Лекции_5_сем_КВАНТОВАЯ_ФИЗИКА_И_ОСНОВЫ_СОВРЕМЕННОЙ_ФИЗИКИ

Отметим, что полученное выражение не входит в кажущееся противоречие с теорией относительности, поскольку физический смысл имеет не фазовая, а групповая скорость распространения волнового пакета.

"!" = !!%! = !"!# = #"$! =" < $" #!"$%&

Здесь, как и ожидалось, групповая скорость волны всегда меньше скорости света и совпадает со скоростью движения частицы.

Принцип неопределенности Гейзенберга

Рис 2.1 Атом водорода согласно теории Бора

На рис. 2.1 показан атом водорода согласно теории Бора. Согласно формуле (1.5) имеем, что момент импульса электрона на разрешенной орбите равен:

!!" = #!.

По формуле (2.5) после преобразования импульса получаем, что

!" = !!#! $ !!#! "= #! $!!" =##" #!$%%&

т. е. на орбитах, разрешенных по Бору, укладывается целое число длин волн де Бройля.

Если обе части первого выражения домножить на !!" # то получим следующее выражение:

! "! " = ! #! > !" # =#" !"$"%%% &!%#!'

Это означает, что для атома водорода движение электрона по окружности всегда будет таким, что произведение импульса на длину окружности больше приведенной постоянной Планка: одновременно измерить абсолютно точно импульс и координату электрона на окружности нам запрещает данное выражение. Из-за этого в квантовой механике приходится отказываться от понятия траектория движения частицы.

11

Дифракция Фраунгофера на щели

Поскольку в веденной теории частица обладает волновыми свойствами, то она точно так же, как световая волна, может дифрагировать на тонкой щели.

Рис 2.2 Дифракция де Бройлевской частицы на щели

Частица влетает в щель в какой-то её координате, однако точно указать, где именно прошла частица, мы не можем: нам известно лишь то, что это было в какой-то точке промежутка !!!

После прохождения щели из-за дифракции у частицы появилась вертикальная составляющая импульса #"! = " !"#" = " #!! , откуда следует, что

#"! #! = " =!"! >!" #!"$%&

Это соотношение вновь показывает нам, что в микромире произведение двух неопределенностей больше, чем приведенная постоянная Планка.

Такую же закономерность возможно увидеть при обработке волновой функции. Существенное изменение экспоненты с мнимым показателем происходит при изменении показателя на ! , откуда получаются следующие соотношения неопределенностей:

"$! "! ! ! " # "!

"$" "" # "! "#$%&'

"$# "# # "$

Соотношение такого же вида получается из волновой функции для энергии и времени:

!!!" " !! "#!$%&

Поэтому, если в квантовой механике мы точно измеряем энергию, то эта энергия обязана быть энергией стационарного состояния (неопределенность времени стремится к

12

!"#$%!&'$('&%)*+"!! " #,- Кроме того, из этого же соотношения в конце лекции будет получен тот факт, что ЗСЭ может нарушаться с такой точностью на время !!!

Камера Вильсона

Рис 2.3 Пролет электрона через камеру Вильсона

В эксперименте по наблюдению трека электрона в камере Вильсона, казалось бы, мы видим явную траекторию частицы, хотя, согласно описанным выше изложениям, понятие траектории не применимо к движению микрочастиц. В чем же дело?

При движении электрона со скоростью ! !"#! $!"# поперечная ширина оставляемого им трека составляет ! !!"!"!# Согласно отношению неопределенностей Гейзенберга (2.14), неопределенность в измерении поперечной составляющей скорости "!! составляет

"!! " #!! ""#! $!"# #!$

"

Эксперименты с длиной волны де Бройля

В экспериментах с длиной волны де Бройля будем рассматривать нерелятивистские электроны с кинетической энергией, много меньшей энергии покоя электрона "!! ! "#! #$

При ускорении электронов при помощи разности потенциалов ! их де Бройлевская длина волны будет составлять, согласно формуле (2.7),

Из данной формулы видно, что электроны, ускоренные разностью потенциалов 1 В, обладают длиной волны порядка 1 нм. Это означает, что они будут легко дифрагировать на кристаллической решетке. Вместо рентгеновского излучения мы теперь можем брать пучок

13

электронов с энергией порядка 1 эВ и облучать этими электронами кристаллы, которые обладают периодической структурой.

Опыт Дэвидсона и Джермера

В данном опыте рассматривалась дифракция пучка электронов на монокристалле никеля по формуле Вульфа-Брегга. Максимумы дифракционной картины соответствовали максимумам силы тока !!

Рис 2.4 Отражение электронов от кристаллической структуры монокристалла никеля

По формуле Брегга-Вульфа и (2.7) имеем:

При постоянном угле скольжения ! = !"#$% левая часть данного выражения остается постоянной, и, значит, корень напряжения должен быть пропорционален порядку дифракции

! ! ! ! "! Это позволяет нам построить график зависимости ! !" "# где максимумы графика будут значениям ! ! при которых наблюдаются дифракционные максимумы соответствующего порядка.

14

Рис 2.5 График зависимости ! !" " в опыте Дэвидсона и Джермера

Опыт Томсона и Тартаковского

В данном опыте пучок электронов (пучок не отклоняется под воздействием внешнего магнитного поля) с энергией порядка 10 кэВ, длиной волны де Бройля ! !"#"! $!" падает на металлическую поликристаллическую пластинку. Если угол скольжения по отношению к отдельному кристаллу равен ! , то угол отклонения электрона от вертикали будет равен !!"

На экране будет наблюдаться дифракционная картина – зеленые кольца. При этом наблюдение такой картины возможно даже при пропускании одного электрона (опыт Фабриканта, Бибермана и Сушкина), т. е. волновые свойства присущи не совокупности микрочастиц, как казалось бы, а присущи одной микрочастице. Это фундаментальное свойство природы.

По итогам опытов можно сказать, что волновые свойства универсальны и справедливы для всех микрочастиц после попадания в мир квантовой механики. Ура!

Минимальная энергия в атоме водорода

Рис 2.8 Атом водорода

15

В классической механике минимальная энергия частицы соответствует состоянию её покоя, т. е. ! = !" В квантовой же механике ! > !" а в состоянии с минимальной энергией можно измерять импульс с погрешностью !!и считать, что импульс примерно равен этой погрешности ! ! ! !!"# Неопределенность положения электрона на орбите пропорциональна радиусу !!! ! ""# Напишем соотношение неопределенностей в состоянии с минимальной

энергией:

!"! !! " ! " " " !# !

Энергия электрона в атоме водорода равна

В состоянии атома с минимальной энергией !!"#

'!!

##$% = " = " ()* +&/01 !%"

Задача про частицу, которая находится в бесконечно глубокой потенциальной яме

Рис 2.9 Движение частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме

Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме движется между её стенками с

!=! ! Подлетая к каждой стенке, она испытывает удар, меняет скорость на противоположную

идвижется в обратном направлении. Мы знаем, что частица находится в этой яме (выпрыгнуть из неё она не может), поэтому неопределенность координаты будет равняться ширине этой ямы:

!! = "!

!"! !! ! "!

16

Импульс частицы на самом низком состоянии так же, как и в предыдущей задаче, будет порядка погрешности измерения импульса, поэтому

Виртуальные частицы.

Электромагнитные взаимодействия, сильные ядерные взаимодействия и слабые ядерные взаимодействия можно описывать при помощи виртуальных частиц. Любое из этих взаимодействий между двумя частицами можно свести к обмену виртуальными частицами: одна частица такую виртуальную частицу излучает, а другая взаимодействующая частица эту виртуальную частицу поглощает, причем сами частицы своё состояние не изменяют.

Обмен виртуальными частицами приводит к нарушению ЗСЭ, потому что одна частица, не изменяя своего состояния, излучает виртуальную частицу.

В случае, если виртуальная частица имеет массу m:

!! ! "#! "

Рис 2.10 Взаимодействие двух частиц посредством виртуальной частицы (ВЧ)

Согласно отношению неопределенностей Гейзенберга ЗСЭ нарушаться не будет, если взаимодействие будет осуществляться в течение времени

!! " !!" " #!$! "

Если считать, что виртуальная частица бегает (практически) со скоростью света, то можно считать, что радиус взаимодействия двух частиц оценивается следующим образом:

" " !"# " $!! " !! (комптоновская длина волны). Разберем следующие виды взаимодействия:

ØЭлектромагнитное взаимодействие (между заряженными частицами) Виртуальная частица – фотон: ! = !" " ! "#

ØСильное ядерное взаимодействие (между нуклонами в атомном ядре)

17

Виртуальная частица – ! " !"#$%& !"! !"#$%!"#$ # !%&!"# '(

Ø Слабое ядерное взаимодействие (между лептонами)

Виртуальные частицы – векторные бозоны: !"! !"$%&!"#$ # !%&!"# '(

Вероятностная интерпретация волновой функции

Рис 2.11 Интерпретация волновой функции !!! " "#"

выдвинутая Борном

Борн выдвинул следующую интерпретацию волновой функции: если для какого-то объема ! была построена волновая функция для микрочастицы, движущейся в нем, то вероятность того, что данная частица будет наблюдаться в маленьком объеме !" ! будет равна

!" = ! ! !# !"# $!#"%&

При взятии конечного объема !! вероятность того, что элементарная частица обнаружится в этом объеме, согласно формуле (2.16), равна

"! #!! $ = # ! "#! "%& #"&%'$

!!

В силу того что по своей природе вероятность не может быть больше единицы, к волновой функции выдвигается следующие условие нормировки:

""! # = " ! !#!= $% "!%$

!

Лекция №3 Уравнение Шредингера. Основные положения квантовой механики. Элементы

квантовой механики

Напомним, как выглядит волновая функция свободно движущейся частицы:

Что можно сделать с волновой функцией? Её, конечно же, можно

Откуда же у энергии появилась крышечка сверху? Все дело в том, что в квантовой механике большую роль играет понятие оператора. Под оператором подразумевают правило, посредством которого одной функции сопоставляется другая функция, при этом оператор обозначается «шляпкой» над соответствующей буквой. Таким образом, под символом оператора скрывается совокупность действий, с помощью которых исходная функция превращается в другую функцию; оператор, в частности, может представлять собой умножение исходной функции на другую.

Таким образом, оператор энергии в формуле (3.2) определяется следующим образом:

! = "! !!# " #$"%&'

По аналогии с формулой (3.2), оператор проекции импульса на Ох определяется следующим образом:

"! ! = "#! !!! " #$"$%&

Обобщим операторы, определенные формулами (3.2*) и (3.3*):

Предположим, что частица движется в каком-либо стационарном поле, потенциальная энергия которого не зависит от времени. В таком случае получим, что полная энергия частицы будет складываться из кинетической энергии и потенциальной:

! = !!"# +" !# "# !$%&"

при этом произведение функции-потенциальной энергии на волновую функцию возможно записать в виде действия оператора:

19

! ("!)! =! " #$%&'

где ! - оператор потенциальной энергии.

Из высказанных соображений сформулируем уравнение Шрёдингера, в качестве отправного пункта используя формулу энергий (3.5):

Уравнение (3.7) называется уравнением Шрёдингера. Важно заметить, что проделанные выкладки не являются выводом уравнения Шрёдингера, а само уравнение является обобщением экспериментальных данных.

Итак, исходя из решения уравнения Шрёдингера, мы должны получить решение – волновую функцию в виде !!! " "#$ Решим его для стационарного состояния, т. е. получим стационарное решение уравнения Шрёдингера для частицы массой ! и энергией !! В

Требования, предъявляемые к функции ! , следующие:

1)Вероятность !" того, что частица находится в объеме !" вокруг точки с координатами (x, y, z) (см. Рис 2.11), должна равняться

!! !" =!"! !"#

2)Функция ! должна быть решением уравнения (3.9);

3)Поскольку функция ! удовлетворяет требованию 1), она должна быть однозначна, конечна и непрерывна;

4)Должно выполняться условие нормировки функции для дискретных уровней энергии:

"!$! "! =!%!"#$#!% #" % ## % &&&

!

20