Лекции_5_сем_КВАНТОВАЯ_ФИЗИКА_И_ОСНОВЫ_СОВРЕМЕННОЙ_ФИЗИКИ

Рис 10.7 Зависимость функции ! от параметра опыта !!

Как видно из рис. 10.6, в эксперименте наблюдаются значения ! , при которых ! по модулю выходит за рамки значения 2. Это означает, что локальная теория несправедлива, и результаты измерения поляризации фотона - функция !!!"!#"- являются зависимыми от параметров !!!"" # #(!$")$ A (!$")% Следствием этого является тот факт, что схема Бома из четырехканальной становится восьмиканальной: понадобится восемь значений для описания результата измерения.

Понятие запутанных (связанных) состояний

Предположим, что в схеме Бома состояние фотонов является чистым: левый прибор регистрирует фотоны с горизонтальной поляризацией, правый – с вертикальной поляризацией. Такое состояние может описываться через первый базис следующим образом:

Ø Вертикальная поляризация:

!! "

!= # $" #$!%&'

%$ &

ØГоризонтальная поляризация:

!! "

!= # $" #!$%&'

%$ &

Кроме такого базиса, существует базисы циркулярно поляризованных волн: Ø Правая круговая поляризация:

Ø Левая круговая поляризация:

81

Линейно поляризованная под углом ! к горизонту волна запишется следующим образом:

!"#! " ! +#$%!" " & '()&((*

Теперь предположим, что в точке А (Алиса) регистрируется фотон с горизонтальной поляризацией, а в точке B (Боб) регистрируется фотон с вертикальной поляризацией. Описание связанного чистого состояния (состояния, когда все характеристики знаем с вероятностью 1) в таком случае будет тензорным произведением:

! ! " = !" ! "#$!#%&

Любая линейная комбинация состояний (10.12), в свою очередь, будет являться описанием запутанного состояния (результаты измерений носят вероятностный характер, локальных поляризаций не знаем, результат измерений в одной точке будет зависеть от результатов измерений в другой):

!! !" +!" "! # $!%#!&'

Квантовые компьютеры

Как известно, обычные компьютеры работают на битах – величинах, принимающих два различных значений. Физическая реализация бита следующая:

!! "

Ø 0 – тока нет, " = # $#

%"&

!! "

Ø 1 – ток есть, " = # $#

%" &

Квантовые компьютеры же используют кубиты – величины, базирующиеся на волновых функциях:

" =!! # +!" ! $ %!#$!&'

В формуле (10.14) !!# !" – произвольные комплексные числа. Таким образом, кубит может принимать бесконечное количество значений (квантовых состояний). При измерении состояния кубита ! мы получаем, что

ØС вероятностью ! = ! ! кубит находится в состоянии ! ;

""

ØС вероятностью !! = !!! кубит находится в состоянии ! .

Отсюда выходит естественное условие нормировки:

82

!"! +!!! ="# $"%#"&'

Для достоверности измерений мы стремимся к тому, чтобы один из этих коэффициентов стремился к 0, а другой – к 1.

Лекция №11 Физические основы квантовой криптографии

Криптография – это наука о методах обеспечения конфиденциальности, целостности данных, аутентификации, шифрования.

В классической криптографии используются так называемые ключи – параметры шифра, которые являлись правилом, согласно которому преобразовывалась информация, полученная в ходе обмена между отправителем и получателем. Существует два типа ключей

– открытые и закрытые. Ключ называется закрытым, если и отправитель, и получатель обладают собственными одинаковыми ключами, которые были получены через закрытый канал связи (то есть путем предварительного обмена). В случае, если закрытый ключ используется только один раз, а затем уничтожается, практически 100% информации является защищенной. В отличие от закрытого ключа, открытый ключ передается с помощью открытого канала (например, он может передаваться вместе с очередным сообщением – как происходит при очередной оплате банковской картой). В таком случае ключ является обычно каким-либо примечательным значением для односторонней функции - функции, такой, что прямая операция производится быстро, а обратное преобразование (то есть при данном !

следует найти !! такой, что ! (") = # ) является крайне трудоемким процессом. Например,

такой функцией может являться произведение двух очень, очень больших чисел: подбор двух простых множителей, которые при произведении будут давать данное число, может занять крайне долгое время. Именно благодаря наличию односторонних функций перехват открытого ключа, посланного вместе с сообщением, не приводит к утечке информации.

Поговорим теперь о квантовой криптографии – криптографии, основанной на квантовых законах (законах квантовой физики). Основной её теоремой является теорема о запрете клонирования, утверждающая, что точная копия квантового состояния системы невозможна.

Данное положение реализовано благодаря обмену одиночными фотонами (так называемое квантовое распределение ключей). Если злоумышленник каким-либо образом попытался вмешаться в процесс передачи фотонов, то состояние системы изменится, а информация, полученная им, становится бессмысленной.

83

Итак, опишем подробней, каким именно образом происходит обмен информацией в такой системе.

Рис 11.1 Схема системы обмена зашифрованной информацией посредством строки фотонов

Одиночный фотон, излучаемый лазером и обладающий определенной поляризацией, доходит до получателя, где он регистрируется. Такая передача происходит многократно, и в результате у получателя образуется строка фотонов. Отправитель и получатель сравнивают базисы полученных фотонов; при этом ошибки и несовпадения, возникающие в результате различных факторов и не превышающие определенный порог, отбрасываются. Таким образом не происходит утечка информации, а вмешательство извне становится заметным.

Однако у такой схемы есть недостаток: фотоны довольно трудно передавать на большие расстояния без потерь, и если первоначальное расстояние (порядка несколько метров) не имело значительного влияния на процесс передачи, то на расстояниях уже порядка 100 км возникает, например, затухание интенсивности фотона в силу закона Бугера:

! (") = ! (!)""#$(#!")% &''%'(

(коэффициент ! - это коэффициент затухания), который выполняется даже в световодах. Помимо передачи фотонов при помощи световодов осуществлялась также передача

одиночных фотонов по воздушному пространству. Канал в таком случае является воздушным (открытым), а интенсивность отправляемого фотона сильнее всего поглощается в тонкой оболочке атмосферы ! !!""#!" , после чего практически без поглощения доходит до получателя (например, спутника).

84

Рис 11.2 Обмен зашифрованной информацией посредством ряда фотонов по воздушному каналу

Для преодоления проблемы поглощения в световодах используются особые устройства

– квантовые повторители. Они используются для того, чтобы избежать поглощения одиночных фотонов, и работают на принципе квантовой запутанности. Канал связи, таким образом, разбит на множество сегментов, длина каждого из которых составляет порядка 10 км.

Рис 11.3 Схема работы канала связи с квантовыми повторителями

Источник запутанных фотонов, находящихся слева на рис. 11.3, испускает два фотона, которые, предположим, имеют вертикальную поляризацию. Один из этих фотонов попадает в ячейку памяти, а поляризация другого фотона измеряется при помощи датчика. Кроме того, в соседней ячейке также имеется источник запутанных фотонов, с которыми происходят те же процессы. Если датчик прочитал, что фотоны !!"!"#!! обладают одинаковой поляризацией, то можно сказать (в силу того что соответствующие фотоны, испущенные одним источником, находятся в запутанном состоянии), что фотон, хранящийся в ячейке памяти, также обладает вертикальной поляризацией. Таким образом, информацию по такой цепочке возможно передавать довольно далеко без потери информации.

85

Примечание. Почему же используются одиночные фотоны, а не, скажем, какие-либо частицы?

Ответ: фотоны видимого света обладают энергией !! " !"!"# а тепловая энергия !" , которая будет соответствовать такой величине !!! будет достигаться при температуре

!" = !! " " =!!! "#" #$! %! #"!"# " #$$%&'

так что такие фотоны будут устойчивы к тепловым возмущениям.

Тепловое излучение.

Тепловое излучение происходит в замкнутой системе, все тела в которой находятся при постоянной температуре. В такой системе между телами происходит обмен электромагнитным излучением, которое возникает в результате теплового движения заряженных частиц в телах.

Таким образом, происходят постоянные акты излучения, отражения и поглощения; при этом температура тел не меняется (говорят, что излучение находится в равновесии с веществом). Получаемое тепловое излучение является однородным, изотропным и не поляризованным. Кроме того, такое излучение будет зависеть от частоты (например, максимум теплового излучения человеческого тела приходится на инфракрасную область), то есть тепловое излучение обладает определенной спектральной характеристикой.

Рис 11.4 Тепловое излучение системы

Объемная плотность теплового излучения ! (" )определяется следующим образом:

# ($ ) = !" !!" "" #$$%!&

# ! $

!% % # &

где !" - энергия электромагнитного излучения в объеме !" ! Плотность потока энергии теплового излучения !" :

!" = #$ !$!" ! "##!$%

86

Поскольку ! (" ) также зависит от частоты излучения !! введем спектральную

плотность энергии !! (!!" ): в диапазоне !! ! + !! она равна

Рассмотрим малую площадку тела.

Рис 11.5 Процессы передачи энергии между телами

Условием теплового равновесия ! = "#$%& , очевидно, являются следующие ограничения:

!" !*!"# = +*!$% + +*$&' #" !*!$% = +*()!

Для удобной работы с описанными потоками введем понятия испускательной и поглощательной способностями тела.

Светимостью тела ! называется отношение потока света, испускаемого с площадки, к площади этой площадки !" !

Поскольку светимость будет разной в разных частотных диапазонах, вводят понятие испускательной способности тела !! в диапазоне !! ! + !! :

Поглощательной способностью тела называется отношение поглощенного потока излучения к падающему:

87

"! = !&!"# [!]" #!!"$%

!&!$%

Из определения видно, что ! " !! ""#

Взависимости от поглощательной способности тела делятся на:

ØАбсолютно отражающие (зеркальные): !! = !"

ØАбсолютно черные: !! =!"

ØСерые: ! < !! <"#

Всвое время Кирхгоф, разносторонний человек, обнаружил, что отношение испускательной способности к поглощательной есть универсальная функция ! (функция

Кирхгофа), которая является одной и той же для любых тел:

" (!!# ) = !! " #$$"%& $!

Впервые явный вид функции ! (!!" ) обнаружил Планк, поэтому она так и называется

– функция Планка. По формуле (11.9) нетрудно определить, что функция Планка есть испускательная способность абсолютно черного тела.

Получим явный вид функции ! (!!" )! которая пригодится нам позже. Если фотон обладает энергией ! = !"! то

!" = "! (!!# )!! = " !$! ! "##$#%&

где !"! "число нормальных состояний электромагнитной волны в интервале !!! + !! в

единичном объеме (либо, что то же самое, число фотонов, которое может находиться в спектральном диапазоне !!! + !! в единичном объеме).

В одномерном случае с использованием понятия стоячей волны рассчитаем n:

Рис 11.6 Одномерный случай стоячей волны

88

!= " !# ! " ="! #! $!%%%

#= #!" !

#! = " "%

Однако нас, конечно же, больше интересует объемный случай, когда электромагнитная волна заполняет кубик с длиной стороны ! !

Рис 11.7 Трехмерный случай стоячей волны

$!% = ! &! " $"% = ! &! " $! " $" " $# " #$ $#% = ! &! "

При "! !! можно считать, что величины "! являются непрерывными, поэтому обе части уравнений можно продифференцировать, а затем перемножить, и получить

$% $% $% = &! $' $' $' $

!"#"$! ! ! ! " #

$%

Число слева есть число стоячих волн в кубике с ребром ! в интервале с приращениями волновых векторов, равных $%! ! $%" ! $%# ! а произведение соответствующих приращений в правой части уравнения – объем, который мы выразим в сферических координатах. Поскольку $! ! $" ! $# ! "! будем рассматривать только ту часть сферы, все три координаты точек которой являются положительными.

89

Рис 11.8 Переход в сферическую систему координат

С учетом преобразования объема в правой части уравнения, а также двумя возможными поляризациями фотонов, итоговое выражение для !" будет следующим:

Разберемся теперь с энергией фотонов. Классическая физика предполагала, что на одну колебательную степень свободы приходилась энергия !" !

! = !"!

Это предположение оказалось несостоятельным – получаемая из него формула приводила к «ультрафиолетовой катастрофе» - парадоксу классической физики, состоящего в том, что полная мощность теплового излучения любого нагретого тела должна быть бесконечной.

Решить проблему помогла квантовая физика: предполагая, что вещество испускает и поглощает фотоны порциями, было сделано предположение, что уровни энергии атомов в веществе на самом деле являются уровнями энергии квантового осциллятора, то есть

! = !!!! ! = "!#! $%%% #%#$'

В таком случае распределение частиц по уровням энергии подчиняется распределению

Больцмана !"# " $ !! #, откуда получим, что средняя энергия частицы будет равна

%' !" &(

90