экзамен / Билеты по синергетике

временем.

неустойчивая точка. Нетрудно видеть, что тогда устойчивым особым точкам

14

рис. DSE_2B.

Рис. DSE_2B. График функции V X для интервала аргумента 0.7< X <3.4.

15

Из условия существования нетривиального решения однородной системы алгебраических уравнений получаем характеристическое уравнение

Решение системы (DSE.6) есть линейная комбинация экспонент: x1 t C11 exp p1t C12 exp p2t

x2 t C21 exp p1t C22 exp p2t . (DSE.9)

Свойство решений (DSE.9) зависит от вида корней или коэффициентов

которые будут рассмотрены в дальнейшем. Особыми (неподвижными)

точками являются: узлы, фокусы, центры, седла.

колебаний с экспоненциальным затуханием амплитуды. Если вещественная

неподвижная особая точка называется седловой. К седловой точке примыкают четыре траектории, которые представляют собой две интегральные кривые. С увеличение времени t по двум траекториям xA t

и xB t изображающая точка приближается к особой точке. В тоже самое время по двум другим траекториям xC t и xD t изображающая точка удаляется от особой седловой точки. Таким образом, седловая точка является существенно неустойчивой точкой. Между указанными траекториями xA t , xB t , xC t и xD t расположены четыре области, содержащие континуум

интегральных кривых гиперболической формы. Эти кривые не достигают особой седловой точки.

Лекции по математическим моделям в биологии.

18

===========================================================

Рис. DSE_3. Шесть типов стационарных состояний в системе в двумя степенями свободы

Существует 6 возможностей, которые соответствуют 6 рисункам DSE_3. 1) p1 и p2 действительные отрицательные числа (устойчивый узел).

Совершенно устойчивый режим узлового типа. Система совершает апериодически затухающее движение, приближаясь к положению равновесия.

2) p1 и p2 − действительные положительные числа (неустойчивый узел).

Неустойчивый режим узлового типа. Система удаляется от положения равновесия, совершая апериодическое самовозбуждающее движение. Оно при определенных условиях может перейти в предельный цикл.

3) p1 и p2 − комплексные числа с отрицательной действительной частью

(устойчивый фокус). Устойчивый фокус. Система совершает периодические затухающие колебания и асимптотически приближается к положению равновесия.

4) p1 и p2 − комплексные числа с положительной действительной частью

(неустойчивый фокус). Неустойчивый фокус. Этот тип движения соответствует периодическим колебаниям с нарастающей амплитудой. В таком случае говорят о режиме самовозбуждающихся колебаний. В реальных системах нарастание амплитуды обычно ограничено физическими процессами, так что возникает устойчивое периодическое движение с постоянной во времени амплитудой. Фазовая траектория при этом накручивается на предельный цикл, соответствующий устойчивым автоколебаниям.

5) p1 и p2 − действительные числа, имеющие разные знаки (неустойчивое седло).

Неустойчивый режим типа седла. При малом отклонении от положения равновесия система начинает от него удалятьсяв неустойчивом направлении. В случае, если решения должны быть конечными, всегда существует два новых стабильных равновесных состояния, к которым приближается система. В свою очередь существование двух устойчивых состояний позволяет создать систему типа тригера. Он может находиться в одном из двух своих устойчивых состояний A или B бесконечно долго. Внешним возбуждением достаточной амплитуды можно переводить его из одного устойчивого состояния в другое. Схематически фазовый портрет тригера представлен на рис. DSE_4.

6) p1 и p2 − чисто мнимые числа (устойчивый центр). Устойчивый режим

центрального типа. Поскольку в этом случае оба корня чисто мнимые, наблюдаются незатухающие колебания и фазовая траектория системы представляет собой эллипс. Типичный пример такой системы − одномерный гармонический осциллятор без трения.

20

Рис. DSE_4: Фазовый портрет триггера с двумя устойчивыми состояниями

A и B.

Для анализа устойчивости необязательно знать явное решение характеристического уравнения. По критерию Гурвица асимптотически устойчивый режим при выполнении неравенств

Re p1 0 и Re p2 0 (DSE.10)

осуществляется, когда все коэффициенты характеристического уравнения (DSE.8) положительны

устойчивый режим.

Если действительные части одного или обоих корней характеристического уравнения равны нулю, то для анализа состояния равновесия необходимо рассматривать члены более высокого порядка малости в разложении в ряд Тейлора правых частей уравнений (DSE.6).

Напомним, что коэффициенты линейной системы aij вычислялись, как соответствующие частные производные правых частей исходных

21

нелинейных уравнений, взятых в стационарном состоянии. Следовательно aij являются комбинациями параметров некой исходной модели. При

изменении какого-либо параметра исходной нелинейной модели будут меняться и коэффициенты соответствующей линейной системы, следовательно, будут меняться величины σ, ∆. При переходе через оси координат σ, ∆ (рис. DSE_3), при которых изменяется знак σ и ∆, характер фазового портрета качественно меняется. Поэтому такие границы называются бифуркационными — по разные стороны от границы система имеет два качественно различных фазовых портрета и, соответственно, два разных типа поведения.

В науке синергетика, которую мы будем изучать в дальнейшем, под термином «бифуркация» мы будем понимать качественную перестройку свойств системы, которая сопровождается изменением ее симметрии.

Нужно отметить, что бифуркационными являются только переходы через оси координат и , поскольку невозможно постепенным непрерывным изменением фазового портрета перейти, например, от узла к седлу или от неустойчивого фокуса к устойчивому. Переходы устойчивый узел – устойчивый фокус (неустойчивый узел – неустойчивый фокус) не являются бифуркационными, поскольку можно постепенным непрерывным изменением фазового портрета перейти от узла к фокусу.

1.2.3. Анализ двух нелинейных дифференциальных уравнений

В качестве примера рассмотрим следующую задачу

dXdt1 1 1 X1 X12 X 2

22

Для простоты предположим, что величина 0 . Отметим, что в функции F1 X1; X2 есть два положительных слагаемых 1 X12 X 2 , которые называются слагаемыми «прихода» и одно слагаемое «ухода» 1 X1 , имеющее знак минус. Если бы в первом дифференциальном уравнении были

Точно такие же рассуждения о положительных слагаемых «прихода» и

Следовательно первое решение X1( s) 0 не подходит на роль стационарного

23