Для ионов бора преобладает электронное торможение, т. е. γ < 0, и профили распределения имеют более пологие фронты у поверхности по сравнению с гауссовым распределением. Наоборот, для мышьяка (тяжелый ион) преобладает ядерное торможение, γ > 0, а фронт распределения примесей у поверхности более крутой по сравнению с гауссовым распределением.

3. РАСЧЕТ СОПРОТИВЛЕНИЯ СЛОЯ

Важным технологическим параметром слоя, сформированного методом диффузии или ионной имплантации, является его сопротивление. Особенностью сформированных слоев является то, что распределение примесей в них неравномерное. Поэтому понятие удельного сопротивления для неоднородно легированного слоя теряет практический смысл и не может служить точной характеристикой содержания примесей. Уровень легирования слоев оценивают, измеряя их сопротивление, т. е. продольное сопротивление слоя.

Сопротивление слоя определяется как сопротивление резистора, толщина которого равна глубине залегания p-n-перехода xj, а длина и ширина равны друг другу и образуют квадрат со стороной l (рис. 3.1). Сопротивление такого параллелепипеда определяется соотношением

где ρ и σ – средние значения удельного сопротивления и удельной проводимости слоя.

38

Сопротивление слоя имеет единицу измерения Ом, однако чтобы отличить этот важный технологический параметр, измеряемый на практике четырехзондовым методом, от сопротивления резисторов ИМС, для сопротивления слоя в пособии используется единица измерения Ом/□. Сопротивление не зависит от стороны квадрата l, так как рост Rсл за счет увеличения длины компенсируется равным уменьшением Rсл за счет увеличения ширины, поэтому сопротивление квадрата относят не к единице площади, а к произвольному квадрату. Сопротивление слоя уменьшается при увеличении глубины залегания p-n-перехода.

где q = 1,6·10–19 Кл – элементарный заряд; N (x) – концентрация примесей в слое dx, определяющая проводимость этого слоя; µ(x) – подвижность носи-

телей заряда, зависящая от концентрации примесей (а потому и от координаты) (рис. 3.2). Как видно из (3.1), сопротивление слоя зависит от полного ко-

x j

личества примесных атомов в слое ∫ N(x)dx , тогда как удельное сопротив-

0

ление однородно легированного полупроводника определяется концентрацией примесей ρ =1/ (qµN ).

Рассмотрим подробнее величины, входящие в (3.1).

39

Например, при формировании слоя p-типа электропроводности в кремнии n-типа концентрация носителей заряда, определяющая проводимость слоя, находится как разность концентраций акцепторов и доноров:

N (x)= p = Na (x)− Nd (x).

При высоком уровне легирования слоев необходимо учитывать концентрационную зависимость подвижности носителей заряда. Следует иметь в виду, что любой тип примесей в рабочем диапазоне температур влияет на подвижность, поэтому подвижность будет зависеть не от эффективной разностной концентрации N (x), а от эффективной суммарной концентрации:

µ(x)=µ(Na (x)+ Nd (x))=µ(N∑(x)).

Для расчета подвижности носителей заряда µ, см2/(В·с), с учетом зависимости ее от суммарной концентрации примесей в кремнии (N∑, см–3)

удобно использовать аппроксимирующие выражения:

– для электронов

В численных расчетах на ЭВМ интегрирование в (3.1) заменяется суммированием. При этом удобно область интегрирования от 0 до xj (xj соответствует толщине слоя) разбить на i элементарных площадок (например, прямоугольников – рис. 3.2) с шагом ∆xj. Тогда

Rсл = ∑qNi (x1)µi (x)∆xi . i

Если шаги ∆xj одинаковые, то величину ∆x =∆xj можно вынести за знак суммы. Тогда окончательно

40

Для повышения точности расчета Rсл реальное распределение примесей на каждом шаге ∆x следует заменить трапециями либо использовать интегрирование по методу Симпсона (квадратичная аппроксимация). Однако, как показывает опыт моделирования при мелком шаге, численное интегрирование по методу прямоугольников отличается от расчета по методу Симпсона на единицы процента.

Рассмотрим методику численного расчета сопротивления слоя на примере слоя, сформированного методом диффузии. Сразу отметим, что методика расчета Rсл не зависит от способа его формирования.

Пример. Рассчитать сопротивление слоя p-типа, сформированного в результате двухстадийной диффузии примесей бора в кремний n-типа с исход-

t2 = 15 мин.

В задаче использованы исходные данные двух стадий диффузии примесей бора, рассмотренных в примерах 1 и 2 (см. табл. 1.3 и 1.4).

Решение.

Для расчета сопротивления слоя предварительно найдем распределение примесей бора, полученного в результате двухстадийной диффузии в кремний. Используя выражения (1.6) и (1.7), распределение примесей можно представить в виде

Значение концентрации Na(x, t) определим с шагом ∆x = 0,1 мкм от 0 до x j 1,2мкм(табл. 3.1). Используем рассчитанные ранееD1t1 = 18,507·10–12 см2 (см. табл. 1.3) и D2t2 = 3,719·10–10 см2 (см. табл. 1.4). Предэкспоненциальный множитель в (3.3) характеризует поверхностную концентрацию примесей бора, полученную в результате двухстадийной диффузии Nаs2 = 1,420·1019 см–3

(см. табл. 1.4, там же отражены последовательность расчета и использованные математические выражения).

Следует обратить внимание: в графе Rсл сопротивление рассчитано на каждом шаге, начиная не от поверхности полупроводника, а от металлурги-

41