экзамен / Билеты по синергетике

неоднородное распределение концентрации, что представляет собой создание некоторой пространственной структуры. Период такой структуры

уже говорили о том, что такая неустойчивость называется диффузионной или тьюринговской неустойчивостью, поскольку она возникает только при наличии диффузии. А.Тьюринг был первый, кто установил связь между спонтанным образованием неоднородных структур и механизмом морфогенеза в биологии. Достаточно упомянуть полосы на коже зебры (см. рисунки, представленные в Главе 3, параграф 1), шестиугольники у жирафа и пятна у леопарда.

3.2.3. Бистабильное поведение химических систем

Значительный интерес для биологии представляют химические системы с двумя и более устойчивыми состояниями (триггерные системы). Модели с несколькими устойчивыми состояниями важны для объяснения механизмов мышления (химические ячейки памяти, логические элементы), мембранных процессов, а также процесса дифференциации в теории происхождения видов. Мы проанализируем поведение бистабильной химической системы на примере простой системы с одной степенью свободы (реакция Шлеёгля):

A 2X k1 3X

k 1

X k2 F .

k 2

Если обозначить за C концентрацию элемента X, то для нее получим следующее уравнение

Эти превращения соответствуют автокаталитическому производству вещества X из исходного вещества A и последующему разложению в конечный продукт F. Концентрация исходного вещества и конечного продукта поддерживаются постоянными. С химической точки зрения реакция Шлеёгля является искусственной, так как соответствует процессу, в котором участвуют 3 молекулы. Обычно считается, что такие процессы происходят очень редко. Намного чаще имеют место бимолекулярные

156

процессы. Можно, однако, получить необходимый нам трехмолекулярный процесс из последовательных бимолекулярных процессов:

A X Y

Y X 3X

Если обозначить за C концентрацию элемента X, то для нее получим следующее уравнение

Стационарные состояния получаются как корни кубического уравнения

X X 2 X 3 , (BME.23)

в котором величины , , X 0 . Это уравнение в зависимости от параметров β и γ может иметь либо один, либо три действительных корня рис. BME_2.

Рис. BME_2. Зависимость правой части уравнения (BME.22) от X.

Таким образом, можно провести тесную аналогию между этой химической реакцией и фазовым переходом I рода, в частности, с уравнением состояния реального газа, уравнением Ван-дер-Ваальса. Двум фазам соответствует в бистабильном режиме стационарные устойчивые состояния X (1) и X (2) .

157

3.3. Численное решение модели брюсселятора с двумя постоянными A и B, учитывающей процессы диффузии двух компонент

3.3.1. Анализ устойчивости

Пространственно-распределенная модель Брюсселятора задается системой дифференциальных уравнений в частных производных:

поступающих реагентов. Вследствие своей простоты, модель часто становится предметом аналитических и численных исследований. Пространственно-временная динамика данной модели изучалась в работах

[G. Nicolis, I. Prigogine. Self-Organization in Nonequilibrium Systems. Wiley, New York, 1977.] [A. de Wit. Spatial patterns and spatiotemporal dynamics in chemical systems. Advances in Chemical Physics, 109:435–513, 1999], [B. Pena, C. Perez-Garcia. Stability of Turing patterns in the Brusselator model. Phys. Rev. E, 64:056213, 2001]. Мы уделим наше внимание численным результатам

границе .

Как и в случае точечных моделей, первым этапом изучения детерминированной распределенной системы брюсселятора (NBR.1),(NBR.2)

158

является исследование устойчивости ее однородного стационарного состояния. Пространственно однородным (гомогенным) стационарным состоянием называется состояние системы, при котором значения

Решение X1 s 0, полученное из уравнения (NBR.4), не удовлетворяет уравнению (NBR.3), так как константа A 0. Следовательно нужно воспользоваться вторым решением (NBR.4): B X1 s X2 s и подставить

устойчивым, если малое возмущение, действующее на систему (в том числе и распределенное в пространстве), вызывает малое отклонение ее решения. Исследование устойчивости в дальнейшем будет проводиться на основе

отклонение величин переменных от однородного стационарного состояния в точке с координатой ( x, y ) для собственных функций, соответствующих

двумерному безразмерному волновому вектору k kx ;ky . Двумерная плоская волна exp ik имеет характерный масштаб пространственной

159

Выполним процедуру линеаризации нелинейных слагаемых, опуская

Слагаемые нулевого порядка малости, например слагаемое AB , уже нами учтены. Они определили стационарные решения (NBR.5), (NBR.6). Линейными по возмущению слагаемыми являются второе и третье слагаемое

2Bx1 и A2 x2 . Линеаризованная система имеет вид

x1 B 1 x1 2Bx1 A2 x2 D1 x1 t

xt2 Bx1 2Bx1 A2 x2 D2 x2

Приводя подобные слагаемые, получаем

которые можно сократить. В результате получаем систему двух однородных алгебраических уравнений для постоянных амплитуд x1 и x2 .

Нетривиальное решение системы двух однородных уравнения для амплитуд x1 и x2 (NBR.9), (NBR.10) требует равенства нулю детерминанта однородной системы уравнений. Характеристическое уравнение для

Если для корней дисперсионного уравнения p1,2 выполняется неравенство Re p1,2 0 , то стационарное состояние является устойчивым.

3.3.2. Устойчивость модели Брюсселятора с двумя постоянными A и B

при отсутствии диффузии D1 D2 0

Константы c и d (NBR.12), (NBR.13) в частном случае D1 D2 0 равны:

c A2 1 B ; d A2 . Корни квадратного уравнения (NBR.14) имеют вид

Согласно первому соотношению теоремы Виета произведение корней квадратного уравнения p2 cp d 0 равняется p1 p2 d A2 0 . Это означает, что корни квадратного уравнения должны быть либо

является условием устойчивости модели Брюсселятора без диффузии. Таким, образом, критерием устойчивости модели Брюсселятора без диффузии

Если неравенство (NBR.15) нарушается, то такое состояние равновесное состояние становится неустойчивым. На рис. NBR_1-NBR_7 построены фазовые траектории модели брюсселятора (NBR.1), (NBR.2) без диффузии

устойчивый фокус (рис. NBR_1-NBR_2)

Частота колебаний в таком предельном цикле определяется определенными соотношениями, зависящими от постоянных A и B . Любая начальная точка X1 0 и X 2 0 со временем приближается к одной и той же замкнутой

изолированной траектории – предельному циклу.

163

A 1, B 4 в случае B Bc A2 1, для двух различных пар начальных состояний X1 0 и X 2 0 .

164

решать уравнения в частных производных, учитывающие зависимости