|
N 1 |
|
|
2 nk |
|
|
|
|||
z(n) Z (k ) exp(i |
|
) , |
|
(FTR.19) |
||||||
|
|
|
||||||||
|
k 0 |
|
|
N |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
N 1 |
|
|
2 nk |
|
|
||
Z (k) |
|
|
|
z(n) exp( i |
|
|
) . |
(FTR.20) |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
N n 0 |
|
|
|
N |
|
|
||
По сравнению с формулами Фурье-преобразования непрерывной |
||||||||||
функции индекс Фурье-компоненты K |
обозначим маленькой буквой k . |
|||||||||
Фурье-компоненты исследуемой функции |
|
ZK =Z(k) |
заменяются для |
|||||||
дискретного преобразования Фурье на одномерный массив Z k , размер которого равен N . Непрерывный сигнал Z t в момент времени tn n t заменим одномерным массивом значений сигнала z n . Этот массив также
имеет размерность, |
равную N . Формулы (FTR.19)–(FTR.20) |
можно легко |
||||||||||
вывести |
из формул |
непрерывного |
преобразования Фурье, |
если сделать |
||||||||
замену exp 2 iKf0t |
|
|
2 ikn |
|
|
|||||||
exp |
|
|
, осуществляя преобразования основной |
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
||
частоты |
f0 |
1 |
|
|
1 |
, и времени |
t tn n t . Из соотношения (FTR.20) |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
T |
|
N t |
|
|
|
|
|||||
следует, |
что |
коэффициенты |
дискретного преобразования |
Фурье Z k |
||||||||
удовлетворяют соотношениям |
Z* k Z k . |
|
||||||||||
При дискретном преобразовании также используют ортогональные функции. Это можно заметить, если ввести величину
|
2 |
|
W exp i |
|
. |
|
||
|
N |
|
Выражения (FTR.19) и (FTR.20) легко переписывают, возводят W или сопряженное значение W* в степень nk. ортогональности в этом случае представлено в виде
1 N 1
N W (m k )n δmk , n 0
где δmk − символ Кронекера.
(FTR.21)
используя W: Соотношение
(FTR.22)
Соотношение ортогональности легко доказывается, если использовать формулу для суммы геометрической прогрессии
46
N 1 |
1 exp(iaN ) |
|
|
|
exp(ian) |
, |
(FTR.23) |
||
1 exp(ia) |
||||
n 0 |
|
|
||
|
|
|
где а – произвольная вещественная величина.
Дискретное Фурье-преобразование характеризует ситуацию, когда N- мерному вещественному вектору наблюдаемых значений
zN = (z(0), z(1), z(2),…, z(N–1)) ставят в соответствие N-мерный вектор комплексных Фурье-коэффициентов ZN = (Z(0) , Z(1) , Z(2),…, Z(N–1)). Легко объясняется некоторая избыточность информации, когда вещественному вектору из N значений фунции zN сопоставляется комплексный вектор ZN , имеющий 2N вещественных компонент. Рассмотрим выражения для вещественных и мнимых частей Фурье-компонент Z(k) = X(k) − iY(k) :
|
1 |
N 1 |
|
2 nk |
|
X (k ) |
|
z(n)cos |
|
; |
|
|
|
||||
|
N n 0 |
|
N |
||
|
1 |
N 1 |
|
2 nk |
|
Y (k ) |
|
z(n)sin |
|
. |
|
|
|
||||
|
N n 0 |
|
N |
||
(FTR.24)
(FTR.25)
Введем в рассмотрение средние значения <z> и <z2>, заданные для дискретного набора экспериментально наблюдаемых значений z(0),z(1), …, z(N–1)
|
1 |
N 1 |
|
z |
|
z(n) . |
(FTR.26) |
|
|||
|
N n 0 |
|
|
Из выражений (FTR.24), (FTR.25) следует, что вещественная часть нулевой Фурье-компоненты X(0) совпадает со средним значением <z> = X(0), а мнимая часть нулевой Фурье-компоненты Y(0) = 0, поэтому дискретное Фурье-разложение (FTR.19) для наблюдаемого значения z(n) можно представить в виде
N 1 |
|
2 nk |
|
2 nk |
|
|
|
z(n) z |
( X (k )cos( |
) Y (k )sin( |
)) . |
(FTR.27) |
|||
|
|
||||||
k 1 |
|
N |
N |
|
|||
Используя равенство Парсеваля для дискретного Фурьепреобразования, получим выражения для < z2 > и дисперсии < (Δz)2 >
|
|
1 |
N 1 |
N 1 |
|
z 2 |
|
|
z 2 |
(n) ( X 2 (k) Y 2 (k)) , |
(FTR.28) |
|
|||||
|
|
N n 0 |
k 0 |
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
|
N 1 |
|
( z)2 |
z 2 |
z 2 |
( X 2 (k) Y 2 (k)) . |
(FTR.29) |
|
|
|
k 1 |
|
Отметим, что величину P(k) = X2(k)+Y2(k) также называют спектром мощности дискретного сигнала. Иногда удобно значение спектра мощности P(k) разделить на < (Δz)2 >. В этом случае спектр мощности нормирован на единицу.
Сравнивая значения двух Фурье-коэффициентов X(k) и X(N–k) (FTR.24)-(FTR.25), а также Y(k) и Y(N–k), легко заметить, что между ними существуют следующие соотношения
X (N k) X (k) , |
(FTR.30) |
Y (N k) Y (k) . |
(FTR.31) |
Зависимости между Фурье-коэффициентами X(k) и Y(k) – следствие вещественности наблюдаемой переменной z(n) и приводят к тому, что число независимых Фурье-коэффициентов также становится равным N. Если число наблюдений N = 2k – четное, где k – любое целое число, то из выражения (FTR.25) следует, что Y(N/2) =0. Тогда N независимыми коэффициентами Фурье будут следующие величины (X(0), X(1), …, X(N/2), Y(1), …, Y(N/2–1)). Если число точек N нечетное (N=2k+1, где k – любое целое число), то N – независимыми коэффициентами будут величины (X(0), X(1), …, X(Int(N/2)), Y(1), Y(2), …, Y(Int(N/2)). В этом выражении символ Int означает целую часть числа. В любом случае, максимальный номер гармоники kmax можно анализировать, изучая диcкретное Фурье-преобразование N экспериментальных точек, равен kmax = Int(N/2), а максимальная частота fmax=Int(N/2)/(N t). Будем считать, что наибольшая частота анализируемого сигнала fmax=1/(2 t). Такая оценка совпадает с выводами теоремы Котельникова, утверждающей, что любую функцию z(t), спектр которой содержит частоты от нуля до fmax, можно представить отсчетами z(tn), следующими друг за другом через интервалы времени t =1/(2fmax). Нижняя граница fmin равна разрешению по частоте: fmin =1/T, где период сигнала T = N t. Частотный диапазон результатов спектрального анализа (fmin , fmax) часто называют шириной спектра. Свойства симметрии Фурье-коэффициентов X(k) и Y(k) (FTR.30), (FTR.31) позволяют представить разложение Фурье следующим образом:
для четного количества точек N = 2k
48
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Int |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πnk |
|
|
|
|
|
|
|
2πnk |
|
|
|
|
|
|
N |
|
||||||
z(n) z 2 |
|
|
[ X (k) cos( |
) |
Y (k) sin( |
)] X ( |
) cos(πn) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(FTR.32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Int |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
N |
|
|
|
|
||||
( z) |
z |
z |
2 |
|
|
[ X |
(k ) Y |
(k )] |
X |
( |
) ; |
|
|
(FTR.33) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
для нечетного количества точек N = 2k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Int |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 nk |
|
|
|
|
|
|
2 nk |
|
|
|
|
|
||||||||
z(n) z 2 |
|
[ X (k ) cos( |
) Y (k )sin( |
)], |
|
(FTR.34) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Int |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
( z)2 z2 |
z 2 |
|
|
|
|
2 |
[ X 2 (k) Y 2 (k)]. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
(FTR.35) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для дискретного преобразования Фурье введем в рассмотрение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
автокорреляционную функцию Сzz(m) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Czz (m) |
|
|
z(n)z(n m) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(FTR.36) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Автокорреляционную функцию, определяемую этим соотношением (FTR.36), иногда называют циклической (периодической), так как данная величина определяется исходя из условия, что функции z(n) периодически повторяются вне интервала n =0, 1, …, N–1, z(n)=z(n+N). Функция Сzz(m), введенная для дискретных отсчетов времени, определяет насколько взаимосвязаны между собой два значения сигнала в точках z(n) и z(n+m). Для автокорреляционной функции справедливо разложение Фурье
N 1 |
( X 2 (k) Y 2 (k )) cos( |
2 km |
|
|
|
Czz (m) |
) . |
(FTR.37) |
|||
|
|||||
k 0 |
|
N |
|
||
Для значения m = 0 автокорреляционная функция Czz(0) совпадает со средним значением квадрата дискретной величины z(n), Czz(0)=<z2>. Аналогично можно определить корреляционную функцию Cor(m), если учитывать отклонения значений z(n) и z(n+m) от своих средних значений < z
>
49
|
1 |
N 1 |
|
Cor(m) |
|
(z(n) z )(z(n m) z ) . |
(FTR.38) |
|
|||
|
N m 0 |
|
|
Между корреляционными функциями (FTR.37) и (FTR.38) существует следующая связь Сzz(m) = Cor(m) + < z >2.
Заметим, что в некоторых литературных источниках дискретное преобразование (FTR.19) определяется иначе. В формуле для разложения дискретной величины z(n) по Фурье-гармоникам Z(k) вводится множитель 1/N, а показатель экспоненты берется с противоположным знаком. Это, в свою очередь, приводит, к тому, что множитель 1/N пропадает в выражении для Фурье-компонент (FTR.20), причем в показателе экспоненты также меняется знак. Во многих численных пакетах множитель 1/N1/2 вводят симметричным образом, как в прямое, так и в обратное преобразование Фурье. На наш взгляд, определение Фурье-коэффициентов Z(k) с помощью (FTR.19) и (FTR.20) имеет преимущество, так как при таком выборе коэффициентов значения Z(k) имеют непосредственный физический смысл, например, < z >= X(0). Легко заметить, что, поменяв прямое преобразование Фурье на обратное, можно уяснить правила перехода между такими способами введения Фурье-коэффициентов. Кроме того, если использовать формулу прямоугольников для вычисления определенного интеграла от функции f(tn), заданной в равноотстоящих точках (a=0, b=T, tn=n t, n=0, 1, 2,…, N−1, T=N t), выражения для Фурье-коэффициентов дискретного преобразования (FTR.19) и (FTR.20) получаются из формул непрерывного преобразования Фурье:
b |
(b a) N 1 |
|
||
|
|
|
||
f (t) dt |
|
f (tn ) . |
(FTR.39) |
|
N |
||||
a |
n 0 |
|
||
|
|
|||
При изучении непрерывного преобразования Фурье был упомянут так называемый эффект спектральной утечки. Этот эффект может быть связан с наличием разрывов на концах временного ряда из-за конечной длины записи. Такое явление возникает в случае, если анализируемый временной ряд не содержит целых циклов периодических компонент. Конечно, этот эффект может быть ослаблен, если увеличить число отсчетов, поскольку увеличивается спектральное разрешение. Кроме того, если разрывы на концах предварительно сгладить, то можно также уменьшить эффект утечки. Сглаживание разрывов достигается умножением временного ряда z(n) на функцию w (n)
50
zw (n) z(n)w(n) . |
(FTR.40) |
Функция w(n) называется временным окном. В качестве простейшего примера часто используется прямоугольное окно w(n)=1, если n=0,1, ..., N–1. Применение временных оконных функций, а именно умножение временного ряда на функцию w(n) перед вычислением преобразования Фурье, позволяет снизить уровень боковых лепестков по сравнению с тем уровнем, который они имеют при использовании прямоугольного окна. Так, например, во многих расчетах, использующих дискретное преобразование Фурье, наряду с простейшим прямоугольным окном, применяется треугольное окно, окно Хемминга, окно Наттолла [21]. При исследовании сердечного ритма часто используют окно Ханна [21]. Его явное выражение имеет следующий вид
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
cos |
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
(FTR.41) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
wn 0,5 1 |
|
|
N 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко видеть, что на границах интервала при n = 0, n = N‒1 значение |
|||||||||||
оконной функции равно нулю. В точке n = (N–1)/2 |
величина wn = 1. |
||||||||||
51
Глава 2. Детерминированный хаос
2.1. Введение в синергетику
Древние греки под хаосом понимали бесконечное пространство, существовавшее до появления жизни.
Хаос в настоящем |
понимании означает состояние беспорядка |
и |
нерегулярности. В |
19 веке многие физики рассматривали различные |
|
физические объекты, поведение которых во времени было строго детерминировано. Детермини́зм (от лат. determinare — «ограничивать, очерчивать, определять») — учение о взаимосвязи и взаимной определённости всех явлений и процессов, доктрина о всеобщей причинности. Согласно философскому определению детерминизма, всё происходящее в мире, включая ход человеческой жизни и человеческой истории, предопределено либо судьбой, либо богами или Богом (учение о предопределении, теологический детерминизм), либо природой
(космологический детерминизм), либо человеческой волей (антропологическо-этический детерминизм), либо развитием общества
(социальный детерминизм).
Приверженцем абсолютного детерминизма был Пьер-Симон Лаплас. Он постулировал, что если бы какое-нибудь разумное существо смогло узнать положение и скорость всех частиц в мире, оно могло бы совершенно точно предсказать все события Вселенной. Впоследствии такое гипотетическое существо было названо демоном Лапласа.
Пьер-Симон, маркиз де Лаплас |
(фр. Pierre-Simon |
de |
Laplace; 23 |
|||
́ |
́ |
|
|
|
|
|
марта 1749 — 5 |
марта |
1827) |
− |
французский |
||
математик, механик, физики астроном; |
известен |
работами |
в |
|||
области небесной |
механики, дифференциальных |
уравнений, |
один |
из |
||
создателей теории вероятностей. Заслуги Лапласа в области чистой и прикладной математики и особенно в астрономии громадны: он усовершенствовал почти все разделы этих наук.
43
Рис. ISI_1. Лаплас состоял членом шести академий наук и королевских обществ, в том числе Петербургской Академии (1802), и членом Французского Географического общества. Его имя внесено в список величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.
Дадим физическое определение детерминированной системы.
Детерминированной системой называется объект, который описывается системой дифференциальных или разностных уравнений, которые однозначно определяют будущее этого объекта, исходя из заданных начальных условий.
Однако на рубеже 19 и 20 века математик А Пуанкаре |
открыл, что |
|
в некоторых механических системах, эволюция |
которых |
во времени |
определяется уравнениями Гамильтона, может наблюдаться |
хаотическое |
|
движение. Это было воспринято многими физиками |
как курьез, и прошло |
|
примерно 70 лет пока метеоролог Эдвард Лоренц (1917-2008) не обнаружил, что даже простая система из трех независимых нелинейных дифференциальных уравнения первого порядка может привести к совершенно хаотическому поведению. Эдвард Лоренц в 1963 году занимался анализом атмосферных течений. Целью его исследования было понять те трудности, которые были связаны и прогнозом погоды. Работы Э,Лоренца, значимость которой сегодня общепризнана, в течение многих
лет |
после публикации оставалась малоизвестной. Э.Лоренц |
был первым, |
|
кто |
продемонстрировал явление детерминированного |
хаоса |
в |
диссипативных системах. |
|
|
|
|
44 |
|
|
Детерминированным хаосом называются нерегулярные или хаотические движения, порожденные нелинейными системами, для которых динамические законы однозначно определяют эволюцию во времени состояния системы при известной предыстории.
Нелинейность - это необходимое, но не достаточное условие для возникновения хаотического движения. Заметим, что обычные методы решения линейных уравнений (методы Фурье) не приводят к возникновению хаотических явлений в системах. Дальнейшие исследования показали, что хаотическое поведение возникает не из-за того, что в изучаемой системе существует бесконечное количество степеней свободы. Кроме того, хаотические явления возникают не из неопределенности координат и импульсов, связанной с квантовой механикой. Хаотические явления возникают как в системах, описывающихся как классическими уравнениями, так и в системах, для описания которых требуется решение уравнений квантовой механики. Настоящая первопричина нерегулярности определяется свойствами нелинейных систем иметь экспоненциально быстро разбегающиеся фазовые траектории, лежащие в ограниченной области фазового пространства.
Перечислим примеры нелинейных систем, в которых были обнаружены хаотические явления: нелинейный маятник с возбуждением внешней силой; жидкости вблизи порога возникновения турбулентности; приборы нелинейной оптики; сложные химические реакции; взаимодействующие нелинейные волны в плазме; биологические модели развития популяций бактерий и амеб; возникновение хаотических явлений в работе сердца.
Вывод. Для многих систем, демонстрирующих хаотическое поведение ярко выражена высокая чувствительность к начальным условиям, приводящая к хаотическому поведению во времени. Такая высокая чувствительность к начальным условиям – типичное свойство многих нелинейных систем.
Эдвард Лоренц назвал высокую чувствительность к начальным условиям - эффектом бабочки. Эдвард Лоренц, как мы уже говорили, занимался вопросами предсказания погоды. Он заметил, что при исследовании уравнений, описывающих такие погодные катаклизмы как штормы и ураганы, малейшее возмущение, создаваемое крыльями бабочки, летающей где-то в американском штате Айова, может приводит к разрушительному шторму, разыгравшемуся у побережья Индонезии.
45
Несколько иное истолкование такого эффекта бабочки содержится в романе Рэя Бредбери «И грянул гром». В этом романе охотники на динозавров, используя машину времени, перемещаются в далекое прошлое. Однако такая охота обставлена жёсткими условиями: убить можно только то животное, которое должно и без этого вот-вот погибнуть (например, раненное сломавшимся деревом), а возвращаясь, необходимо уничтожить все следы своего пребывания (в том числе вытащить из тела животного пули), чтобы не внести изменения в будущее. Люди находятся на антигравитационной тропе, чтобы случайно не задеть даже травинку, поскольку это может внести непредсказуемые потрясения в историю. Во время охоты один охотник, увидев динозавра, не решается продолжать охоту, а возвращаясь к Машине времени, сходит с тропы. После возвращения в своё время охотники неожиданно обнаруживают, что их мир изменился: иная орфография языка, у власти вместо президента-либерала стоит диктатор. Причина этой катастрофы тут же выясняется: дело в том, что охотник, сойдя с тропы, случайно раздавил бабочку.
Подведем некоторые итоги хаотических явлений.
1)Можно ли предсказать по виду дифференциальных уравнений, описывающих физический процесс, реализуется ли в системе детерминированный хаос?
2)Можно ли определить понятие хаотического движения более строго с точки зрения математики и разработать для хаотического процесса некоторые количественные характеристики?
3)Означает ли существование детерминированного хаоса конец долговременной предсказуемости в физике некоторых нелинейных систем?
Рис. ISI_2. Классификация систем, которые проявляют детерминированный хаос.
46