Лекции_5_сем_КВАНТОВАЯ_ФИЗИКА_И_ОСНОВЫ_СОВРЕМЕННОЙ_ФИЗИКИ

Расчеты, изложенные ниже, могут показаться вам знакомыми; действительно, мы уже делали нечто подобное, когда выводили формулу Планка (см. (12.6).

Предположим, что мы имеем кристалл с кристаллической решеткой с температурой !! Для упрощения вычислений считаем, что в трехмерной кубической кристаллической решетке находятся частицы одинаковой массы, расстояние между которыми равно !! и что скорости всех колебаний равны: !" =!!!

Рис 13.2 Колебания в кубической трехмерной кристаллической решетке

Исходные данные:

будет равно

101

#% " !"& ! $ "" % &&

Квазичастицы. Фононы

Фононы – это квазичастицы, использующиеся для удобства и существующие только в кристаллах. Совокупность нормальных колебаний удобно рассматривать как набор частиц с энергией !!!

Для квазичастиц введем понятие квазиимпульса, а также определим количество частиц

"# ! ! величина квазиимпульса которых попадает в диапазон ( !! ! + "!)"

которое может принимать любые значения от 0 до ! для фононов. В общем случае частицы, у которых ! ! ! ! "" называются бозонами.

Особенностью фононов является тот факт, что они не взаимодействуют химически с веществом (не имеют химического потенциала). Если же частица имеет химический потенциал, то в таком случае число заполнения ячеек будет рассчитываться по распределению Бозе-Эйнштейна:

где µ - химический потенциал:

104

!" = #!$ ! %!& + µ!& ! "#$!%%&

Лекция №14 Электроны в кристалле

В кристаллах металлов происходит обобществление электронов. Для рассмотрения этого явления рассмотрим атомы натрия, расположенные линейно. Изобразим потенциальную энергию электрона, находящегося в такой системе, в случае, если атомы натрия находятся довольно далеко друг от друга (кулоновские потенциалы атомов не перекрываются). В таком случае между атомами образуется потенциальный барьер, который электроны перепрыгнуть не могут (рис. 14.1).

Рис 14.1 Потенциальная энергия валентного электрона в свободной кристаллической решетке

Изобразим теперь «сжатый» случай, когда кулоновские потенциалы атомов перекрываются. В таком случае валентный электрон начинает обладать энергией, достаточной для того, чтобы иметь возможность перепрыгивать от одного атома к другому – происходит обобществление электрона на всю цепочку (рис. 14.2).

Из-за эффектов, объясненный на квантовой механике, одиночный уровень валентного

ивнутренних электронов расщепляется в энергетические зоны шириной "" ! #$!" !#%!!" $!"#

#!

внутри которых спектр электронов непрерывен, а расстояние между данными зонами

105

Рис 14.2 Потенциальная энергия валентного электрона в сжатой кристаллической решетке

равно примерно 1 эВ. При этом валентные электроны начинают принадлежать всей системе (кристаллической решетке), а внутренние электроны (с учетом туннелирования) остаются при своих атомах.

Потенциал обобществленных электронов показан на рис. 14.3; периодическая функция внизу появляется из-за периодичности появления потенциалов внутри кристалла. В одномерном случае в первом приближении энергией, описываемой ей, можно пренебречь, считая, что ! = !" Энергии электронов в получаемой бесконечной потенциальной яме будут принимать следующие значения:

В трехмерной кубической бесконечной потенциальной яме с объемом ! = "! и

величинами уровней !!$ !" $ !# $ " = ± !" энергия электрона будет равна

106

Рис 14.3 Потенциал обобществленных электронов

"!! $!" $!# = "!#" !$"" (!!" + !"" + !#" )% &!'%"(

Напомним, что энергия электрона равна " = !! " Поскольку электроны являются

!#

фермионами, они, в отличие от бозонов, подчиняются распределению Ферми-Дирака, и числа заполнения будут следующими:

При температуре ! > ! в случае, если энергия частицы ! = µ , то, согласно формуле

(14.3б), ! = !# "

Число ячеек в фазовом пространстве "# ! :

= !" "#! !!#!

#$ ! (!!!)" $%#'

(множитель 2 отображает количество проекций спина для электрона), а количество электронов

!" ! импульс которых попадает в диапазон ( !! ! + "!), соответственно, будет равно

107

Таким образом, общее количество электронов будет равно

Выражение (14.6) является интегральным уравнением на химический потенциал

µ = µ (! )! из которого он и находится. Исходя их него, средняя энергия электронов будет

равна

где " = #! - концентрация электронов.

Исследуем теперь числа заполнения фермионов. При температуре, равной нулю, формула для них разбивается на два случая:

1) ! < µ (!)" в таком случае, исходя из формулы (14.3б), ! =!"

2) ! > µ (!)" " = !#

Таким образом, заселенность уровней с энергией меньше химического потенциала будет равна единице, а все остальные уровни будут свободными. Энергия, равная химическому потенциалу при нулевой температуре, будет являться точкой, на которую приходится скачок функции !(" ) (рис. 14.4).

Химический потенциал при нулевой температуре называется энергией Ферми "! !

µ (!) = "! " #$%"&'

Энергия Ферми показывает, насколько высоко могут «забраться» электроны при нулевой температуре.

108

Рис 14.4 Вырожденный газ в кристаллах при температурах, много меньших температуры Ферми

Максимальный импульс электронов в вырожденном газе будет соответствовать максимальной энергии: !!"# = !"#$ " Если построить всевозможные допустимые импульсы для рассматриваемых свободных электронов, то все допустимые импульсы будут лежать внутри шара радиусом !!"# ! Поверхность этого шара называется поверхностью Ферми

(рис.14.5).

Рис 14.5 Поверхность Ферми для свободных электронов

При решении различных задач квантовой механики помимо сферы возникают и другие виды поверхности Ферми.

При температуре, равной 0, количество электронов будет равно

109

!

% = $!# ("$)" ""! "&"%

("!!)! #

откуда получается выражение для энергии Ферми "! !

"! = ("! !#)!" !!$! # $%'(

Соответствующим образом получается выражения для температуры и скорости Ферми (максимальной скорости свободных электронов):

#! = "$! " #$%&$'(

= %!!

"! ! ! & #$%&$$(

Если привести конкретные значения данных величин для натрия, то получится следующее:

"! = #$%&'!"# !! = '%$() "%(! '$%

#! = #$ ) "%(" ''#

#!"# = #((''#

#$%&' = #)%''#

Исходя из этих данных, можно сказать, что к тому моменту, как веществом будет достигнута температура Ферми, его кристаллическая решетка перестанет существовать:

Соответствующий график представлен на рис. 14.5.

При нулевой температуре возможно посчитать среднюю энергию электронов:

!

$! ("#)" "! ! !

" = % ("!!)! ## " " $" " " ) "! % &'$%'!(

однако для того, чтобы найти молярную теплоемкость электронов, перейдем в мир низких температур ! ! !!"#$ "!% , поскольку в выражении (14.13) отсутствует температура.

При низких температурах электроны, участвующие в тепловом движении, могут «перепрыгнуть» на уровни, энергия которых превосходит энергию Ферми (рис. 14.6). Из-за

110