Лекции_5_сем_КВАНТОВАЯ_ФИЗИКА_И_ОСНОВЫ_СОВРЕМЕННОЙ_ФИЗИКИ

КАФЕДРА №6 ОБЩЕЙ ФИЗИКИ КВАНТОВАЯ ФИЗИКА И ОСНОВЫ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИ

осенний семестр 2023–2024 учебного года

Лекция №1 Методы исследования внутреннего строения вещества. Сечение рассеяния.

Опыты по рассеянию альфа-частиц. Формула Резерфорда.

α-частицы (ядра гелия) являются удобным инструментом для изучения внутренней структуры атома по следующим причинам:

1)Существуют источники α-частиц (радиоактивные вещества), создающие их постоянный и непрерывный поток;

2)Они имеют заряд !! = "#$

3)α-частицы являются тяжелыми по сравнению с электронами, т. е. они могут проникать в глубину атома, практически не взаимодействуя с ними.

Спомощью α-частиц возможно «пощупать» внутреннее строение атома, узнать, как он

устроен.

Существовало две альтернативные модели атома: модель Томсона и модель Резерфорда. В модели Томсона предполагалось, что положительный заряд распределен равномерно по всему атому, и по нему были «раскиданы» электроны (булочка с изюмом). В планетарной модели атома предполагалось, что у атома в центре имеется компактное ядро, которое удерживают электроны.

Рис 1.1 Различные модели атома

1

Выбор в пользу одной из этих моделей можно сделать, проведя опыт по рассеиванию α-частиц на каком-либо веществе (опыт Резерфорда).

Рис 1.2 Рассеивание α-частиц на золотой фольге в опыте Резерфорда

В данном опыте узкий пучок α-частиц (энергия частиц = !!"! !

" " #$!"#$%

!

испускаемый источником, падает на тонкую золотую !! = "#$ фольгу. При прохождении через фольгу α-частицы после однократного взаимодействия с ядром рассеиваются на угол θ (угол рассеяния). Если окружить фольгу детектором, то будет возможно измерить количество частиц, рассеянных в телесный угол θ.

Обозначим характерные величины, фигурирующие в данной задаче: $!%! = $%&"'!"#$ $" %! # $#%! # #(#'!"#$

$! %! # )($$$!%! * $"#%! # +#$! %! * "$% ="% , $"$""# '%&'

Видно, что

!!""! ! !! "! ! !#"! "

При условиях, что обе частицы являются точечными и угол рассеяния не является большим или малым, рассеяние будет происходить за счет кулоновского взаимодействия:

= !""! #! $ %! "

Вполе данной силы траекторией движения α-частицы является гипербола !# ! ! "! "$, за

%" &

угол рассеяния θ примем угол между её асимптотами. Введем полярную систему координат.

2

Тогда:

1) Поле кулоновской силы является центральным, поэтому выполняется закон сохранения проекции момента импульса на ось Z:

"#$%C = ' ! = (!"") = (! * !##

С учётом ! = #"!:

" ! = ##! $!"!"

откуда прямо следует

!"! = #"!"!#

2) Выполняется ЗСЭ:

Рис 1.3 Траектория движения рассеянной α-частицы

Получим из этих двух законов сохранения дифференциальное уравнение. Для начала разберёмся с радиальной скоростью !! :

"! = !(!) ""!! ""#! = # ""!! !

Сделаем замену переменной ! = !! :

"! = # !#" ""$! = "!# ""$! $

Тогда

3

% # !" = !" "!# ! + !!$ &!! '(

#

Для того чтобы частица рассеялась на угол !!" ! + !!#, она должна залететь в кольцо с

радиуса ! и ширины !"!

Эта формула удобна тем, что нам известны все величины, входящие в нее, поэтому, вопервых, из этой формулы (с использованием экспериментальных данных) возможно рассчитать ! – заряд ядра элемента, из которого сделана рассеивающая фольга, а во-вторых, получается замечательное следствие:

!" "#$! !& = #$%C'%

Оценим радиус ядра: для этого направим α-частицу точно в ядро (прицельный параметр

! = !"# Воспользуемся ЗСЭ: в точке остановки (при !!"# $ кинетическая энергия α-частицы равна потенциальной энергии, т. е.

5

Ядерная модель атома. Постулаты Бора.

Рис 1.4 Представление атома в ядерной модели

сединственным электроном на орбите

Вцентре атома – ядро (точечное), а вокруг него бегают электроны. Рассмотрим простейший случай: вокруг ядра бегает один электрон. Примем заряд ядра +!" , заряд электрона !! , радиус орбиты электрона ! (при ! =! получаем атом водорода Н, при ! = ! – ион гелия He+, водородоподобный атом). В такой конфигурации второй закон Ньютона и энергия электрона ! !

Поскольку заряд в такой модели движется с ускорением, он должен был бы непрерывно излучать электромагнитные волны, т. е. его энергия со временем уменьшалась бы, что неизбежно привело бы к падению электрона на ядро атома. Время существования такого атома можно оценить:

В виду этого явного несоответствия ядерной модели атома с действительностью эта модель должна быть отвергнута.

Экспериментальные данные, известные на начало ХХ в., – спектры излучения различных элементов, в том числе и водорода. Спектр излучения водорода носит дискретный характер, он состоит из нескольких серий.

6

Для электромагнитной волны вводится понятие частицы, которая называется фотоном. Она обладает следующими свойствами:

Эти формулы интересны тем, что с одной стороны они описывают волновые свойства частицы !!"!"! #, а с другой стороны – корпускулярные !! "! ""# Для фотона !! = "#

справедливо следующее выражение модуля импульса:

" = ! !#! = !"# = !# $! "#" =#!$%&

т. е. для фотона связь между энергией и импульсом носит линейный характер.

Де Бройль сделал смелое предположение, получившее название гипотезы де Бройля: он обобщил волновые свойства фотона на все микрочастицы, т. е. он предположил, что микрочастицы тоже обладают волновыми свойствами, и для микрочастицы можно записать те же формулы, что и для фотона:

! = !!! "#$#%

" !# $ "#$&%

" = "

После этих предположений для микрочастиц становится возможно ввести понятие комплексной волновой функции свободно движущейся частицы массы m:

Поскольку в такой модели частицы имеют волновые свойства, они, как и любая волна, должны обладать собственной длиной волны, названной длиной волны де Бройля. Из гипотезы выводится следующая формула:

Выведем некоторые полезные формулы для работы с длиной волны де Бройля микрочастиц.

Случай первый: нерелятивистское движение !! ! !"

9

Случай второй: релятивистское движение (скорость меньше или порядка с)

Из предыдущих курсов физики мы знаем о существовании релятивистского инварианта

– модуля 4-вектора !!" "##" который равен

!! !( "#)! = ($#! )! "

Кинетическая и полная энергии частицы связаны соотношением:

!! = ! ! "#! "

По этим двум формулам получаем, что импульс релятивистской частицы будет равен следующему выражению:

! = "$ "! ! #$! ! = "$ "! "!+ !#$! #

откуда, после подстановки импульса в формулу для длины волны де Бройля частицы, она примет следующий вид:

Нетрудно заметить, что энергия Е и импульс частицы p связаны между собой, а сама энергия связана с частотой волны по гипотезе де Бройля. Это означает, что частицы подвержены дисперсии, а потому возможно рассчитать фазовую и групповую скорости данной волны.

!

>"

10