Добавил:

Yrgirl tg: @Yr66gi4 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Синергетика

Файл:

экзамен / Билеты по синергетике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2026

Размер:

13.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 293 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Введем переменные	x1 t		и x2 t ,	которые	будут отсчитываться от своих
стационарных значений:			x1 t X1	X1(s) и	x1 t X 2 X 2(s) . Разложим
функции F1 X1; X2	и	F2 X1; X2		вблизи своих стационарных значений

F1	X1; X 2	F1 X1; X 2		\|
F1	X1; X 2		X1	\|			( s )
			X1		X1		X1( s )
					X 2 X 2
F2	X1; X 2		F2 X1; X 2		\|
F2	X1; X 2		X1		\|		( s )
			X1			X1 X1( s )
						X 2 X 2

X1 X1( s)	F1 X1; X 2		\|X				X 2 X 2( s)
		X 2			X ( s )
			1			1( s )
				X 2 X 2
X1 X1( s)		F2 X1; X 2		\|X			X 2 X 2( s)
						X ( s )
		X 2			1	1( s )
				X 2 X 2

Линеаризованная система двух дифференциальных уравнений (DSE.12) примет вид

dx1

x a

dx2

(DSE.14)

Вычислим все производные

для стационарного решения.

( s )

X j

X1 X1( s )

X 2 X 2

Для нашей системы

двух дифференциальных уравнений:

X1; X 2

( s)

a11

| X ( s ) , X ( s ) 1 2 X1

X 2

2 1;

a12

F1 X1; X 2

| X ( s ) , X ( s ) X1( s) 2 1

X 2

X1; X 2

| ( s )

( s ) 2 X

( s)

2 ;

, X 2

a22

F2 X1; X 2

| X ( s ) , X ( s ) X1( s) 2 1.

X 2

Линеаризованный вариант системы (DSE.12) выглядит:

dxdt1 1 x1 x2 ;

			dx2		x x .
					x x .
			dt		1	2
			dt
Вычислим	для нашей системы			уравнений		параметр a11 a22 2 ;
a11a22	a12a21	1 1. Величина 2 4 4 . Ищем
решение	этой	системы		в	следующем виде: xi Ci exp pt .

Характеристическое уравнение (DSE.8) для определения параметров p :

p2 2 p 1 0.

p	2		2 4	.	(DSE.15)
p				.	(DSE.15)
1,2		2
		2

Согласно критерию Гурвица стационарное состояние с λ<2 является устойчивым, так как Re p1,2 0 . Корни этого характеристического уравнения

можно переписать, введя мнимую единицу						i


p1,2 1		2		i	1	4	.	(DSE.16)
		2				4
По нашей классификации	в		зависимости				от значения	управляющего

параметра λ, определяющего величину 2 4 4 , особая точка имеет следующий вид:

Рис. DSE_5. Фазовые портреты для различных значений параметра p .

Подведем некоторые итоги зависимости p .

λ ≤ 0 − устойчивый узел, Re p 0 ; 2 4 0 (стр.18, Таблица, рис. 1) ;

0 <λ <2 − устойчивый фокус, Re p 0 ; 2 4 0 (стр.18, Таблица, рис. 3);

λ=2 − устойчивый центр, Re p 0 ; 2 4 0 (стр.19, Таблица, рис.6);

2<λ<4 −неустойчивый фокус, Re p 0 ; 2 4 0 (стр.19, Таблица, рис.4);

λ ≥ 4 − неустойчивый узел, Re p 0 ; 2 4 0 (стр.18, Таблица, рис. 2).

Проиллюстрируем для различных значений характер движения, численно интегрируя нелинейную систему уравнений (DSE.12). При таком интегрировании мы будем учитывать все нелинейные слагаемые.

1.Случай 1. Начальные	условия X1 0 0 ;	X 2 0 0.
Стационарные решения X1(s) 1;	X 2(s) −1.

Рис. DSE_6_1a	Фазовая	траектория при 1 на плоскости X 2 и X1 ,
начинающаяся	в точке	X1 0 0 ;	X 2 0 0 и заканчивающаяся в

стационарном состоянии X1(s) 1; X 2( s) −1. Пример устойчивого узла.

Рис. DSE_6_1b Уравнение движения для X1 t . На больших временах

X1 t X1(s) 1.

Рис. DSE_6_1c Уравнение движения для X 2 t . На больших временах

X2 t X 2(s) −1.

2.Случай 1.8.	Начальные условия X1 0 0 ;	X 2 0 0.
Стационарные решения	X1(s) 1; X 2(s) 1.8

Рис.DSE_6_2a. Фазовая	траектория при		1.8	на	плоскости X 2 и X1 ,
начинающаяся в точке	X1 0 0 ;	X 2	0 0	и	заканчивающаяся в
стационарном состоянии	X1(s) 1	X 2( s)	1.8.		Пример устойчивого
фокуса.

Рис. DSE_6_2b. Уравнение движения для X1 t . На больших временах

X1 t X1(s) 1.

Рис. DSE_6_2c. Уравнение движения для X 2 t . На больших временах

X2 t X 2(s) 1.8.

3.Случай 2. Начальные условия X1 0 0 ; X 2 0 0. Стационарные

решения X1(s) 1; X 2(s) 2.

Рис. DSE_6_3a Фазовая		траектория	при 2 на плоскости	X 2 и X1 ,
начинающаяся	в точке	X1 0 0 ;	X 2 0 0. Стационарное	состояние
X1(s) 1; X 2( s)	2. Пример предельного цикла.

Рис. DSE_6_3b Уравнение движения для X1 t . На больших временах решение X1 t представляет собой установившееся колебание.

Рис. DSE_6_3c. Уравнение движения для X 2 t . На больших временах

X 2 t представляет собой установившееся колебание.

4. Случай 2.2 .	Начальные условия X1 0 1;	X2 0 2.25.
Стационарные решения	X1(s) 1; X 2(s) 2.2.

Рис. DSE_6_4a Фазовая траектория при	2.2	на плоскости X 2 и X1 ,
начинающаяся в точке X1 0 1; X2 0 2.25.		Начальные условия очень
близки к стационарному состоянию	X1(s) 1;	X 2( s) 2.2. Пример

неустойчивого фокуса, превращающегося в предельный цикл.

Рис. DSE_6_4b Уравнение движения для X1 t . На больших временах решение X1 t представляет собой установившееся колебание.

Рис. DSE_6_4c Уравнение движения для X 2 t . На больших временах

X 2 t представляет собой установившееся колебание

5. Случай 4. Начальные условия	X1 0 1;	X2 0 4.25.
Стационарные решения X1(s) 1; X 2(s) 4.0.

Рис. DSE_6_5a	Фазовая	траектория при 4	на плоскости X 2 и X1 ,
начинающаяся в	точке X1 0 1; X2 0 4.25.		Начальные условия очень
близки к стационарному		состоянию X1(s) 1;	X 2( s) 4. Пример

неустойчивого фокуса, превращающегося в предельный цикл.

Рис. DSE_6_5b Уравнение движения для X1 t . На больших временах решение X1 t представляет собой установившееся колебание.

Рис. DSE_6_5c. Уравнение движения для X 2 t . На больших временах

X 2 t представляет собой установившееся колебание

Значения параметра λ=0, λ=2, λ=4 называются критическими или бифуркационными, так как в этих точках качественно меняется характер

решения. При λ>2 на плоскости	X1; X 2	при численном решении
нелинейных дифференциальных уравнений (DSE.12) образуется устойчивый
предельный цикл с точкой X1(s) 1,	X 2(s)	внутри (случаи 4,5). С какой

бы начальной точки мы не стартовали, в конце концов мы окажемся на этом предельном цикле рис. DSE_6. Зависимости X1 t и X 2 t в этом случае имеют характер релаксационных колебаний с очень острыми пиками.

Среди трех бифуркаций при значениях управляющего параметра λ =0, 2, 4 в предыдущей задаче, одна заслуживает особого внимания. Это бифуркация при значении λ =2. При λ =2 в характеристических значениях p

p1,2	2				p ip .
p1,2	2	i	1		p ip .	(DSE.17)
	2			4

реальная часть меняет знак (обращаясь при этом значении в нуль).

Особая точка

	X1(s)	1;	X 2(s) .	(DSE.18)
из устойчивой при		0 2 становится		неустойчивой при 2 4 . В
результате	этого на	плоскости ( X1 , X 2		) возникает предельный цикл и
функции	X1 t и	X 2 t	становятся периодическими функциями времени.

Примечательно, что размеры предельного цикла увеличиваются с ростом параметра λ (рис. DSE_8).

При малой надкритичности ε ≡ λ − 2			1 это есть гармонические
колебания с частотой

Im p p
Im p p	1	4	1.
		4

Рис. DSE_7: Рождение предельного цикла. Показаны рисунки по мере увеличения размеров орбиты с λ =2.01, 2.02, 2.05, 2.1, 2.2 соответственно.

Рис. DSE_8. Зависимости X1 t и X 2 t при значении λ = 2.01.

Фазовая траектория (предельный цикл) в этом случае представляет собой эллипс, размеры которого (главные оси) a и b соответственно амплитуда колебаний увеличиваются пропорционально квадратному корню из

надкритичности: a b 2 c ; c 2

Ввиду своей важности, эта бифуркация в физике получила специальное название бифуркации Хопфа. При изменении параметра λ оба

характеристических значения	p пересекают мнимую ось на комплексной
плоскости [ p ] ( p p ip	т.е. плоскости ( p 0) и ( p 1)) рис.
DSE_9.

<<< < Предыдущая 1 23 / 293 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>