Лекции_5_сем_КВАНТОВАЯ_ФИЗИКА_И_ОСНОВЫ_СОВРЕМЕННОЙ_ФИЗИКИ

Обозначим ! ! = ! и распишем уравнение (4.12):

!!

Данное уравнение решается разделением переменных: ! (!!") = "(! )#!(")" При подстановке данного выражения получится следующее уравнение:

По обе стороны уравнения (4.14) стоят выражения, которые зависят от разных переменных: выражение слева зависит от ! , справа – от !! Равенство между ними возможно в том и только том случае, когда оба выражения равны константе !"#$% (!"") # C! #

Для решения уравнения (4.14) введем замену !"#! = "$ С учетом замены и преобразований уравнение (4.14) преобразится к следующему виду:

Решение уравнения (4.15) будет являться непрерывной ограниченной функцией тогда и только тогда, когда

! = !!! +"#$ ! = %$ "$ &$ ''' ( !)'"*#

при этом решения !!! " будут являться присоединенными полиномами Лежандра, имеющими следующий вид:

# (! ) = #" ! !"#$"%& !'&()%

Форма записи (4.16) содержит следующий смысл: при фиксированном значении числа ! число ! может принимать значения !!! !! +"! ###! ! "! !# В химии число ! называется орбитальным квантовым числом, число ! -магнитным квантовым числом.

Согласно формуле (4.15) и определению числа ! = ! ! собственные значения квадрата

!!

момента импульса ! ! принимают следующий вид:

! ! = !!" (" +")# $%#"&'

Рассмотрим пример ! = ! (Рис 4.2):

31

Лекция №5 Атомы щелочных металлов. Тонкая структура спектральных линий. Спин-

орбитальное взаимодействие. Многоэлектронные атомы.

Итак, по результатам Лекции №4 было получено выражение для пси-функции электрона, находящегося на орбите атома водорода:

!"#! ($!"!#) = %"# ($ )&# ! ""!## "$%

Заметим, что функция ! зависит от квантовых чисел !! "! #! функция ! - от !!!"#$ а

функция ! - от ! !!""# Радиальная часть уравнения, извлеченная из уравнения Шредингера (см. 4.21) после

решение ищется в виде степенного ряда.

Волновая функция - решение уравнения (5.2) является конечной в том и только в том случае, когда выполняется условие: ! !+ " !(здесь n – главное квантовое число, l – орбитальное квантовое число). Из решения получим, что возможны следующие дискретные уровни энергии (ср. с (1.8а), Лекция №1):

Напомним, что квантовые числа могут принимать следующие значения:

! =!" #" !

"= $" !" ! !! %!"#$%&'(!)#* " " +,

# = !"" !" "

Щелочные металлы

По своей структуре электронной оболочки щелочные металлы (литий, натрий, калий, рубидий, цезий) напоминают водород, поскольку на их внешнем энергетическом уровне находится один валентный электрон. Он определяет механический момент всего атома, поскольку внутренняя структура является, по сути, атомом инертного газа, полный механический момент которого равен нулю.

Терм электрона атома щелочного металла в основном (невозбужденном) состоянии записывается следующим образом:

34

Рис 5.2 Спектр излучения натрия на «плохом» спектральном приборе. Две желтые линии сливаются в одну

Данное наблюдение возможно объяснить существованием расщепления уровней энергии в атоме. Для его учета введем дополнительное квантовое число ! - спиновое:

&"# ! &"#$! "

$! = ± #! $%$!"#!$%&''()*!+,'"%()*-"-&'$*./&0$1"'2" ! = #! "

'%! = $! ! = ± #! !" ' !! = !! ! (! +#)&

Смеханическим моментом электрона в силу наличия заряда у последнего связан

магнитный момент электрона µ! , который, согласно гиромагнитному отношению электрона, будет равен

µ! = ! " # ! !"#$% $"

В таком случае проекция магнитного момента µ!" будет равна

Здесь µ! = !! = #$%!&" '#!!" "#! (!"#$%&'$()'*"+ !"! $%

37

Из выражения (5.8) следует, что электрон обладает собственным магнитным моментом µ! !При осуществлении перехода в систему отсчета, связанную с электроном, получим, что ядро атома будет «бегать» вокруг электрона, а он будет оставаться не подвижен. Ядро является заряженным, поэтому будет возникать электрический ток в замкнутом контуре – а, следовательно, и магнитное поле, создаваемое движением ядра, которое, в свою очередь, будет действовать на магнитный момент неподвижного электрона (спин-орбитальное взаимодействие). Оценим его энергию (Рис 5.5).

Энергия взаимодействия магнитного поля с магнитным диполем:

!

!" = µ"! #!"

Сила тока I, возникающая в круговом контуре, равна

# = ! = !!" , $ ""%!

а магнитная постоянная µ!

µ! = ! # " $

!!

Таким образом, эффективное магнитное поле, создаваемое одним витком, будет равно

В таком случае оценка для расщепления уровней энергии будет следующей:

где E -энергия первого уровня атома водорода -13,6 эВ.

Таким образом, оценка величины тонкого расщепления по порядку будет следующей:

а экспериментально полученное значение величины расщепления

#!! = &'("# $ =%""! #

т. е. полученные величины совпадают по порядку.

38

окрестности координат !!" а второй – в окрестности !! "

Решение уравнения (5.11) усложняется наличием оператора "!" ( !! ! !! ) Попробуем

#

"

"

!

решить его, пренебрегая этим взаимодействием (! = !), т. е. решим задачу в первом

приближении. Полученный результат будет очень груб в силу того, что пренебрегаемая величина по порядку равна порядку взаимодействия электронов с ядром, однако это единственный способ продвинуться к решению (5.11). При этом условии задача сводится к задаче о водородоподобном атоме, а вероятность найти один электрон в какой-либо области

пространства не зависит от другого электрона, поэтому функция ! (! ! ) будет представлена

!!# !"

в виде произведения двух пси-функций:

! (! ! ) =! (! )"! (! )

#!# #" ! #! " #" # $%&!"'

а энергия атома – в виде суммы двух энергий:

# = #! !"# + #" !$#% !&%"'#

Таким образом, уравнение (5.11) распадется на два уравнения после разделения переменных по формуле (5.12):

Уравнения (5.13) – это уравнения Шрёдингера для водородоподобного атома с Напомним, что данное приближение является очень грубым.

Для решения задачи точнее заметим, что электроны являются неотличимыми друг от друга. При этом условии перестановка электрона не должна изменять состояния атомов – а, значит, плотность вероятности не изменяется:

! (#!!# #!" ) =!! (#!! )"!" (#!" )#

! (#!" # #!! ) =!! (#!" )"!" (#!! )# $%&!'(

! (#!!# #!" ) " = ! (#!" # #!! ) " &

Данное условие выполняется в следующих случаях:

40