Лекции_5_сем_КВАНТОВАЯ_ФИЗИКА_И_ОСНОВЫ_СОВРЕМЕННОЙ_ФИЗИКИ

Выражение в знаменателе дроби – это геометрическая прогрессия:

При взятии производной с обеих сторон по ! получившееся с левой части уравнения выражения будет равно знаменателю искомой дроби:

Подстановка полученных выражений в дробь приводит к следующему результату:

Это значит, что искомая величина !" будет равняться

Лекция №12 Тепловое излучение (продолжение). Механика твердого тела.

Перейдем от полученной ранее формулы для !! (!!" ) к универсальной функции Кирхгофа: !! (!!" )" # (!!" )" Для этого рассмотрим небольшую площадку размером !" на границе абсолютно черного тела с окружающей средой.

Рис 12.1 Излучение АЧТ

91

описать потенциалом Леннарда-Джонса (Рис. 12.3). На нем " ! — это энергия связи в твердом теле на одну частицу.

Рис 12.3 Потенциал Леннарда-Джонса

В зависимости от силы образующейся между частицами кристалла связи и их характера все связи делятся типы, указанные в таблице 12.1.

95

Табл. 12.1 Типы связей в кристаллах по их особенностям

А что такое, собственно говоря, кристалл? Кристалл – это твердое тело, обладающее трансляционной инвариантностью (периодичностью): при перемещении из одной точки такого тела в другую на определенное расстояние окружение не изменяется.

Другими словами, если ! ! " ! " + # (для данного кристалла вектор трансляции

! = "#$%C ) и кристалл остается тем же самым для любой точки внутри вещества, то такое вещество является кристаллом. Причем, если ! - вектор трансляции, то !" - также вектор трансляции. Данное определение распространяется и на мир с тремя измерениями лишь с тем

Рис 12.4 Построение кристаллической решетки. Обратите внимание, что у одной кристаллической решетки количество возможных форм ячеек не ограничивается одной

Каким образом возможно изучить кристаллическую структуру кристалла? Ответ: дифракция рентгеновских лучей, нейтронов и электронов на кристаллической решетке вещества. При этом происходит отражение лучей от плоскостей, в которых располагаются узлы кристаллической решетки, а после отраженные лучи дифрагируют.

96

Рис 12.5 Дифракция лучей на кристаллической решетке. Закон Брега-Вульфа

Согласно формуле Брега-Вульфа

!! "#$! = ""% " =&% !%''' (&!'&!!"

и, с учетом Рис. 12.5 и соотношения ! = !# = !"! " можно записать формулу (12.12а) в виде

(! # !")" = !!#" # =#" !"$$$ %#!$#!!"

! !

Вместо базисных векторов в прямой решетке !!"! # введем базисные векторы в обратной решетке !!! " "! " #!! #

"!#

!! !" "

#& #! = #! (! ! ! )" $!"!#$%&'"$()#*($+,!#-"./(012,$3$04 567%&'(

#"$!" " #%

Врезультате такого перехода получим обратную решетку в ! ! !"#"$%"!$ %

преимущество которой в том, что в ней удобно описывать дифракцию. Трансляция в данной решетке осуществляется так же, как и в прямой решетке:

а изменение волнового вектора записывается следующим образом:

"! = ! # !!$ " ! = "! "#$!#%&

Лекция №13 Колебания внутри кристалла

В узлах кристаллической решетки (упорядоченной относительно трансляции структуре) могут находиться атомы, ионы и молекулы. Данные частицы испытывают тепловое движение (колебания), происходящее относительно их несмещенного положения в КР. В общем случае колебания можно поделить на две группы:

97

-Совокупность колебаний всех атомов кристалла – стоячие волны (они же стоячие упругие волны, нормальные колебания);

-Колебания относительно положения равновесия отдельных молекул. Очевидно, что в трехмерном кристалле с количеством частиц ! ( ! порядка числа

Авогадро " ! = #$ %! !&%!" ) число степеней свободы будет равно !!"

Для определения энергии таких колебаний для начала рассмотрим одномерную кристаллическую решетку с расстоянием между частицами, равным !!

Рис 13.1 Стоячая волна в одномерной кристаллической решетке

Условие стоячей волны – на промежутке, в котором могут происходить колебания, укладывается целое количество полуволн стоячей волны:

Для одномерного кристалла меди

!= #$ % $!"#!" &!"

!= #''"&!#$"

"!"# ( #$!"!# &)#!*

полученное значение частоты относится к акустическим. Данные максимальные частоты характерны для простых кристаллов (одномерные кристаллы с одинаковыми атомами), однако существуют и другие модели кристаллов, которые могут дать более высокие частоты (например, частоты оптического диапазона). Это может достигаться, в частности, благодаря наличию атомов различных масс в кристаллической решетке.

Энергия колебаний

Найдем теперь формулу для энергии колебаний в трехмерном кристалле.

98

Если предположить, что осцилляторы, находящиеся в узлах кристаллической решетке, подчиняются законам классической физике, то энергия каждого осциллятора будет равна

Видно, что энергия в формуле (13.3) имеет непрерывный диапазон (непрерывно изменяется). При помещении системы, в которой энергия осциллятора имеет вид (13.3), в

Формула (13.4) является справедливой при сравнительно больших температур, поскольку при низких температурах спектр энергий осцилляторов является дискретным в силу законов квантовой физики. Если быть точнее, то энергия отдельного осциллятора может быть равна

"! = !#! + !!! ! =!" #"$"%%% &!$%'(

Втаком случае средняя энергия квантового осциллятора будет равна

Рассмотрим, как при таком подходе ведёт себя молярная теплоемкость вещества ! , равная, согласно определению, частной производной от потенциальной энергии

! = !" ! "#!$%&

по температуре вещества ! при количестве вещества ! =! моль:

" ! =!"!"#$ = ""!# # $!%#&'

Если пользоваться формулой для средней энергии классического осциллятора (13.4),

то:

" = !# !A% = !&% "

' = !&# $%!#&'

99

Формула (13.8) представляет собой формулу Дюлонга-Пти, которая имеет значительное противоречие с экспериментом: при низких температурах теплоемкость вещества стремится к нулю по кубическому закону, а не остается постоянной.

Для того, чтобы преодолеть данное расхождение, Эйнштейн предположил, что в узлах кристаллической решетки находятся не классические, а квантовые осцилляторы с постоянной частотой !! В таком случае, согласно (13.6) и (13.7),

Формула (13.10) есть формула Эйнштейна для теплоемкости твердого тела. Особый интерес представляют предельные случаи (13.10):

1)!! " !" ! # = "$# $наблюдается предельный случай – формула ДюлонгаПти;

экспериментом – при ! ! ! ! ! ! по экспоненте, а не по кубическому закону.

Полученный результат можно объяснить тем фактом, что формула Эйнштейна выводится из грубого приближения о том, что частота осцилляторов одинакова: как мы показали ранее, ! может меняться в широком диапазоне. Воспользуемся данным фактом при выводе окончательной формулы, как в свое время это сделал Дебай.

Согласно его подходу,

! " ! " !!"# "

$%&'(#)(*!"'+),-##('./")%0#$%&

Внутренняя энергия такого тела, соответственно, будет равна

! = #!!!"# " "#! " #$%&$$'

где ! - энергия гармонического осциллятора с частотой ! "(!!! + !!)" !"! - число

частиц, обладающих соответствующей частотой.

100