космологии - возникновение спиральных галактик; в экологии - организация различных сообществ, например, скоплений бактерий и амеб.
Многие из этих явлений синергетики будут разбираться в нашем курсе.
Список к книг по синергетике можно найти в на сайте http://scintific.narod.ru/nlib/#Books
Сайты по синергетике в интернете
https://youtu.be/3T0T0_0zHNc
https://www.youtube.com/watch?v=NlQAANk1Jc8 Хаос. Странные аттракторы 13:21 https://www.youtube.com/watch?v=yWoudWZq_G4 Аттрактор Лоренца
57
2.3. Нелинейный маятник
Математический представляет собой материальную точку массы m , находящуюся на конце бесконечно тонкой металлической спицы длиной l , колеблющуюся в поле тяжести. Математический маятник представлен на рис. NMR_1. Целью этого параграфа будет нахождение зависимости от времени t угла отклонения t .
Рис. NMR_1. Математический маятник, колеблющийся в поле тяжести. Сила тяжести Fg mg , связанная с ускорением свободного падения g , направлена вниз.
Начальными условиями колебания математического маятника, мы будем считать следующие условия. В начальный момент времени 0 0 , где 0 − начальный угол отклонения. Начальная скорость маятника, выражающаяся через производную 0 , равна нулю 0 0. При
решении этой задачи мы рассмотрим случай больших начальных углов отклонений 0 1. Таким образом, начальные условия имеют вид
|
|
|
0 0 |
. |
|
(NMP.1) |
|
|
|
|
0 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Переходя |
к |
цилиндрической |
системе |
координат X l sin , Y l cos , |
|||
находим |
скорости |
X Vx |
l cos ; |
Y l sin . Квадрат |
скорости |
||
V 2 Vx2 Vy2 |
l2 2 . |
Кинетическая энергия колеблющегося |
маятника |
||||
|
|
|
|
|
58 |
|
|
K |
ml2 2 |
. |
Потенциальная |
энергия U |
в |
однородном |
поле тяжести |
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
линейным образом зависит от |
координаты |
Y : |
U ( y) mgY . Сила тяжести |
|||||
Fg связана |
с потенциальной энергией |
U |
соотношением |
Fg U |
||||
направлена вниз Fg mgeY , |
где - оператор Гамильтона, |
eY |
- единичный |
|||||
орт, направленный вверх, вдоль оси Y . В цилиндрической системе координат |
||||||||
U mgl cos . Силы трения в данной задаче не учитываются, поэтому
полная энергия E K U математического маятника, представляющая собой сумму кинетической и потенциальной энергии сохраняется E const . В теоретической механике доказывается утверждение о том, что если потенциальное поле U не зависит от времени, то в таком потенциальном поле полная энергия системы сохраняется. Для иллюстрации этого
предположим, что |
потенциальная |
энергия |
U x |
зависит от одной |
пространственной переменной U (x) . |
В таком |
случае |
запишем уравнения |
|
Ньютона для массы |
m , на который действует сила |
F x |
||
mx F x dU x dx
Умножая это равенство на x , получаем mxx x dUdx . Учтем, что
dx dU |
|
dU |
. Следовательно |
|||
|
|
|
|
|||
dt dx |
dt |
|||||
|
|
|||||
|
|
m |
d x2 |
|
|
dU |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dt 2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||||
Интегрируя эту величину по времени |
|
получаем, что сумма кинетической и |
||||||||||||||
потенциальной |
энергии не изменяется |
во |
времени |
|
mx2 |
U x E . |
||||||||||
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Применяя этот закон |
к математическому маятнику, в котором отсутствует |
|||||||||||||||
трение, учтем что энергия математического маятника |
E также |
является |
||||||||||||||
постоянной в |
любой |
момент времени. |
В |
начальный |
момент |
времени |
||||||||||
0 0, поэтому кинетическая энергия маятника в начальный момент
времени равна нулю. Следовательно в начальный момент времени t 0 энергия E равняется потенциальной энергией математического маятника в
59
начальный момент времени E mgl cos 0 . Условие сохранения энергии E в произвольный момент времени t имеет вид
|
ml2 2 |
|
||
|
|
mgl cos mgl cos 0 . |
(NMP.2) |
|
2 |
||||
|
|
|||
Используя формулу для половинного угла, имеем |
|
|||
|
|
|
|
cos cos |
2 |
|
sin |
2 |
|
|
sin |
2 |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
Вместо времени t введем безразмерное время |
|
с помощью линейного |
||||||||||||||||||||||
преобразования |
|
t |
, где величина t0 |
имеет размерность времени. В таком |
||||||||||||||||||||
|
t0 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d 2 |
|
1 d 2 |
. Выберем характерное время t0 из соотношения |
|||||||||||||||||||||
случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
dt |
|
t0 |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(NMR.3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При таком переходе от времени (NMR.3) примет вид
d 2d
t к безразмерному времени соотношение
4 |
|
2 |
0 |
|
sin |
2 |
|
|
|
sin |
|
|
2 |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
На рис. NMR_1 видно, что в начальный момент времени 0 0 угол
t достигает своего максимального значения. В последующие моменты
времени угол t будет |
уменьшаться, |
поэтому |
|
|
d |
0 |
вблизи точки |
||||||||
|
|
dt |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0. Следовательно на таких временах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 sin |
2 |
0 |
|
sin |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(NMR.4) |
||||||
|
d |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
Интегрируя соотношение (NMR.4) получаем
60
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(NMR.5) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для вычисления интеграла (NMR.5) сделаем замену переменной |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
sin . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(NMR.6) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В таком случае угол 2arcsin sin 0 |
/ 2 sin . Заметим, что при |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
величина |
|
(NMR.6). |
|
Переходя |
к |
|
|
новой переменной |
, |
получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
|
cos d |
||||||
|
|
|
0 |
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
sin |
|
|
sin |
|
|
|
|
sin |
|
|
sin |
|
cos , |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin |
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
sin |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
(NMR.7) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для удобства расчетов введем параметр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
2 |
sin |
2 |
0 |
|
, |
|
|
|
|
|
(NMR.8) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
связанный с начальным углом отклонения интеграл I рода F ,k
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
F ,k |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
1 k |
2 |
sin |
2 |
x |
||||
0 |
|
|
|
|
||||
0 , и определим эллиптический
(NMR.9)
Параметр |
k 1 , причем |
для малых |
углов 0 1 , величина |
k 1. Для |
|
больших |
углов |
|
, величина |
k стремится к единице k 1. Вводя |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
61 |
|
такие обозначения, и, учитывая соотношения между интегралами
2 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
d |
d , |
|
получаем выражение, |
которое при |
заданном |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значении |
позволяет найти |
значение , то есть найти функцию |
|
|||||||
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
(NMR.10) |
|
|
|
|
|
2 |
;k F ,k |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В обычных обозначениях мы нашли решение для |
определения |
колебаний |
||||||||
математического |
маятника |
(NMR.10) в виде обратной функции |
t t . В |
|||||||
реальной ситуации нам нужно найти прямую функцию, которая бы
позволила нам найти зависимость угла отклонения маятника от времени
t .
Ответим на вопрос, как выглядит период колебаний математического маятника, если не предполагать, что углы отклонения малы 1. Период колебаний T математического маятника равен учетверенному времени
прохождения маятника от угла 0 ( 2 , (NMR.6)) до угла, равного нулю
0 ( 0 , (NMR.6)). В обычных единица времени период T колебаний математического маятника равен
T 4 |
l |
|
K (k ) . |
|
|
|
|
|
|
(NMR.11) |
||
g |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В выражении (NMR.11) мы ввели понятие K k |
полного эллиптического |
|||||||||||
интеграла I рода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||
K k |
|
|
|
|
|
. |
(NMR.12) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 k |
2 |
sin |
2 |
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
x |
|
||||||
Используя таблицу интегралов Двайта выпишем асимптотику полного эллиптического интеграла
62
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
k |
|
... |
; |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K (k ) |
|
4 |
|
|
k |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ln |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
1 ...; |
k 1 |
k |
|
; |
|
k 1; |
k 0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
4 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Если углы отклонения малы (NMR.8), то параметр k |
2 |
sin |
2 |
0 |
|
|
02 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. Для |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
таких малых начальных |
углов |
отклонения маятника 0 1 период |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|||
колебаний T 2 |
|
|
1 |
|
0 |
... |
незначительно возрастает по сравнению с |
|
|
|
|||||||
|
|
g |
|
16 |
|
|
||
известной формулой для периода колебаний маятника при малых углах
отклонения |
T 2 |
l |
. Формула для T |
известна нам из школьного курса |
||
|
||||||
|
0 |
g |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
физики. При больших углах отклонения |
( k 1, (NMR.8)) период |
|||||
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
колебаний T может значительно отличаться от периода T0 .
Проверим полученное нами решение (NMR.5) в случае малых углов отклонения маятника. В этом случае, разложим подынтегральную функцию в ряд и ограничимся слагаемыми, имеющими второй порядок малости
|
|
0 |
|
|
02 |
|
|
|
|
|
2 |
|
d |
|
|
|
|||
sin |
2 |
|
; sin |
2 |
|
. В таком случае |
|
|
|
. Сделаем |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
4 |
0 |
0 |
|
|
|
|
||
замену переменной интегрирования |
0 sin u . При такой замене |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменных: u |
|
при |
0 , u arcsin |
|
|
для текущего значения угла |
||
2 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
. В результате |
интегрирования получаем ответ: arcsin |
|
|
|
|
. |
|
0 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
Решение о колебаниях математического маятника при малых углах отклонения имеет вид
t 0 cos 0 cos 2 f0t . |
(NMR.13) |
В выражении (NMR.13) величина f0 , имеющая |
размерность частоты, |
измеряемой в Герцах, равна |
|
63 |
|
f0 |
1 |
|
1 |
|
g |
. |
(NMR.14) |
|
2 |
|
|||||
|
T0 |
|
l |
|
|||
Зависимости угловой координаты |
|
|
t |
|
приведены в книге |
|
|
||||
0 |
|
||||
|
|
|
|||
«Нелинейные колебания» А.П.Кузнецов, С.П.Кузнецов, Н.М.Рыскин, Москва, Ленард, 2020. Анализ такого графика действительно показывает, что период колебаний маятника при больших начальных углах отклонения приводит к том, что период колебаний становится больше. В таком случае колебание представляет собой суперпозицию многих гармоник, каждая из которых имеет собственную частоту (рис. 1_5_3).
В этой же книге приведен и спектр частот математического маятника при условии больших начальных отклонений 0 1 от положения равновесия. Такой спектр показывает, что при больших начальных отклонениях 0 1 форма колебаний значительно изменяется. Такая форма колебаний в значительной степени будет отличаться от простейшего закона колебаний 0 cos , справедливого лишь при малых углах отклонения 0 1.
64
Рис. NMR_2. Зависимость угловой координаты маятника |
t |
от |
|
||
|
0 |
|
безразмерного времени . Угловая координата маятника нормирована на
максимальное значение 0 0 . Безразмерное время |
t / t0 . |
Характерное время t0 определено соотношением (NMR.3). |
|
На рис. NMR_2 приведены три графика. Первый верхний график (a)
соответствует значению |
0 |
1. |
Для второго графика (б) значение 0 |
2 . |
Для нижнего графика |
0 |
3. |
Анализ графиков показывает, что |
при |
увеличении начального угла отклонения происходит увеличение периода колебаний. Форма колебаний становится отличной от простейшего закона0 cos , справедливого при 1. В спектре таких ангармонических
колебаний при больших углах отклонения 1 колебаний появляются высшие гармоники.
65
Рис. NMR_3. Спектр Фурье колебаний маятника в логарифмическом масштабе в зависимости от круговой частоты 2 f .
Заметим, что по оси ординат использован логарифмический масштаб и амплитуды гармоник A даны в децибелах. Цифрами обозначены номера гармоник, причем в спектре колебаний присутствуют только нечетные
гармоники, которые обозначены цифрами 1,3,5,7….. |
Из |
графика видно, |
|||||||||||||||
что |
для |
«ангармонического |
маятника» характерная основная частота |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
колебаний |
f |
f |
|
уменьшается |
по сравнению с f |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
g |
|
. Это |
||
0 |
0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
T0 |
|
2 |
|
|
l |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
означает, что основной период T1 |
колебаний увеличивается по сравнению с |
||||||||||||||||
T0 . |
Кроме того, |
в спектре |
колебаний появляются |
|
высшие |
гармоники |
|||||||||||
{ f3; f5; f7 ;.....} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|