алгем 2сем отв

1. Кривые второго порядка: основные определения

Определение КВП в ПСК: Кривой второго порядка на плоскости называется множество точек, координаты которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени:

`a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₃₃ = 0`, где не все коэффициенты при квадратах равны нулю.

Канонические уравнения:

Эллипс: `x²/a² + y²/b² = 1` (a ≥ b > 0)

Гипербола: `x²/a² - y²/b² = 1` или `-x²/a² + y²/b² = 1`

Парабола: `y² = 2px` (p > 0) или `x² = 2py`

Оси симметрии: Прямые, относительно которых кривая симметрична. Для эллипса/гиперболы — оси Ox и Oy. Для параболы — ось Ox (для уравнения y²=2px).

Центр симметрии: Точка, относительно которой кривая симметрична. Есть у эллипса и гиперболы (начало координат). У параболы центра симметрии нет.

Асимптоты гиперболы: Прямые, к которым неограниченно приближается гипербола. Для гиперболы `x²/a² - y²/b² = 1` асимптоты задаются уравнениями `y = ±(b/a)x`.

Эксцентриситет: Числовая характеристика, показывающая степень вытянутости конического сечения.

Для эллипса: `ε = c/a`, где `c = √(a² - b²)`, 0 ≤ ε < 1.

Для гиперболы: `ε = c/a`, где `c = √(a² + b²)`, ε > 1.

Сопряженные гиперболы: Две гиперболы, у которых действительная ось одной равна мнимой оси другой и наоборот. Их уравнения: `x²/a² - y²/b² = 1` и `-x²/a² + y²/b² = 1` (или `y²/b² - x²/a² = 1`).

2. Фокальное определение эллипса и эквивалентность

Определение: Эллипс — это множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов F₁ и F₂) есть величина постоянная, равная `2a`, где `2a` — длина большой оси, `a > 0`, и расстояние между фокусами `|F₁F₂| = 2c < 2a`.

3. Фокальное определение гиперболы и эквивалентность

Определение: Гипербола — это множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек (фокусов F₁ и F₂) есть величина постоянная, равная `2a`, где `a > 0`, и расстояние между фокусами `|F₁F₂| = 2c > 2a`.

4. Директрисы эллипса и гиперболы. Директориальные определения

Определение директрисы: Для эллипса/гиперболы с эксцентриситетом ε директрисами называются прямые, параллельные малой оси и отстоящие от центра на расстояние `d = a/ε`.

Для эллипса/гиперболы `x²/a² ± y²/b²=1`: уравнения директрис `x = ±a/ε`.

Директориальное определение: Эллипс (гипербола) — это множество точек плоскости, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно постоянной величине — эксцентриситету ε (для эллипса ε < 1, для гиперболы ε > 1): `|MF| / |MN| = ε`, где N — основание перпендикуляра, опущенного на директрису.

5. Фокальное определение параболы

Определение: Парабола — это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса F) и данной прямой (директрисы d), не проходящей через фокус.

Фокус и директриса: Для параболы `y²=2px` фокус имеет координаты F(p/2, 0), а директриса задается уравнением `x = -p/2`.

Ось симметрии: Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус. Для параболы `y²=2px` — это ось Ox.

6. Теорема о приведении общего уравнения КВП

Теорема: Существует такая прямоугольная система координат, в которой уравнение линии второго порядка принимает один из канонических видов (эллипс, гипербола, парабола или вырожденный случай).

7. Векторное пространство. Определения и свойства

Определение поля: Поле F — это множество с двумя операциями (сложением и умножением), удовлетворяющее аксиомам: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, существование нуля, единицы и противоположных/обратных элементов. Примеры: Q, R, C.

Определение векторного пространства: Множество V над полем F называется векторным пространством, если заданы операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр из F, удовлетворяющие аксиомам (коммутативность, ассоциативность сложения, существование нулевого и противоположного вектора, дистрибутивность, ассоциативность умножения на скаляр, унитарность).

Примеры: Rⁿ; множество матриц размера m×n; множество непрерывных функций на [a,b]; множество многочленов степени ≤ n; множество решений однородной системы линейных уравнений.

8. Линейная зависимость и независимость

Линейная комбинация векторов: Выражение вида `α₁v₁ + α₂v₂ + ... + αₖvₖ`, где `αᵢ` — скаляры.

Линейно зависимое множество: Существует такая нетривиальная (не все коэффициенты нулевые) линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору.

Линейно независимое множество: Линейная комбинация равна нулевому вектору только при условии, что все коэффициенты равны нулю.

Примеры: Зависимы: (1,0), (2,0) в R². Независимы: (1,0), (0,1) в R².

Теорема о линейно зависимых векторах: Система векторов `v₁, v₂, ..., vₖ` (k ≥ 2) линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

9. Базис и размерность

Базис: Максимальная линейно независимая система векторов в пространстве V (или система, через которую линейно выражается любой вектор V).

Размерность: Количество векторов в базисе. Обозначение: dim V.

Примеры: Стандартный базис в Rⁿ: e₁=(1,0,...,0), e₂=(0,1,...,0), ..., eₙ=(0,0,...,1), dim Rⁿ = n. Базис в пространстве многочленов степени ≤ n: {1, x, x², ..., xⁿ}, dim = n+1.

Координаты вектора: Если `e₁, e₂, ..., eₙ` — базис, то для любого вектора x существует единственный набор скаляров `(α₁, α₂, ..., αₙ)` такой, что `x = α₁e₁ + α₂e₂ + ... + αₙeₙ`. Числа `αᵢ` называются координатами вектора x в базисе `e`.

10. Теорема о количестве векторов в базисе. Критерий базиса

Теорема: Во всех базисах конечномерного векторного пространства содержится одно и то же число векторов (размерность).

Критерий базиса: Любые n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве V образуют базис.

11. Изоморфизм векторных пространств

Определение: Векторные пространства V и W над полем F называются изоморфными, если существует биективное отображение φ: V → W, которое линейно: φ(αu + βv) = αφ(u) + βφ(v) для любых u,v ∈ V и α,β ∈ F.

Теорема (конечномерный случай): Два конечномерных векторных пространства над полем F изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

12. Матрица перехода

Формула перехода: Пусть в n-мерном пространстве заданы два базиса: `e = (e₁,...,eₙ)` (старый) и `e' = (e'₁,...,e'ₙ)` (новый). Тогда `e'ⱼ = Σᵢ₌₁ⁿ cᵢⱼ eᵢ`. Матрица `C = (cᵢⱼ)` называется матрицей перехода от базиса `e` к базису `e'`.

Невырожденность: Матрица перехода `C` всегда невырождена (det C ≠ 0).

13. Преобразование координат вектора

Формулы: Пусть `x` — вектор, `[x]ₑ = (x₁,...,xₙ)ᵀ` — его координаты в базисе `e`, `[x]ₑ' = (x'₁,...,x'ₙ)ᵀ` — в базисе `e'`, и `C` — матрица перехода от `e` к `e'`. Тогда:

`[x]ₑ = C [x]ₑ'` или, что эквивалентно, `[x]ₑ' = C⁻¹ [x]ₑ`.

14. Подпространство

Определение: Подмножество U векторного пространства V называется подпространством, если оно само является векторным пространством относительно операций из V (замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр).

Примеры:

1. Нулевое подпространство {0}.

2. Само пространство V.

3. Множество решений однородной СЛАУ Ax=0.

4. Множество многочленов степени ≤ n в пространстве всех многочленов.

5. Линейная оболочка любого набора векторов.

15. Теорема о пересечении подпространств

Теорема: Пересечение любого семейства подпространств векторного пространства V является подпространством V.

Пример: Пересечение двух плоскостей (подпространств в R³) — это прямая (подпространство) или плоскость (если плоскости совпадают).

16. Линейная оболочка

Определение: Линейной оболочкой L(S) семейства векторов S называется множество всех линейных комбинаций этих векторов.

Примеры: L(∅) = {0}; L(v) — прямая; L(v₁,v₂) — плоскость, если векторы неколлинеарны.

Утверждение 1: L(e₁,...,eₙ) = V, где `e` — базис V.

Утверждение 2: Линейная оболочка L(S) является наименьшим подпространством, содержащим S (т.е. пересечением всех подпространств, содержащих S).

17. Сумма подпространств

Определение: Суммой подпространств U и W называется множество `U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W}`.

Утверждение 1: U + W является подпространством.

Утверждение 2: Линейная оболочка объединения подпространств равна их сумме: L(U ∪ W) = U + W.

18. Прямая сумма

Определение: Сумма подпространств U + W называется прямой, если каждый элемент суммы однозначно представим в виде u + w. Обозначение: U ⊕ W.

Теорема о прямой сумме двух подпространств: Следующие условия эквивалентны:

1. U + W — прямая сумма.

2. U ∩ W = {0}.

Теорема о размерности суммы: dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U ∩ W). В случае прямой суммы: dim(U ⊕ W) = dim U + dim W.

19. Теорема о дополнении до базиса

Теорема: Всякую линейно независимую систему векторов в конечномерном векторном пространстве можно дополнить до базиса этого пространства.

20. Ранг матрицы

1. Ранг по минорам: Наибольший порядок отличного от нуля минора матрицы.

2. Ранг по строкам: Размерность линейной оболочки строк матрицы (максимальное число линейно независимых строк).

3. Ранг по столбцам: Размерность линейной оболочки столбцов матрицы (максимальное число линейно независимых столбцов).

21. Линейный оператор

Определение: Отображение A: V → W (где V и W — векторные пространства над F) называется линейным оператором, если A(αx + βy) = αA(x) + βA(y) для любых x,y ∈ V, α,β ∈ F.

Примеры: Тождественный оператор; нулевой оператор; оператор дифференцирования в пространстве многочленов; оператор поворота на плоскости.

Свойства: A(0) = 0; A(-x) = -A(x).

Утверждение: Любой линейный оператор однозначно определяется своими значениями на базисных векторах.

Матрица линейного оператора: Пусть `e = (e₁,...,eₙ)` — базис V, `f = (f₁,...,fₘ)` — базис W. Матрицей оператора A: V→W в паре базисов (e, f) называется матрица `Aₑᶠ`, j-й столбец которой состоит из координат вектора `A(eⱼ)` в базисе `f`.

22. Ядро и образ линейного оператора

Ядро: Множество всех векторов x, для которых A(x) = 0, где 0 — нулевой вектор.

Ker A = {x ∈ V | A(x) = 0}. Подпространство в V.

Образ: Множество всех векторов y, таких, что y = A(x) для некоторого x из области определения оператора.

Im A = {y ∈ W | ∃ x ∈ V: y = A(x)}. Подпространство в W.

Примеры: Для оператора проекции на плоскость: Ker — прямая, перпендикулярная плоскости; Im — сама плоскость.

Свойства:

A инъективен (1-1) тогда и только тогда, когда Ker A = {0}.

A сюръективен (на) тогда и только тогда, когда Im A = W.

23. Невырожденный линейный оператор

Определение: Линейный оператор A: V → V называется невырожденным, если Ker A = {0} (т.е. он инъективен). Для конечномерного пространства это эквивалентно сюръективности и биективности.

Утверждение: Образ любой линейно независимой системы векторов под действием невырожденного оператора остается линейно независимым.

24. Теорема о ядре и образе. Матрица оператора при смене базиса

Теорема (для A: V→V, dim V = n): dim Ker A + dim Im A = n.

Формула смены матрицы оператора: Пусть `e` и `e'` — базисы в V, `C` — матрица перехода от `e` к `e'`. Пусть `Aₑ` и `Aₑ'` — матрицы одного и того же оператора A в этих базисах. Тогда `Aₑ' = C⁻¹ Aₑ C`.

Подобные матрицы: Матрицы B и A называются подобными, если существует невырожденная матрица C такая, что B = C⁻¹ A C.

25. Алгебра линейных операторов

Алгебра операторов: Множество всех линейных операторов на V с операциями сложения, умножения на скаляр и композиции образует алгебру над полем F.

Изоморфизм: Если dim V = n и фиксирован базис `e`, то отображение φ: A → Aₑ, ставящее в соответствие оператору его матрицу в базисе `e`, является изоморфизмом алгебр (т.е. биекция, сохраняющая все операции: φ(A+B)=φ(A)+φ(B), φ(λA)=λφ(A), φ(A∘B)=φ(A)φ(B)).

26. Инвариантное подпространство

Определение: Подпространство U ⊆ V называется инвариантным относительно оператора A, если A(U) ⊆ U (т.е. для любого u ∈ U, A(u) ∈ U).

Утверждение: Пересечение и сумма инвариантных подпространств сами являются инвариантными подпространствами.

27. Матрица оператора в прямой сумме инвариантных подпространств

Теорема: Если пространство V разлагается в прямую сумму инвариантных относительно A подпространств: V = U₁ ⊕ U₂ ⊕ ... ⊕ Uₖ, и в каждом Uᵢ выбран базис, то матрица оператора A в объединении этих базисов имеет блочно-диагональный вид: diag(A₁, A₂, ..., Aₖ), где Aᵢ — матрица сужения оператора A на Uᵢ.

28. Собственные векторы и значения

Определение: Ненулевой вектор v ∈ V называется собственным вектором оператора A, если A(v) = λv для некоторого λ ∈ F. Число λ называется собственным значением оператора A.

Инвариантное подпространство: Множество всех собственных векторов, отвечающих данному собственному значению λ (объединенное с нулевым вектором), называется собственным подпространством и является инвариантным подпространством.

29. Характеристический многочлен

Теорема: Число λ является собственным значением оператора A тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена χₐ(λ) = det(A - λE).

Инвариантность: Характеристический многочлен не зависит от выбора базиса (т.к. при замене базиса матрица оператора меняется на подобную: det(C⁻¹AC - λE) = det(C⁻¹(A-λE)C) = det(A-λE)).

30. Теорема о диагонализируемости

Теорема: Если оператор A имеет n различных собственных значений (n = dim V), то соответствующие собственные векторы образуют базис, и матрица оператора в этом базисе диагональна, причем на диагонали стоят собственные значения.

31. Корневые подпространства

Корневой вектор: Вектор v называется корневым вектором оператора A, отвечающим собственному значению λ, если существует такое натуральное p, что (A - λE)ᵖ(v) = 0.

Высота: Наименьшее такое p называется высотой корневого вектора.

Корневое подпространство: Множество всех корневых векторов, отвечающих λ (вместе с 0), называется корневым подпространством Vλ.

Алгебраическая кратность: Кратность корня λ в характеристическом многочлене.

Геометрическая кратность: Размерность собственного подпространства (dim Ker(A-λE)).

Теорема: Геометрическая кратность не превосходит алгебраической.

32. Свойства корневых подпространств. Нильпотентный оператор

Свойства корневых подпространств:

1. Vλ инвариантно относительно A.

2. Сужение оператора (A - λE) на Vλ является нильпотентным оператором.

3. Пространство V раскладывается в прямую сумму корневых подпространств: V = Vλ₁ ⊕ ... ⊕ Vλₖ.

Нильпотентный оператор: Оператор N называется нильпотентным, если существует такое p ∈ N, что Nᵖ = 0.

Вид матрицы: Матрица нильпотентного оператора в согласованном базисе (жордановом базисе для нильпотентной части) имеет клеточно-диагональный вид с нильпотентными жордановыми клетками на диагонали.

33. Структура нильпотентных операторов

Собственное значение: Единственное собственное значение нильпотентного оператора — 0.

Лемма: Если v — корневой вектор высоты p > 1, то вектор N(v) является корневым вектором высоты p-1.

Циклическое подпространство, порожденное вектором v высоты p, — это линейная оболочка векторов `v, N(v), N²(v), ..., Nᵖ⁻¹(v)`.

34. Жорданова клетка

Матрица в циклическом базисе: Для нильпотентного оператора N на циклическом подпространстве, порожденном вектором v высоты p, матрица сужения имеет вид жордановой клетки порядка p:

`Jₚ(0) = [[0,1,0,...,0],

[0,0,1,...,0],

...

[0,0,0,...,1],

[0,0,0,...,0]]`

35. Жорданова форма нильпотентного оператора

Теорема: Конечномерное пространство V раскладывается в прямую сумму циклических подпространств, инвариантных относительно нильпотентного оператора N.

Вид матрицы: Матрица оператора N в объединении циклических базисов имеет блочно-диагональный вид, состоящий из жордановых клеток Jₚ₁(0), Jₚ₂(0), ..., Jₚₖ(0). Эта матрица называется жордановой нильпотентной формой оператора N. Базис, в котором матрица принимает такой вид, называется жордановым базисом.

36. Жорданова форма общего оператора

Теорема (Жордана): Пусть A — линейный оператор в комплексном пространстве V. Тогда существует базис (жорданов базис), в котором матрица оператора A имеет блочно-диагональный вид diag(J₁, J₂, ..., Jₖ), где каждая клетка Jᵢ — жорданова клетка, отвечающая некоторому собственному значению λᵢ:

37. Евклидово пространство

Определение: Евклидово пространство — это вещественное векторное пространство E, на котором задано скалярное произведение — отображение ( , ): E×E → R, удовлетворяющее аксиомам: симметричность, линейность по первому аргументу, положительная определенность ((x,x) ≥ 0, и (x,x)=0 ⇔ x=0).

Примеры:

Rⁿ со стандартным скалярным произведением `(x,y) = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + xₙyₙ`.

Пространство непрерывных функций на [a,b] со скалярным произведением `(f,g) = ∫[a,b] f(t)g(t) dt`.

38. Неравенство Коши-Буняковского

Неравенство: Для любых векторов x,y в евклидовом пространстве выполняется `|(x,y)| ≤ ||x|| ||y||`, где `||x|| = √(x,x)` — норма.

Угол между векторами: `cos φ = (x,y) / (||x|| ||y||)`.

Ортогональные векторы: Векторы x и y ортогональны, если (x,y) = 0.

39. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Теорема: Всякую линейно независимую систему векторов `{v₁,...,vₖ}` в евклидовом пространстве можно преобразовать в ортонормированную систему `{e₁,...,eₖ}`, такую что L(v₁,...,vₘ) = L(e₁,...,eₘ) для всех m ≤ k.

Алгоритм:

`u₁ = v₁, e₁ = u₁ / ||u₁||`

`u₂ = v₂ - (v₂, e₁)e₁, e₂ = u₂ / ||u₂||`

`u₃ = v₃ - (v₃, e₁)e₁ - (v₃, e₂)

e₂, e₃ = u₃ / ||u₃||`

Ортонормированный базис (ОНБ): Базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной длины.

40. Билинейные формы

Определение: Билинейной формой на векторном пространстве V над F называется отображение B: V×V → F, линейное по каждому аргументу.

Матрица билинейной формы: Пусть `e = (e₁,...,eₙ)` — базис V. Матрицей формы B в этом базисе называется матрица `G = (gᵢⱼ)`, где `gᵢⱼ = B(eᵢ, eⱼ)`.

Формула смены базиса: Пусть `C` — матрица перехода от базиса `e` к базису `e'`. Тогда матрица `G'` формы B в базисе `e'` вычисляется по формуле: `G' = Cᵀ G C`.

Примеры: Скалярное произведение; площадь параллелограмма (кососимметричная форма в R²).

41. Квадратичные формы

Квадратичная форма: Отображение Q: V → F, которое получается из билинейной формы B подстановкой одинакового аргумента: Q(x) = B(x,x).

Полярная билинейная форма: Для любой квадратичной формы Q симметричная билинейная форма B, для которой Q(x)=B(x,x), восстанавливается однозначно по формуле поляризации: `B(x,y) = 1/2 (Q(x+y) - Q(x) - Q(y))`.

Положительно определенная форма: Квадратичная форма Q называется положительно определенной, если для любого x ≠ 0 выполняется Q(x) > 0.

Критерий Сильвестра: Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные (угловые) миноры ее матрицы положительны: Δ₁ > 0, Δ₂ > 0, ..., Δₙ > 0.

42. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов

Теорема (метод Лагранжа): Для любой квадратичной формы существует такой базис, в котором она имеет канонический вид: `Q(x) = λ₁x'₁² + λ₂x'₂² + ... + λₙx'ₙ²`.

Закон инерции: Число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов λᵢ в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения.

Сигнатура: Пара чисел (p, q), где p — число положительных коэффициентов, q — число отрицательных коэффициентов в каноническом виде.

43. Сопряженный оператор

Определение: Оператор A называется сопряженным к оператору A в евклидовом пространстве E, если для любых x,y ∈ E выполняется (A(x), y) = (x, A(y)).

Единственность: Если сопряженный оператор существует, то он единственен.

Существование в ОНБ: В ортонормированном базисе матрица сопряженного оператора равна транспонированной матрице исходного оператора: `Aₑ = Aₑᵀ`.

Свойства: (A+B)=A+B; (λA)=λA; (AB)=BA; (A)=A.

44. Самосопряженный оператор

Определение: Оператор A называется самосопряженным (или симметрическим), если A = A.

Свойства:

Все собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Теорема (о приведении к диагональному виду): Для любого самосопряженного оператора в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов. В этом базисе его матрица диагональна с вещественными числами на диагонали.

45. Ортогональный оператор

Определение: Оператор A называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение: (A(x), A(y)) = (x,y) для любых x,y. Это эквивалентно условию A = A⁻¹.

Матрица в ОНБ: Матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе является ортогональной (т.е. ее столбцы (и строки) образуют ортонормированную систему): AᵀA = AAᵀ = E.

Собственные значения: По модулю равны 1 (т.е. это ±1 или комплексные числа e^(±iφ)).

Примеры в R²: Поворот на угол φ; отражение относительно прямой.

46. Приведение квадратичной формы ортогональным преобразованием

Теорема: Для любой квадратичной формы Q(x) = xᵀGx с симметричной матрицей G существует такой ортонормированный базис (полученный ортогональным преобразованием координат), в котором форма имеет канонический вид: `Q(x') = λ₁x'₁² + λ₂x'₂² + ... + λₙx'ₙ²`, где λᵢ — собственные значения матрицы G.

47. Поверхности второго порядка

Определение: Поверхностью второго порядка в ПСК называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второй степени: `a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₁₃xz + 2a₂₃yz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0`.

Теорема о сечении: Сечение поверхности второго порядка плоскостью является кривой второго порядка (может быть вырожденной).

48. Элементы симметрии поверхностей

Плоскость симметрии: Плоскость, при отражении относительно которой поверхность переходит в себя.

Ось симметрии: Прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол поверхность переходит в себя.

Центр симметрии: Точка, относительно которой поверхность центрально-симметрична.

Конические сечения: Эллипс, гипербола, парабола — получаются как сечения конуса плоскостью.

Асимптотический конус: Для гиперболоидов конус `x²/a² + y²/b² - z²/c² = 0` является асимптотическим (гиперболоид неограниченно приближается к нему на бесконечности).

49. Прямолинейные образующие

Прямолинейная образующая: Прямая линия, целиком лежащая на поверхности.

Наличие образующих:

Цилиндры и конус: полностью состоит из образующих

Однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид: являются линейчатыми поверхностями (состоят из прямолинейных образующих).

Теорема: Через каждую точку однополостного гиперболоида (гиперболического параболоида) проходят ровно две прямолинейные образующие, принадлежащие разным семействам.

50. Приведение уравнения поверхности второго порядка

Теорема: Существует такая прямоугольная система координат, в которой уравнение поверхности второго порядка принимает канонический вид.

Идея алгоритма (аналогично кривым):

1. Поворотом осей (ортогональным преобразованием) уничтожаются члены с произведениями координат (xy, xz, yz). Это соответствует нахождению собственных векторов матрицы квадратичной формы от переменных x,y,z.

2. Переносом начала координат (выделением полных квадратов по x, y, z) уничтожаются линейные члены, насколько это возможно.

Пример: Приведение уравнения эллипсоида `5x² + 5y² + 8z² - 2xy + 8xz - 8yz - 12 = 0` к каноническому виду `x'²/4 + y'²/1 + z'²/2 = 1`.