Лекции_5_сем_КВАНТОВАЯ_ФИЗИКА_И_ОСНОВЫ_СОВРЕМЕННОЙ_ФИЗИКИ

Оказывается, что ускоряющийся электрон, прилетающий к атому антикатода, способен выбить электрон не только из внешней оболочки атома (электроны на которой обладают наименьшей силой связи с ядром), но и при достаточной энергии налетающего электрона – из внутренней оболочки, расположенной близко к ядру. На месте вырванного таким способом электрона образуется «вакансия» - свободное место.

Рис 7.3 Схема расположения электронов и их переходов для атома антикатода

На место вакансии могут перепрыгнуть электроны с внешних орбиталей, и, как нам известно, по второму постулату Бора при таком переходе будет излучаться квант рентгеновского диапазона.

Для каждого их указанных на Рис 7.3 мы можем написать уровень энергии: $! = " !" (#!"! !! )! " #$%&'

где ! ! — это постоянная экранирования (порядка единицы), которая возникает в связи с экранированием ядра электронами с внутренней подоболочки. При заряде ядра атома

!" ! ! ! #" величина этой константы !! ! "!

51

Рис 7.4 Экранирование электронами из внутренней подоболочки ядра от остальных электронов

Таким образом, частота излучаемого рентгеновского излучения находится из постулата

Бора:

Из формулы (7.2) следует, что структура рентгеновского излучения состоит их одинаковых пиков, чистота которых зависит только от заряда ядра атома элемента.

До появления формулы (7.2) был известен экспериментальный закон Мозли, который утверждает, что частота излучаемого кванта ! связана с зарядом ядра ! следующим образом:

! = ! (" #" )! "#!$%

Рис 7.5 Зависимость корня частоты рентгеновского излучения от заряда ядра элемента (закон Мозли)

На Рис. 7.5 ! линия обусловлена переходом электронов с термов ! оболочки ! на свободное место в оболочке ! , при этом возникают 2 линии !! (переход с термов

#!!# $!" #!"# "#$$%&'%#%&'(($)* Линия ! ! в свою очередь, обусловлена переходом электроном с

! оболочки на ту же вакансию оболочки ! (см. Рис. 7.3).

Для рентгеновского излучения работают правила отбора, сходные описанным нами ранее (см. Лекцию №5):

!! = ±!" !" = #" ±! $%&'(

Отметим, что для линии !! и электрона, осуществляющего переход с терма с главным квантовым числом !! = ! на терм !! =!, константы экранирования !! #!"!" которых примерно одинаковы и равны !! "!" "!#!$= ! , корень квадратный частоты испускаемого рентгеновского излучения ! будет равен

52

спектрального излучения, то станет ясно, что линия !! на самом деле является дублетной в силу тонкой структуры терма !! , появляющейся из-за спин-орбитального взаимодействия.

Двухатомные молекулы

Для совершения еще одного качественного прыжка в описании излучения веществ рассмотрим, каким спектром излучения обладают двухатомные молекулы и почему в природе все обстоит именно так. В качестве «подопытного» будем препарировать и рассматривать внутреннее строение молекулы водорода Н2, связь в которой между атомами ковалентная.

Рис 7.6 Виды связей в двухатомной молекуле При осуществлении ковалентной связи между двумя атомами справедливо, что

электронная пара, возникающая при объединении атомов, одинаково принадлежит каждому из атомов, образующими ковалентную связь, то есть каждый из электронов может в одинаковой степени оказаться как рядом с одним атомом, так и другим атомом.

53

Рис 7.7 Вид потенциальной ямы для электрона в ионе молекулы водорода Н2

На Рис 7.7 показана потенциальная яма, создаваемая двумя протонами. Каждый электрон может быть у двух атомов в силу того, что он может перепрыгнуть потенциальный барьер (вспоминаем Лекцию №3!), то есть происходит так называемый процесс

коллективизации.

Попробуем написать качественную теорию для двухатомной молекулы. Вначале – для молекулы водорода.

Рис 7.8 Схема молекулы водорода. Электрон, находящийся ближе к протону – «свой» электрон этого протона.

Оценки будем проводить в приближении Борна-Оппенгеймера (адиабатическое приближение), которое основывается на том, что в силу значительной разницы масс электрона и протона ( #! = !"#$!"#$%&" = '$ ())%!"#$%#!! *'''&" + протоны являются неподвижными. В силу используемого приближения волновая функция будет является функцией двух векторов

" - энергия связи второго протона со своим электроном,

! !

" = ! !! " ! #!! $! !%! ! !&"! # $%&'()

!!" - энергия связи двух систем протон-электрон,

Электрончики в таком рассмотрении являются тождественными, поэтому их можно переставлять. Из этого следует, что решением уравнения Шредингера будут являться волновые функции

Функция ! ! +" будет называться симметричной, функция ! ! "" - антисимметричной. После нахождения решения в первом приближения воспользуемся теорией

возмущений из квантовой механики для нахождения поправки к энергии с учетом !!" !

"! = #!#"!"!#$!#$" $%&!'(

Тогда полная энергия системы будет равняться

! = "!! + ! !#$%!&'

55

Рис 7.9 Зависимость уровней энергии от расстояния между протонами !

Следующим шагом мы попробуем учесть движение ядер, чтобы наша молекула начала «дышать». Протоны теперь могут вращаться и колебаться!

Полная энергия атома будет расписываться следующим образом:

" = "! + "!"# + "$% ! #"& !$%&!"#$"!"# !!% &%$!"#$"$% !%&!! %&!" $!"'( )*(%+'

Мы увидим, что

"! ! "!"# ! "$% !

1) Найдем энергию вращательного движения !!" , то есть энергию вращения молекулы

как целого.

Рис 7.10 Вращение молекулы водорода.

#!" = !!! " " = !!" #!" = " ! #$%&'(

! !!

Формула (7.15) удобна тем, что нам известна формула полного момента импульса молекулы:

! ! = !! " "" +#$% "&'#($

56

на основе механического момента импульса электронов, рассматривая при этом только электронные оболочки.

Механический момент импульса атома равен

"! = !! ! +! " #$%!&

апроекция момента импульса на выделенное направление может принимать одно из значений

#"! = !$"! "#$%&

где "! принимает одно из значений !!! !! +"!!! !+ "! ! "#

Аналогичным образом, спиновый момент электронов и его проекция принимают

В векторном представлении полный механический момент атома будет равен $ ! = $ " + $ # ! "#$%&

$ ! = "! ! +' ! "#$(&

где ! = " ! # !+!! " #"

Проекция полного механического момента # " ! равна

# " ! = !$" ! "#$%&

где "! = !! !!! !"

В описываемой нами векторной модели моменты, определенные формулами (8.1) – (8.7), изображены на Рис. 8.1. Выделенное направление !" при этом совпадает с направлением магнитного поля !! а у всех векторов $ ! ! $" ! $# определены только модуль и проекция на !"! Благодаря этому картинка может «крутиться» вокруг выделенного направления.

58

Рис 8.1 Иллюстрация механических и магнитных моментов в атоме.

Определим теперь магнитные моменты, присутствующие в атоме.

Рис 8.2 Связь механического и магнитного моментов электрона в атоме.

Их курса механики нам известно, что механический момент импульса атома, изображенного на Рис 8.2, будет равен

" = #! $!!" #$"$%

Магнитный же момент атома может быть найден с учетом того факта, что магнитный момент плоской рамки с током равен произведению величины тока, протекающего в ней, на площадь её контура:

µ = "# = " "# $! = !!!" "$! = !!! $! " #$"%& Сопоставляя формулы (8.8) и (8.9), увидим, что связь между механическим и

магнитным моментами следующая:

59

!! !

µ= ! '#! " ! "#!$%&

!

Напомним, что множитель !"! , стоящий перед полным механическим моментом

атома (без знака), называется гиромагнитным отношением электрона.

Но это все векторы – баловство! – потому что векторами оперируют в классической физике, а в квантовой физике, как мы помним, основным инструментом являются операторы. Для упрощения последующих записей «крышечки» операторов опущены.

Итак, запишем выражение для магнитного момента атома, обусловленного механическим моментом электронов, и его проекции:

!" !

µ! = ! '$" # ! ! "#$%%&

µ"! = ! %%# # $ "! ! "#!$%&

Вто же время эксперимент показывает, что со спиновым моментом электронов дело обстоит по-другому: в гиромагнитном отношении пропадает двойка!

!# !

µ" = ! %# $ " ! "#$%&'

С учетом форму (8.11 – 8.14) полный магнитный момент атома µ в векторной модели будет вычисляться следующим образом:

µ = µ! + µ" ! "#!$%&

Из-за различающихся гиромагнитных отношений в формулах (8.11 – 8.14) у вектора µ появляется угол с осью Oz, что позволяет разложить его на две части: одну часть пустить по Оz, вторую – перпендикулярно ей, то есть

µ = µ! + µ!! "#!$%&

Усреднение полученного магнитного момента по времени дает нам, что µ! = ! (так как вектор µ! вращается по всем направлениям), поэтому

µ! = µ!! ! "#!$%&

Выведем формулу фактора Ланде, позволяющего найти, чему равен модуль составляющей µ! полного магнитного момента атома.

60