Лекции_5_сем_КВАНТОВАЯ_ФИЗИКА_И_ОСНОВЫ_СОВРЕМЕННОЙ_ФИЗИКИ

Для состояния сплошной энергии нормировка происходит на дельтафункцию.

Что нужно знать про операторы в квантовой механике: 1) Операторы являются линейными, т. е.

динамический оператор;

3)При измерении динамической величины, представленной каким-либо эрмитовым оператором !" то с определенной вероятностью мы получаем собственное значение оператора !"

!!! = "!!! " #!"#$"! # $%&'%()#**$+*,-#*.#$&/#0,(&0,$!1

4)Принцип суперпозиции: произвольную волновую функцию частицы возможно выразить через собственные волновые функции оператора !"

! = ""!!! !

!

где множители "! показывают вероятность того, что величина ! принимает значение, равное !! !

а потому может быть использован для нахождения средней энергии частицы по формуле (3.10):

21

="! !!

!" " #$#

Займёмся решением уравнения Шрёдингера в простейших случаях. Для случая ! = ! решение было дано в Лекции №2 (См. (2.4)).

Изобразим случай движения частицы в небольшой (ограниченной) потенциальной яме одномерного случая.

Рис 3.1 Одномерный случай движения частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме

Для классической частицы энергия является постоянной:

Решать такое дифференциальное уравнение нужно с граничными условиями, сделав смелое предположение, что у частицы выхода за пределы потенциальной ямы нет, то есть

! (!) =! (! ) = !"

Нетрудно заметить, что с точки зрения математики данное уравнение является уравнением гармонических колебаний:

Общее решение данного уравнения имеет вид ! = !!"# "# (слагаемое с косинусом было

опущено в силу наличия граничного условия ! !"# = "#$Дискретный спектр энергий возникает непосредственно из граничных условий, накладываемых на функцию ! !

!!"# "# = $ " "#= !A% A= &% '% (% )% *** +(*&(,

22

где ! называется квантовым числом. При возведении обеих частей уравнения в квадрат и подстановки коэффициента ! из формулы (3.12) получим следующее выражение для энергии

"! ! соответствующей квантовому числу ! :

"! = ! !!! !! " #$"%&' !#$!

Таким образом, каждому значению энергии соответствует единственная волновая функция вида

"! = "!"# !A! #$ %&$'()

Для получения ответа, удовлетворяющего постулатом квантовой механики, полученные выражения осталось отнормировать на единицу:

Изобразим уровни энергии, которые может принимать частица при данных условиях, а также плотности вероятности:

Рис 3.2 Уровни энергии частицы, движущейся в потенциальной яме

Из Рис 3.2 наглядно видно, что, во-первых, ! ! ! в силу выполнения принципа неопределенности Гейзенберга, во-вторых, вероятность обнаружения частицы в различных участках отрезка [!" !] различная и, наконец, при ! ! " «горбы» функции распределения равномерно заполняют весь отрезок, и, значит, возможен переход от квантовой механики к классической механике.

Рассмотрим гармонический осциллятор.

23

прошлых курсов физики известно, что вероятность нахождения частицы возрастает при приближении координаты ! к границам отрезка ! , в котором происходят гармонические колебания .

Рис 3.3 Потенциальная энергия гармонического осциллятора в первом приближении

Для нахождения волновой функции частицы-гармонического осциллятора вновь обратимся к уравнению Шрёдингера из квантовой механики. На этот раз оно примет следующий вид:

В силу определения волновой функции граничные условия будут следующими:

! (! " ± #) "!"

Для того, чтобы решить уравнение Шрёдингера в таком виде, введём новую переменную ! !

"! = !!!"! "

Сучетом замены после преобразований уравнение (3.18) преобразится к следующему

виду:

Решением данного дифференциального уравнения будут функции, которые устроены следующим образом:

24

где " ! — это полиномы Эрмита, которые устроены следующим образом:

#! (! ) = ("")! #$% (! ! )# ""!!! (#$% ("! ! ))& '(&!)*

Данные полиномы будут являться решением (3.18б) в том и только том случае, если

Уровни энергии, соответствующие решению (3.19), будут выглядеть следующим образом:

"! = !!"! + !&#$ "%$&

Как видно из формулы (3.22), спектр линейного гармонического осциллятора является линейным.

Д/з : найти нормировочный коэффициент "! !

Нулевому уровню энергии ! = !" таким образом, соответствуют значения

!! = !"! #

#! = "! $%&'$ """ ()

Первому уровню энергии ! =! соответствуют значения

!! = #" !!$

#! = "! %&'($ """ ) %""*

Изобразим уровни и плотности вероятности для квантовой частицы:

Рис 3.3 Уровни энергии гармонического осциллятора

25

На Рис. 3.3 видно, что в таком случае квантовая частица способна выходить за пределы потенциального барьера, в отличие от классической частицы, а вероятность найти квантовую частицу в координате ! = ! значительно выше вероятности найти в ней классическую частицу.

Квантовая механика, кроме того, порой порождает любопытные наблюдения. Ответим на вопрос: что может произойти с частицей, находящейся в потенциальной яме конечной глубины?

Рис 3.4 Частица, находящаяся в потенциальной яме конечной глубины

Расчеты показывают, что даже в случае !! > " существует вероятность обнаружения частицы в зоне ! > " :

! (!) ! !"#("" (! "# ))$ %&'(&)

где " = "!!" (#! $ ) !# Вследствие этого возможно «просачивание» квантовой частицы через потенциальный барьер.

Лекция №4 Квантование момента импульса. Результаты квантовой механики для атома водорода

Напомним, что в квантовой механике проекции импульса на оси определяются следующим образом:

26

Именно из-за формы проекции оператора момента импульса на Oz нами ранее было

"!! = "!!" #!"#$"! $%$&'(&)*#++,#$-+./#+01$'2#3.)'3.$"! $#%&$'(#

Согласно одному из постулатов квантовой механики, при измерениях динамической величины, которой сопоставлен како-либо оператор, могут получаться только результаты, совпадающие с собственными значениями этого оператора.

С учетом формулы для проекции момента импульса ! = ! " получим, что

" ! # "!

""!! = !" " !!!

что приводит нас к хорошо знакомому ответу – экспоненте:

Для получения квантования мы должны получить дополнительное условие: при изменении угла !!!"#$" значение функции меняться не должно (функция ! однозначна):

и, таким образом, с учетом формулы (4.10),