экзамен / Билеты по синергетике

Математическая модель Тьюринга

Исследование простейших моделей показало, что различные типы поведения активных распределенных систем могут быть описаны нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, где учитываются взаимное превращение компонент и их диффузия. При помощи одного уравнения нельзя описать сложное поведение переменных, поэтому основные результаты в исследовании свойств распределенных систем были получены на базовых моделях с двумя переменными. Новые подходы к изучению нелинейных открытых систем, процессов самоорганизации и морфогенеза, послужившие основой науки синергетики, были выдвинуты в работах А.Тьюринга и его последователей. А.Тьюринг был также первый, кто установил связь между спонтанным образованием неоднородных структур и механизмом морфогенеза в биологии. И действительно, такие структуры очень часто встречаются в живых организмах. Достаточно упомянуть полосы на коже зебры (см. рис. BSV_2), шестиугольники у жирафа и пятна у леопарда (смотри, например, прекрасный обзор A.J.Koch,

H.Meinhardt, Rev. Mod. Phys., 66, 1481, (1994), где можно найти много интересных примеров структур Тьюринга в биологии.

Тьюринг показал, что при определенных условиях даже два нелинейно взаимодействующих химических компонента могут генерировать неоднородные стационарные пространственные структуры, если один из компонентов (ингибитор) диффундирует значительно быстрее, чем другой (активатор). Этот результат является далеко не тривиальным, так как обычно считается, что диффузия выравнивает разницу концентраций, а не производит ее.

Получить ответ на вопрос, какая именно пространственная структура возникнет в результате развития неустойчивости, в линейном приближении нельзя. Для этого нужно решать нелинейные уравнения. Разумеется, пространственные структуры могут возникать и там, где неустойчиво (во времени) уже стационарное однородное состояние системы.

Первое лабораторное наблюдение структур Тьюринга (не осцилляторных) было проведено в 1989 г Используя хлористо-иодистую малоновую кислоту, авторы обнаружили образование стационарных полос и шестиугольников с характерной длиной волны порядка 0.2 мм. Во многих случаях наблюдавшиеся структуры оставались стабильными на протяжении 20 и более часов. Детальное описание этих и им подобных экспериментов дано в замечательной недавно вышедшей книге I.R.Epstein, J.A.Pojman, An Introduction to Nonlinear Chemical Dynamics, Oscillations, Waves, Patterns and Chaos, Oxford University-Press, New York, 1998..

Осциллирующие химические реакции и образование пространственных структур играют важную роль в биологии. Например, нелинейные эффекты

146

особенно ярко проявляются при изучении гликолиза. Под гликолизом понимают анаэробное превращение глюкозы в лактат, при котором процессы окисления углеводов происходят без участия кислорода. Биологическое значение этого процесса заключается в том, что выделяющееся тепло используется для поддержания теплового баланса в организме. При экспериментальном изучении процесса гликолиза многие исследователи наблюдали химические осцилляции в клетках и мышечных волокнах, в которых происходит процесс брожения. Гликолитический осциллятор, период колебаний которого около 1 минуты, действует за счет периодической активации и торможения фермента фосфофруктокиназы.

[V.Castets, E.Dulos, J.Boissonade, P.de Kepper, Phys.Rev.Lett., 64, 2953, 1990].

А.Тьюринг также впервые указал математические механизмы, по которым химические смеси, вступающие в реакцию, могут самопроизвольно расслаиваться в макроскопических масштабах, порождая при этом пространственно регулярные структуры распределения веществ. Основные свойства такой системы могут быть описаны нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в которых

Q X1 r,t , X 2 r,t – в общем случае, нелинейные функции, описывающие

их взаимодействие. Последние слагаемые в уравнениях (BRS.1) (BRS.2) описывают диффузию этих веществ с коэффициентами диффузии D1 и D2 . Знак − означает оператор Лапласа, который в простейшей декартовой

предполагаются вполне симметричными, а все параметры системы пространственно однородными. В такой систем естественно ожидать в качестве асимптотического режима гомогенное стационарное распределение

Взамкнутом объеме по отношению к вступающим в реакцию веществам данный режим является единственно устойчивым.

Воткрытой системе потоки вещества через объем реакции могут удерживать состояние системы на довольно значительном «удалении» от состояния термодинамического равновесия. Оказывается, что простая система (BRS.1) (BRS.2) может качественно описать процессы самопроизвольного возникновения волн и структур в распределенных системах. При этом процессы самоорганизации происходят, когда в системе возникают неустойчивости, приводящие к потере исходного равновесного распределения веществ. Вместо этого устанавливается новый тип распределения веществ во времени и пространстве, то есть происходит самоорганизация системы. Например потеря устойчивости стационарного пространственно-однородного распределения веществ в химической реакции может привести к тому, что в системе появляются

автоколебания периодические самоподдерживающиеся волны химической активности.

возникать различные нетривиальные типы поведения переменных или виды самоорганизации, например:

1)распространяющиеся возмущения в виде бегущего импульса;

2)стоячие волны;

3)синхронные автоколебания разных элементов во всем пространстве;

4)квазистохастические волны, которые получаются при случайном возмущении разности фаз автоколебаний в двух точках пространства;

5)стационарные неоднородные распределения переменных и формирование пространственно диссипативных структур.

Если вещество имеет сложный состав и включает несколько компонентов, каждый из компонентов перемещается в направлении своих меньших концентраций, что приводит к выравниванию концентраций каждого из веществ. Неоднородная смесь веществ в замкнутом объеме, предоставленная самой себе, станет со временем благодаря диффузии однородной (вещества перемешаются), и концентрация каждого из веществ во всем объеме станет одинаковой. В такой системе установится так называемое однородное (или гомогенное) стационарное состояние. Время установления стационарного состояния, естественно, определяется свойствами вещества, в основном, подвижностью его молекул.

В активных кинетических средах, которыми являются биологические системы, кроме процессов диффузии, происходят также взаимодействия

148

между компонентами, описываемые, как правило, нелинейными функциями. Эти нелинейные процессы могут приводить к установлению различных концентраций взаимодействующих компонентов в разных точках пространства, препятствуя, таким образом, вызванному диффузией выравниванию концентраций. Противоборство этих двух процессов: взаимодействия компонентов в каждой отдельной точке пространства и диффузии, в многом определяет поведение такой распределенной системы.

может развиваться диффузионная неустойчивость. Такая диффузионная неустойчивость означает, что малые возмущения относительно равновесного состояния могут не затухать при условии Re p 0 , как это происходит в

привычной ситуации вблизи термодинамического равновесия, а, наоборот, усиливаться до макроскопических масштабов. Способность к селективному усилению некоторой выделенной моды возмущений (диффузионная или тьюринговская неустойчивость) во многих случаях приводит к развитию новой пространственно-неоднородной макроскопической структуры, имеющей новую симметрию.

Анализ условий появления неустойчивостей для различных нелинейных моделей будет проведен в последующих параграфах.

149

3.2.Модель Брюсселятора

3.2.1История возникновения модели Брюсселятора

Зададимся вопросом: каким образом начальное, полностью

симметричное «однородное» состояние среды или какого физического поля становится неоднородным? Во многих случаях это происходит в результате спонтанного нарушения симметрии, при котором изменяется устойчивость стационарного состояния. Бифуркацию смены устойчивости удобно рассматривать на примере уравнений, описывающих химических реакций, к которых важную роль играют процессы диффузии.

Брюсселятор описывает простейшую химическую реакцию преобразования исходных веществ (субстратов) A и B в продукты C и D . Итоговую реакцию можно записать в виде A B C D . Некоторые такие реакции состоят из следующих стадий

A k1 X

2 X Y k2 3X

(BME.1).

B X k3 Y C

Xk4 D

Вэтой системе реакций важным является использование промежуточных

веществ X и Y , которые связаны между собой реакцией 2X Y k2 3X , обеспечивающей существование колебательного режима. Предположим, что продукты необратимо удаляются из сферы реакции, а субстраты находятся в избытке (cм статью А.И.Лаврова, Е.Б.Посников, Ю.М.Романовский, Брюсселятор – абстрактная химическая реакция? УФН, т.139, N12, 13271332, 2009). В этом случае для безразмерных концентраций веществ, вступающих в реакцию X1 r ,t и X 2 r,t можно написать систему

уравнений в частных производных, в которой участвуют две постоянные

система из двух нелинейных уравнений параболического типа имеет вид:

Заметим, что в уравнениях (BME.2), (BME.3) введено некоторое безразмерное время t . Оператор Лапласа также использует вторые производные по безразмерной координате r . Коэффициенты диффузии D1 и

D2 также не имеют размерности, так как все коэффициенты в уравнениях (BME.2), (BME.3) должны быть одинаковыми и не иметь размерности.

Модельная система двух уравнений в частных производных была впервые исследована научной группой И.Пригожина, которая находилась

вгороде Брюсселе. Такая широко известная система уравнений (BME.2), (BME.3) теперь называется моделью брюсселятора. Многочисленные режимы в двухкомпонентной системе базовой модели "брюсселятор" (Пригожин и Лефевр, 1968) в настоящее время хорошо изучены. В 1977 г. И.Пригожин получил Нобелевскую премию за работы по нелинейной термодинамике, в частности по теории диссипативных структур. Пригожин является автором и соавтором целого ряда книг: "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций", "Порядок из хаоса", "Стрела времени", и др., в которых он развивает математические, физико-химические, биологические и философские идеи теории самоорганизации в нелинейных системах, исследует причины и закономерности рождения "порядка из хаоса"

вбогатых энергией открытых для потоков вещества и энергии системах, далеких от термодинамического равновесия, под действием случайных флуктуаций.

Реакция, описываемая уравнениями (BME.2), (BME.3), возможна в реальных процессах с участием ферментов с двумя каталитическими центрами. Нелинейность этой реакции в сочетании с процессами диффузии вещества и обеспечивает возможность пространственно-временных режимов, в том числе образование пространственных структур в первоначально однородной системе.

3.2.2. Исследование устойчивости простейшей линеаризованной модели брюсселятора для случая A=1, B

Для анализа устойчивости модели брюсселятора рассмотрим вначале частый случай. Вместо двух постоянных констант A и B , участвующих в модели брюсселятора (BME.3), (BME.4), рассмотрим частный случай, когда

искомых величин X1 и X 2 , такую упрощенную модель брюсселятора можно записать в виде

151

рассмотрена нами в главе 1, параграф 2 формула (DSE.12). Учитывая стационарные решения:

Для исследования на устойчивость системы (BME.4) и (BME.5) достаточно ограничиться линейным приближением упрощенной системы двух уравнений брюсселятора

Решение этой системы уравнений ищем в виде:

152

решения это системы уравнений приводит к характеристическому уравнению для определения параметра p .

устойчива в пространственно однородном случае в отсутствие диффузии ( Re p 0 при D1 D2 0 ), то она будет и подавно устойчива при наличии диффузии. Дело в том что условие Re p 0 будет выполняться в

153

пространственно неоднородном случае из-за того, что диффузия уменьшает величину p на отрицательное слагаемое Dk 2 .

Если же коэффициенты диффузии различны D1 D2 , то устойчивое в пространственно однородном случае стационарное состояние может оказаться неустойчивым при учете диффузии одной из компонент. Рассмотрим эту ситуацию более подробно. Решение характеристического уравнения (BME.13 ) имеет вид:

Нас ниже будет интересовать случай λ<2. В этом случае, очевидно, что

положительный знак перед квадратным корнем, оказывается вещественным и

пространственно однородное решение при учете диффузии будет

BME_1.

Рис. BME_1. Граница области устойчивости.

Таким образом, если величина c min , то в системе возникает неустойчивость, при которой pmax 0 . Находя экстремум функции одной переменной, получаем, что минимальное значение волнового вектора kmin равняется

однородное состояние, устойчивое в отсутствие диффузии, становится неустойчивым при учете диффузии.

155