Лекции_5_сем_КВАНТОВАЯ_ФИЗИКА_И_ОСНОВЫ_СОВРЕМЕННОЙ_ФИЗИКИ

Рис 14.5 Зависимость химического потенциала электронного газа от температуры

этого ступенька немного размывается на ширину порядка !" ! !" !#эВ (при комнатной температуре).

Рис 14.6 Размытие ступеньки заселенности

Для того, чтобы найти молярную теплоемкость электронного газа, умножим (14.14) на число Авогадро и продифференцируем получившееся выражение по температуре:

111

Видно, что для электронов при низких температурах ! ! " ! а, как нам стало известно

их предыдущей лекции, для фононов ! ! " !" Это означает, что с уменьшением температуры теплоемкость фононов убывает быстрее теплоемкости электронов, поэтому возможно нахождение такой температуры, при которой теплоемкость электронного газа будет давать больший вклад по сравнению с теплоёмкостью фононов.

Все приведенные выше изложения были произведены из предположения, что

валентные электроны в кристалле являются свободными !! = "# , то есть " = !! (рис.14.7)

!#

(парабола), в которой уровни энергии меняются непрерывно, следствием чего является непрерывный спектр уровней энергий.

Рис 14.7 Энергетический спектр свободных электронов

В отличие от предыдущего случая, рассмотрение модели слабосвязанных электронов, являющейся сильнее приближенной к реальности, приводит к любопытным явлениям.

112

Рассмотрим прямоугольный периодический потенциал U (рис. 14.8) в линейной цепочке, одномерной решетке (модель Кронига-Пенни) с расстоянием между зубцами !! высотой каждого зубца !! и шириной ! (период потенциала ! = " + #!"

Рис 14.8 Потенциал в периодическом кристалле. Модель Кронига-Пенни

Если взять уровень энергии !! лежащий ниже !! " то волновая функция соответствующего электрона будет являться периодический и выражаться через функцию Блоха с периодом ! :

!(!) = " (!")!"#( #$! )$ %&'$&()

Рис 14.9 Энергетический спектр слабосвязанных электронов. Запрещенные зоны

113

Уровни энергии, соответствующие выражению (14.16), изображены на рис 14.9. Важнейшим результатом (14.16) является тот факт, что между уровнями энергии возникли различные энергетические зоны – разрешенные и запрещенные уровни энергии, т. е. распределение уровней уже не будет являться непрерывным. В запрещенных зонах электроны существовать не могут.

Наличие запрещенных уровней энергии в периодическом кристалле приводит к тому, что в металлах в валентной зоне электроны могут «бегать» свободно по всему куску металла, а в диэлектриках (полупроводниках) в зоне проводимости электронов не будет из-за слишком большой запрещенной зоны, которая мешает перепрыгнуть электронам на более высокие уровни (рис. 14.10).

Рис 14.10 Движение электронов в кристалле металла и кристалле диэлектрика

Лекция №15 Атомное ядро

Для исследования строения ядер атомов могут использоваться различные способы, например: масс-спектроскопия, радиоактивный распад, космическое излучение, ЯМР, рассеивание электронов с энергией порядка МэВ на ядре.

Обозначим характерные величины для атомного ядра:

!"#$%&'(")*$"( !+,!!"$- !"#$%&'(./&"((( !+,!!# $ =+(0$1

114

Атомное ядро характеризуется числами ! (число протонов, заряд ядра) и числом ! (число нейтронов). Общее число нуклонов (протонов и нейтронов) ! в ядре равно

! = " + #! "#$!#%

При сравнении масс элементарных частиц

$! = !" #$$%!"#$ $" = &'(" )*%!"#$

$# = &'&" #+%!"#$

заметно, что между массой протона и нейтрона существует зазор. Вследствие этого нейтрон является нестабильной частицей (!!"#$" =!"#!"#), которая распадается на электрон, протон и антинейтрино:

" # # + !" +!!! !

Про протон и нейтрон также известно, что они:

1)обладают спиновым квантовым числом ! = !# " из этого следует, что проекция

!на выделенное направление равна ± !" !

2)обладают собственными магнитными моментами:

µ! = +!" #$µ" " %&'(!) µ# = !&"$&µ" " %&'(*)

где µ! = #! – ядерный магнетон.

!$"

Напомним, что изотопами называются атомы, которые содержат одинаковое количество протонов, но разное количество нейтронов в своем ядре.

Итак, каким образом ядро удерживается вместе и не разлетается на кусочки, чего следовало бы ожидать от положительных частиц, плотно укомплектованных в одном месте? Ответом на этот вопрос является наличие сильного ядерного взаимодействия. Наилучшей моделью для изучения данного явления является атом дейтерия (рис. 15.1), который обладает одним протоном и одним нейтроном в своем ядре.

Согласно эмпирической формуле, радиус ядра любого элемента можно вычислить по формуле

! ="#"÷"# !!"# $"%&'(

откуда нетрудно заметить, что объем ядра !!" ! "! Из этого следует, что ядерная масса обладает постоянной плотностью и является практически несжимаемой.

115

Рис 15.1 Модель атома дейтерия

График зависимости объемной плотности заряда в ядре от расстояния от центра ядра изображен на рис. 15.2.

Рис 15.2 Зависимость объемной плотности в ядре атома от расстояния до его центра

Потенциальная энергия нуклонов в ядре дейтерия изображена на рис. 15.3. При этом связь, показанная на рис. 15.3, возможна лишь в том случае, если протон и нейтрон обладают параллельными спинами. Таким образом, можно сказать, что сильное ядерное взаимодействие, обуславливающее вид потенциальной энергии (рис. 15.3), не является центральной силой и зависит от расстояния между взаимодействующими частицами и их спинов.

Оказывается, что при сильном ядерном взаимодействии протоны и нейтроны обмениваются мезонами (рис 15.4).

116

Рис 15.3 Потенциальная энергия нуклонов я ядре атома дейтерия

Таким образом, именно мезоны являются переносчиками сильного ядерного взаимодействия и отвечают за удержание протонов и нейтронов в атомных ядрах.

Рис 15.4 Обмен мезонами в ядре атома

Поскольку мезоны живут недолго, их энергию возможно оценить через соотношение неопределенностей Гейзенберга:

"! #! ! "! "#$!$%

Так как !" = #! $! " то

$! #! = "% " !! " "#& ""##$!"#$ %&'$()

Взаимодействие между нуклонами через виртуальные ! " !"#$%& происходит по схеме, изображенной на рис. 15.5. Из данной схемы можно сделать вывод: нуклоны, находящиеся в ядре, постоянно окружены так называемой мезонной шубой. Протон, излучающий положительный ! " мезон, в такой шубе получает положительный собственный

117

Рис 15.5 Взаимодействие протона и нейтрона через мезоны (нейтральные и заряженные)

магнитный момент, а нейтрон, обменивающийся при помощи отрицательного ! " мезона – отрицательный магнитный момент.

Таким образом, ядерные силы:

1)являются короткодействующими (! !!#!!" !);

2)при попытке сжать ядро возникают сильные отталкивающие действия;

3)не зависят от заряда взаимодействующих частиц;

4)не являются центральными и зависят от спина взаимодействующих частиц;

5)имеют свойство насыщения, из-за чего ядра, обладающие массой больше определенной, становятся нестабильными;

6)обеспечивают постоянство плотности ядерного вещества.

Энергия связи ядра

Для изучения энергии связи ядра рассмотрим атом углерода, который содержит шесть протонов и шесть нейтронов (рис. 15.6).

Энергетическое соотношение любого ядра массой ! !" ! в котором находится !

протонов и ! нейтронов, можно описать с помощью следующей формулы:

! !""! + ##$ = ($%% + &%& )"! " #$%&'(

118

Рис 15.6 Дефект масс в ядре атома углерода

откуда энергия связи в ядре выражается как

!!" = ("## + $#$ !% %& )&!" #$%"&'

Гораздо нагляднее пользоваться энергией связи, приходящейся на один нуклон !"!" !

При визуализации зависимости данной величины от количества нуклонов в ядре получается график, представленный на рис. 15.7 – самый красивый график в физике!

Рис 15.7 Зависимость энергии связи, приходящейся на один нуклон, от количества нуклонов в атоме

Как видно из графика 15.7, полученная энергия растет до атома !" #$% а после – незначительно падает.

119

Формула, описывающая изображенную кривую (ф. Вайцзеккера), вытекает из

Формула (15.9) является полуэмпирической и хорошо описывает энергию связи на один нуклон.

Если число протонов или нейтронов равно 2, 8, 20, 28, 50, 82 или 126, наблюдаются скачки энергии связи, а ядра, соответствующие данному условию, являются крайне устойчивыми. Эти числа получили название магических.

Рассмотрим теперь оболочечную модель ядра атома. Для этого заменим форму потенциальной энергии нуклонов в ядре параболой в случае, если рассматриваемое расстояние меньше либо равно радиусу атома, и нулем в случае, если расстояние выходит за пределы радиуса атома (рис. 15.8):

Рис 15.8 Потенциал нуклонов в оболочечной модели

Полная энергия нуклона в таком случае будет равна

120