алгем 2сем
.docxПРОГРАММА КУРСА «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
ВТОРОЙ СЕМЕСТР
1. Определение кривой второго порядка (далее К.В.П.) в прямоугольной системе координат (далее
П.С.К). Канонические уравнения К.В.П. Оси симметрии, центр симметрии К.В.П.; асимптоты
гиперболы, эксцентриситет. Сопряженные гиперболы.
2. Фокальное определение эллипса. Доказательство эквивалентности фокального и канонического
определений эллипса.
3.
Фокальное определение гиперболы. Доказательство эквивалентности фокального и
канонического определений гиперболы.
4. Определения директрис эллипса и гиперболы. Директориальные определения эллипса и
гиперболы. Доказательства эквивалентности фокального и директориального определений
эллипса и гиперболы.
5. Фокальное определение параболы. Фокус и директриса параболы. Эквивалентность фокального
и канонического определений параболы. Ось симметрии параболы.
6. Доказательство теоремы о приведении общего уравнения К.В.П. к каноническому виду
переходом от П.С.К. к П.С.К.
7. Определение поля. Определение векторного пространства над полем. Примеры векторных
пространств (не менее 5). Доказательства единственности нулевого и противоположного векторов.
Определение разности векторов.
8. Определение линейной комбинации векторов. Линейно зависимое и линейно независимое
множество векторов. Примеры. Доказательство теоремы о линейно зависимых векторах.
9. Определение базиса и размерности векторного пространства. Примеры. Координаты вектора в
выбранном базисе. Единственность разложения вектора по выбранному базису.
10. Доказательство теоремы о количестве векторов в базисе (случай конечномерного векторного
пространства). Критерий базиса (с доказательством).
11. Определение изоморфизма векторных пространств. Доказательство теоремы об изоморфизме
векторных пространств (конечномерный случай).
12. Вывод формулы перехода от одного базиса к другому. Матрица перехода от базиса к базису.
Доказательство невырожденности матрицы перехода (для конечномерных векторных
пространств).
13. Формулы пересчета координат вектора при смене базиса. С доказательством.
14. Определение подпространства векторного пространства. Примеры (не менее 5).
15. Теорема о пересечении подпространств (с доказательством). Примеры.
16. Определение линейной оболочки семейства векторов. Примеры. Утверждение о линейной
оболочке базисных векторов. Утверждение о линейной оболочке семейства векторов
(доказательство).
17. Определение суммы подпространств. Утверждение о сумме подпространств (доказательство).
Утверждение о линейной оболочке объединения подпространств (с доказательством).
18. Определение прямой суммы подпространств. Доказательство теоремы о прямой сумме двух
подпространств. Доказательство теоремы о размерности суммы подпространств.
19. Доказательство теоремы о дополнении системы линейно независимых векторов до базиса
векторного пространства (конечномерный случай).
20. Определение рангов матриц. Три равносильных определения. Примеры на каждое
определение.
21. Линейные операторы. Определение. Примеры. Свойства линейных операторов. Доказательство
утверждения, что любой линейный оператор определяется образами базисных векторов. Матрица
линейного оператора (случай конечномерных пространств).
22. Ядро линейного оператора. Образ линейного оператора. Примеры. Свойства образа и ядра
линейного оператора с доказательством.
23. Определение невырожденного линейного оператора. Образ системы линейно независимых
векторов для невырожденного линейного оператора (с доказательством).
24. Утверждение о сумме размерностей ядра и образа линейного оператора. Вывод формулы для
матрицы оператора при смене базиса линейного пространства. Определение подобных матриц.
25. Алгебра линейных операторов. Изоморфизм алгебры линейных операторов векторному
пространству квадратных матриц (доказательство).
26. Определение инвариантного подпространства относительно действия линейного оператора.
Утверждение о сумме и пересечении инвариантных подпространств (доказательство).
27. Вид матрицы линейного оператора в случае, когда векторное пространство равно прямой сумме
инвариантных подпространств (доказательство).
28. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Инвариантные
подпространства, порожденные собственными векторами.
29. Теорема о собственных значениях линейного оператора в фиксированном базисе.
Инвариантность характеристического многочлена при смене базиса (с доказательством).
30. Теорема о собственных векторах и матрице линейного оператора при различных собственных
значениях (когда число различных собственных значений равно размерности линейного
пространства) (с доказательством).
31. Пространства собственных векторов. Корневые пространства. Высота корневого вектора.
Определения и примеры. Алгебраическая и геометрическая кратности пространства собственных
векторов и корневых пространств. Доказательство теоремы о сравнении геометрической и
алгебраической кратностей собственного подпространства.
32. Свойства корневых подпространств (три свойства). Определение нильпотентного оператора.
Вид матрицы нильпотентного оператора в согласованном базисе.
33. Структура нильпотентных операторов. Собственное значение нильпотентного оператора.
Лемма о корневых векторах высоты большей двух. Циклические подпространства.
34. Матрица нильпотентного оператора в циклическом базисе (жорданова нильпотентная клетка).
35. Разложение векторного пространства в прямую сумму циклических подпространств. Вид
матрицы нильпотентного оператора при этом разложении. Жорданова нильпотентная форма.
Жорданов базис.
36. Теорема о жордановой форме матрицы линейного оператора в жордановом базисе. Алгоритм
приведения матрицы линейного оператора к жордановой форме. Построение жорданового базиса.
Пример.
37. Определение евклидова пространства. Скалярное произведение векторов над полем
вещественных чисел. Примеры. Скалярное произведение в n-мерном арифметическом
пространстве в стандартном базисе.
38. Доказательство неравенства Коши-Буняковского. Определение угла между векторами.
Ортогональные векторы.
39. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Доказательство. Примеры. Ортонормированный
базис.
40. Билинейные формы на векторном пространстве. Матрица билинейной формы. Вывод формулы
матрицы билинейной формы при смене базиса. Примеры билинейных форм.
41. Симметрические билинейные формы. Определение квадратичных форм, полярных к
симметрическим. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра о
положительности квадратичной формы.
42. Теорема о приведении квадратичной формы к сумме квадратов. Сигнатура квадратичной
формы. Закон инерции квадратичной формы.
43. Операторы, сопряженные к данному в евклидовом пространстве. Единственность
сопряженного оператора. Существование оператора, сопряженного к данному в
ортонормированном базисе (вывод). Матрица сопряженного оператора. Свойства сопряженных
операторов.
44.
Определение самосопряженных операторов в евклидовом пространстве. Свойства
самосопряженных операторов. Теорема о собственных значениях и матрице самосопряженного
оператора в ортонормированном базисе.
45. Определение ортогональных операторов в евклидовом пространстве. Матрица ортогонального
оператора в евклидовом пространстве. Собственные значения ортогонального оператора.
Примеры ортогональных операторов в двумерном арифметическом пространстве.
46. Теорема о приведении квадратичной формы к сумме квадратов переходом от
ортонормированного базиса к ортонормированному базису (построением самосопряженного
оператора по матрице квадратичной формы).
47. Определение поверхности второго порядка в П.С.К. Канонические уравнения поверхностей
второго порядка (15 поверхностей). Доказательство теоремы о сечении поверхности второго
порядка плоскостью.
48. Плоскости симметрии, оси симметрии, центры симметрии поверхностей второго порядка.
Конические сечения. Цилиндры. Асимптотический конус гиперболоидов.
49. Прямолинейные образующие цилиндров, однополостного гиперболоида, гиперболического
параболоида, конуса. Доказательство теоремы о том, что через каждую точку однополостного
гиперболоида и гиперболического параболоида проходит по одной прямолинейной образующей
из двух разных семейств. Примеры.
50. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду переходом от
ортонормированного базиса к ортонормированному базису. Примеры.