дискра колок

1. Определение булевой функции.

2. Таблицы истинности логических связок.

Это стандартные таблицы, определяющие результат операции для всех возможных значений аргументов. Основные связки:

• Отрицание (НЕ, ' или ¬): 0' = 1, 1' = 0.

• Конъюнкция (И, & или ∧): x & y = 1 только если x=1 и y=1.

• Дизъюнкция (ИЛИ, ∨): x ∨ y = 0 только если x=0 и y=0.

• Импликация (→, "если... то"): x → y = 0 только если x=1 и y=0.

• Эквивалентность (↔, "тогда и только тогда"): x ↔ y = 1 если x и y равны.

• Сложение по модулю 2 (исключающее ИЛИ, +): x + y = 1 если x и y разные.

• Штрих Шеффера (|, "И-НЕ"): x | y = (x & y)'.

• Стрелка Пирса (↑, "ИЛИ-НЕ"): x ↑ y = (x ∨ y)'.

3. Формула логики высказываний.

4. Тождественно истинные/ложные и выполнимые формулы.

Тождественно истинная: Формула, которая истинна при любой подстановке значений вместо переменных (например, x ∨ x').

Тождественно ложная: Формула, которая ложна при любой подстановке (например, x & x').

Выполнимая: Формула, которая истинна хотя бы при одном наборе значений переменных.

5. Эквивалентные формулы.

Две формулы φ и ψ называются эквивалентными (φ ~ ψ), если они принимают одинаковые значения (0 или 1) при любой одинаковой подстановке значений вместо всех входящих в них переменных.

6. Основные эквивалентности логики высказываний.

Коммутативность: x & y ~ y & x

Ассоциативность: (x & y) & z ~ x & (y & z), аналогично для ∨.

Дистрибутивность: x & (y ∨ z) ~ (x & y) ∨ (x & z), 

Законы де Моргана: (x & y)' ~ x' ∨ y'

Законы поглощения: x ∨ (x & y) ~ x,

Законы идемпотентности: x & x ~ x

Свойства констант: x & 0 ~ 0, 

Закон двойного отрицания: (x')' ~ x.

Связи между связками: x → y ~ x' ∨ y, 

7. Теорема о разложении булевой функции.

Любую булеву функцию f(x₁, ..., xₙ) можно разложить по любой переменной xᵢ: f(x₁, ..., xₙ) ~ xᵢ & f(x₁, ..., 1, ..., xₙ) ∨ xᵢ' & f(x₁, ..., 0, ..., xₙ).

8. Двойственные формулы.

Формула ψ называется двойственной к формуле φ, если ψ получена из φ одновременной заменой:

• & на ∨ и ∨ на &,

• 0 на 1 и 1 на 0.

9. Двойственные булевы функции.

Функция g называется двойственной к функции f (g = f*), если для любого набора аргументов выполняется: g(x₁, ..., xₙ) = [f(x₁', ..., xₙ')]'

10. Принцип двойственности.

Если две формулы φ и ψ эквивалентны (φ ~ ψ), то эквивалентны и двойственные им формулы (φ* ~ ψ*).

11. Конъюнкты и дизъюнкты, ДНФ и КНФ.

Элементарная конъюнкция (конъюнкт) — это литера или конъюнкция (произведение) нескольких литер, в которой любая переменная встречается не более одного раза (x & y' & z).

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это дизъюнкция (сумма) одной или нескольких элементарных конъюнкций. Пример: (x & y') ∨ (x' & z) ∨ (y & z).

Элементарная дизъюнкция (дизъюнкт) — это литера или дизъюнкция нескольких литер (x ∨ y' ∨ z).

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — это конъюнкция одной или нескольких элементарных дизъюнкций. Пример: (x ∨ y') & (x' ∨ z) & (y ∨ z).

12. Совершенные конъюнкты и дизъюнкты . СДНФ и СКНФ.

Совершенный конъюнкт — элементарная конъюнкция, в которую каждая переменная данной функции входит ровно один раз (либо сама, либо с отрицанием). Например, для переменных x,y,z: x & y' & z.

Совершенная ДНФ (СДНФ) — это дизъюнкция попарно различных совершенных конъюнктов.

Совершенный дизъюнкт — элементарная дизъюнкция, в которую каждая переменная входит ровно один раз. Например: x ∨ y' ∨ z.

Совершенная КНФ (СКНФ) — это конъюнкция попарно различных совершенных дизъюнктов.

13. Теоремы существования и единственности СДНФ и СКНФ.

• Для любой булевой функции f, не равной тождественному нулю, существует единственная (с точностью до порядка слагаемых и множителей) СДНФ, её представляющая.

• Для любой булевой функции f, не равной тождественной единице, существует единственная СКНФ, её представляющая.

14. Минимальная ДНФ

Минимальная ДНФ — это ДНФ, имеющая наименьшее число вхождений переменных среди всех ДНФ, эквивалентных данной функции.

15. Импликанта, простая импликанта.

• Импликанта функции f — это такая элементарная конъюнкция K, что если K=1, то и f=1. То есть, K является "частью" функции, K → f — тождественно истинна.

• Простая импликанта — это такая импликанта, что если из неё удалить хотя бы одну литералу, то полученное выражение перестаёт быть импликантой функции f.

16. Полином Жегалкина.

Это представление булевой функции в виде многочлена, где используется только операции:

• Конъюнкция (&, которую часто опускают: xy),

• Сложение по модулю 2 (⊕ или + в контексте Жегалкина),

• Константа 1. Пример: f(x, y, z) = x ⊕ y ⊕ xy ⊕ xz ⊕ 1. 

17. Теорема существования и единственности полинома Жегалкина.

Каждая булева функция может быть представлена полиномом Жегалкина, причём такое представление единственно (с точностью до порядка слагаемых и множителей).

18. Суперпозиция функций.

Это подстановка одних функций в качестве аргументов в другую функцию. Если f(x₁, x₂) и g(y), то h(y) = f(g(y), y) — суперпозиция f и g.

19. Замкнутый класс булевых функций.

Класс (множество) K булевых функций называется замкнутым, если любая суперпозиция функций из K снова даёт функцию, принадлежащую K.

20. Замыкание системы булевых функций. Замыкание системы функций Σ (обозначается [Σ]) — это наименьший замкнутый класс, содержащий все функции системы Σ. 

21. Полная (в классе К) система булевых функций.

Система функций Σ называется полной в классе K, если её замыкание [Σ] совпадает с классом K. Если K — класс всех возможных булевых функций, то Σ называется просто полной системой.

22. Базис (класса К).

Базис класса K — это такая полная в K система, из которой нельзя удалить ни одну функцию без потери полноты.

23. Классы Поста, их замкнутость.

Классы Поста — это пять важных замкнутых классов булевых функций:

1. T0​ — функции, сохраняющие 0.

2. T1​ — функции, сохраняющие 1.

3. S — самодвойственные функции.

4. M — монотонные функции.

5. L — линейные функции. Все они замкнуты относительно суперпозиции.

24. Леммы о несамодвойственной, немонотонной и нелинейной функциях.

• Если функция несамодвойственна, то с помощью неё можно получить константу.

• Если функция немонотонна, то с помощью неё можно получить отрицание.

• Если функция нелинейна, то с помощью неё можно получить конъюнкцию.

25. Теорема Поста о полноте системы булевых функций.

Система булевых функций Σ является полной тогда и только тогда, когда она не содержится целиком ни в одном из пяти классов Поста. 

26. Максимальный замкнутый класс.

Это замкнутый класс булевых функций, который не содержится ни в каком другом замкнутом классе, кроме тривиального — класса всех булевых функций.

27. Теорема о максимальных замкнутых классах.

Существует ровно пять максимальных замкнутых классов: T₀, T₁, S, M, L. 

28. Логическое следование.

Формула ψ логически следует из множества формул Γ (запись: Γ ⊨ ψ), если при любой подстановке значений переменных, при которой все формулы из Γ истинны, формула ψ также обязательно истинна.

29. Свойства логического следования.

30. Прямое, обратное, противоположное утверждения, контрапозиция, что из чего следует.

Для импликации A → B:

• Прямое: A → B.

• Обратное: B → A.

• Противоположное (инверсия): A' → B'.

• Контрапозиция: B' → A'. Эквивалентны: прямое утверждение и контрапозиция. Обратное и противоположное также эквивалентны между собой.

31. Понятия необходимых и достаточных условий.

• Условие A — достаточное для B, если истинности A достаточно для истинности B (A → B).

• Условие A — необходимое для B, если при ложности A ложно и B (B → A, или A' → B').

32. Формальные системы.

Формальная система — это система, состоящая из:

1. Алфавита символов.

2. Правил построения формул.

3. Аксиом.

4. Правил вывода.

33. Вывод в формальной системе.

Вывод — это последовательность формул, каждая из которых является либо аксиомой, либо получена из предыдущих по правилам вывода.

34. Свойства вывода.

??????????????????

35. Исчисление высказываний Гильберта.

Формальная система для логики высказываний с аксиомами вида:

1. A→(B→A)A→(B→A)

2. (A→(B→C))→((A→B)→(A→C))(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))

3. (¬A→¬B)→(B→A)(¬A→¬B)→(B→A)

Правило вывода: Modus Ponens (MP): Из φ и φ → ψ выводится ψ.

36. Теорема о дедукции для ИВ.

Γ,A⊢B ⇔ Γ⊢A→B.

37. Теорема о контрапозиции.

(A→B)≡(¬B→¬A)

38. Обобщенная теорема о полноте исчисления высказываний.

Γ⊢φ тогда и только тогда, когда Γ⊨φ

39. Непротиворечивое множество формул.

Множество формул Γ непротиворечиво, если не существует формулы φ такой, что Γ⊢φ и Γ⊢φ′.

40. Теорема о связи выводимости и противоречивости.

Γ⊢φ тогда и только тогда, когда Γ∪{φ′} противоречиво.

41. Предикаты и операции на множестве.

n-местный предикат — отображение P:An→{0,1}. Пример P(x, y): "x > y" D(x, y): "x делится на y без остатка" L(a, b, c): "Точки a, b и c лежат на одной прямой" n-местная операция — отображение  f:An→A пример (f ∘ g)(x) = f(g(x)) f(x,y)=x+y

42. Сигнатура, интерпретация сигнатуры, алгебраическая система.

Сигнатура σ — множество предикатных, функциональных и константных символов. Пример σ={P², f², a, b} Интерпретация — сопоставление символам конкретных предикатов, операций и элементов.

• Алгебраическая система — это пара: множество A вместе с интерпретацией на нём некоторой сигнатуры σ. Обозначается 𝔄 = ⟨A; σ⟩.

43. Термы, атомарные формулы, формулы логики предикатов.

Терм — выражение, построенное из переменных, констант и функциональных символов.

Атомарная формула — выражение вида P(t1,…,tn)P(t1​,…,tn​), где PP — предикатный символ. Пример: P(x, a), f(x,y)=z

Формула — строится из атомарных формул с помощью логических связок и кванторов Пример: P(x, a), f(x,y)=z

44. Истинность формулы логики предикатов.

Формула истинна в данной интерпретации, если она выполняется при всех значениях свободных переменных.

45. Тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые формулы в алгебраической системе.

• Формула тождественно истинна в системе 𝔄, если она истинна при любой подстановке элементов 𝔄 вместо её свободных переменных.

• Тождественно ложна в 𝔄, если она ложна при любой подстановке элементов 𝔄 вместо её свободных переменных.

• Выполнима в 𝔄 — истинна хотя бы при одной подстановке.

46. Тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые формулы

• Формула тождественно истинна (общезначима), если она истинна в любой алгебраической системе данной сигнатуры.

• Тождественно ложна — если она ложна в любой алгебраической системе данной сигнатуры.

• Выполнима — существует хотя бы одна система, в которой она истинна.

47. Выразимое в логике предикатов множество, выразимая функция, выразимый предикат.

Множество M называется выразимым, если существует такая формула  φ(x), которая «описывает» это множество:

M={a∣φ(a) истинно}

Функция f называется выразимой, если существует формула  φ(x,y), которая «задаёт» эту функцию:

• f(a)=b ⇔  φ(a,b) истинно,

• и для каждого a существует ровно один такой b.

Предикат P(x) называется выразимым, если существует формула φ(x), которая «описывает» его истинность:

P(a) истинно⇔φ(a) истинно

48. Эквивалентные в алгебраической системе формулы логики предикатов.

Формулы φ и ψ эквивалентны в системе 𝔄 (φ ~_𝔄 ψ), если для любой подстановки элементов 𝔄 вместо свободных переменных они одновременно истинны или одновременно ложны в 𝔄.

49. Эквивалентные формулы логики предикатов.

Формулы φ и ψ эквивалентны (φ ~ ψ), если они эквивалентны в любой алгебраической системе данной сигнатуры

50. Теорема об основных эквивалентностях логики предикатов.

Содержит правила переноса кванторов через отрицание (¬∀x φ ~ ∃x ¬φ), дистрибутивности кванторов относительно & и ∨ (с ограничениями), переименования связанных переменных и т.д.

51. Пренексный вид формулы логики предикатов.

Формула имеет пренексный (префиксный) вид, если все кванторы в ней вынесены в начало. Пример: ∀x ∃y ∀z (P(x, y) → Q(y, z)).

52. Теорема о приведении формулы в пренексный вид.

Для любой формулы логики предикатов существует эквивалентная ей формула, имеющая пренексный вид.

53. Классы формул n, n и n.

Иерархия формул по сложности кванторной приставки в пренексном виде.

• Σ₀ = Π₀ = Δ₀ — бескванторные формулы.

• Σₙ₊₁: формулы вида ∃x₁ ... ∃xₖ ψ, где ψ ∈ Πₙ.

• Πₙ₊₁: формулы вида ∀x₁ ... ∀xₖ ψ, где ψ ∈ Σₙ.

• Δₙ = Σₙ ∩ Πₙ — формулы, которые можно записать и как Σₙ, и как Πₙ.

54. Изоморфизм алгебраических систем. Автоморфизм.

• Изоморфизм между системами 𝔄 и 𝔅 одной сигнатуры — это биекция (взаимно однозначное отображение) α: A → B, которая "сохраняет структуру":

  • Для констант: α(c𝔄) = c𝔅.

  • Для операций: α(f𝔄(a₁, ..., aₙ)) = f𝔅(α(a₁), ..., α(aₙ)).

  • Для предикатов: P𝔄(a₁, ..., aₙ) = 1 ⇔ P𝔅(α(a₁), ..., α(aₙ)) = 1.

• Автоморфизм — это изоморфизм системы на саму себя.

55. Теорема о термах и формулах в изоморфных системах.

Если α — изоморфизм 𝔄 на 𝔅, то:

• Для любого терма t: α(t𝔄) = t𝔅.

• Для любой формулы φ: 𝔄 ⊨ φ ⇔ 𝔅 ⊨ φ.

56. Элементарная теория алгебраической системы.

Элементарная теория системы 𝔄 (Th(𝔄)) — это множество всех замкнутых формул (предложений), истинных в 𝔄.

57. Элементарно эквивалентные алгебраические системы.

Системы 𝔄 и 𝔅 называются элементарно эквивалентными (𝔄 ≡ 𝔅),  если они удовлетворяют одним и тем же формулам.

58. Теорема о связи изоморфизма и элементарной эквивалентности.

Если системы изоморфны (𝔄 ≅ 𝔅), то они элементарно эквивалентны (𝔄 ≡ 𝔅).

59. Теория, модель теории.

• Теория T — это произвольное множество замкнутых формул (предложений) некоторой сигнатуры.

• Модель теории T — это такая алгебраическая система 𝔄, в которой все формулы теории T истинны. Обозначается 𝔄 ⊨ T.

60. Непротиворечивые теории.

Теория T называется непротиворечивой, если из неё нельзя логически вывести противоречие (формулу вида φ & φ'). По теореме Гёделя о полноте, теория непротиворечива тогда и только тогда, когда она имеет хотя бы одну модель.