дифференциальных уравнений.

10. Сшивание ВКБ решений. Условия применимости.

11. Применение ВКБ приближения для получения асимптотического представления присоединенных полиномов Лежандра. Сшивание ВКБ-решения с решением при малых углах.