экзамен / Билеты по синергетике

Рис. NLM_3. Функция f x1* 0; в зависимости от параметра

.

Анализ рис. NLM_3 показывает, что только при 0

1

(область ,

4

подчеркнутая зеленым цветом)

выполняется неравенство f x1* 0; 1,

которое показывает, что точка

x* 0 является устойчивой

неподвижной

1

Покажем,

что неподвижная точка x* 1

1

является устойчивой и

2

4

притягивающей.

Для

этой

цели вычислим

значение производной

f x2* , 4

1

8 1

2

4 .

4

Рис. NLM_4. Функция f x2*; в зависимости от параметра

.

1

3

,

в которой выполняет неравенство

f x2*,

1.

Это означает,

4

4

неподвижная точка x* 1

1

1

3

что

вторая

в

диапазоне

будет

2

4

4

4

устойчивой. Следовательно, при бесконечном

числе итераций x* f x*

равное

x* 1

1

, причем

при увеличении параметра

в

диапазоне

2

4

1

3

такое устойчивое количество кроликов будет увеличиваться. В

4

4

дальнейшем

такую единственную

устойчивую неподвижную

точку мы

будем называть просто x* 1

1

.

Картину такого увеличения

кроликов

4

при изменении

параметра

интервале

1

3

можно увидеть на рис.

4

4

NLM_2.

D. Управляющий параметр

3

1 6

0.86237

4

4

В этой области увеличения параметра

итерации f x

испытывают

значений параметра

итерации f x испытывают удвоение периода. В

x

4 x

1 x

4 4 x

1 x

1 4 x

1 x

k 2

k 1

k 1

k

k

k

k

Цикл порядка 2

определяется соотношением

xk 2

f 2 xk . Рассмотрим

явную функцию

128

Рис. NLM_5.

График g x

(NLM.15)

для

0.8 .

График

g x ,

симметричный

относительно

точки x

1

,

показывает

2

наличие двух максимумов в точках x1

и

x3 ,

и одного минимума в точке

x x2 .

Найдем

неподвижные

точки

цикла

порядка

2

из

уравнения

x* f (2) x* g x* .

Для

отображения Ферхюльста

уравнение для

нахождения неподвижных точек имеет вид

*

2

*

1

*

*

1 x

*

x

16

x

x

1 4 x

.

(NLM.19)

Уравнение

четвертого порядка

(NLM.19)

имеет

первый

корень

x* 0.

1

Однако такая неподвижная точка является неустойчивой,

так как

согласно

(NLM.18)

g x1* 0; 16 2

1.

Решение

уравнения

(NLM.19)

Корнями решения уравнения (NLM.19)

x* f (2) x* g x* являются

четыре точки: x* 0,

x* 0.513 ,

x* 0 . 6 8 ,8 x* 0.799.

Вычисляя в

1

un

этих точках производные, получаем

g x1* 10.24 1, g x*

0.1594 1,

неподвижные точки

x*

0.513 и

x* 0.799 обладают

свойствами

g x*

1, то есть являются устойчивыми неподвижными точками. Это

означает, что отображение

f x

переводит точку устойчивую неподвижную

точку x* в точку x* ,

а точку x*

отображение переводит в точку

x* . Таким

Таким образом, при значении

1

3

мы имели период равный

4

4

единице. Это означало, что отображение

f

x

переводит единственную

неподвижную точку

x* 1

1

в

такую

же

точку

x* 1

1

. При

4

4

1

увеличении управляющего параметра

3

6

мы имеем отображение

4

4

с периодом равным

два. В таком

случае

при первом отображении f x

происходит переход

x* x* , а при втором отображении f x величина

x*

снова возвращается к исходной

величине

x*

x*

(отображение с

1

Рис. NLM_7.

Для

параметра

6

функции

x, g(x), g x

4

изображены тонкой,

толстой и штриховой линиями.

Значения x* , x*

и x*

на

рис. NLM_7 отмечены

черными точками.

un

Красными

точками

отмечены пересечения

x* g x* ,

x* g x* . Еще

одно пересечение xun* ,

характеризуется

g xun*

1,

поэтому точка

xun*

является неустойчивой. На рис. NLM_7 показано, что при увеличении

до значения 1

для неподвижных точек

параметра

6

x* и

x*

4

величина

g x*

g x*

1

(смотри

поведение

штриховой

линии).

1

Следовательно точки x*

и x* при

6

также теряют устойчивость.

4

величину 1

.

Увеличим

6

Для

таких

значений

график

4

отображения

h x g g x f (4)

x ,

например при

0.875 имеет

зависимости x* от . Если величина 0

1

, то

x* 0. Если

1

3

,

4

4

4

то x* 1

1

.

4

3.Если

1

3

, то, численность популяции точно так же придёт к тому

2

4

1

0.862 , то численность

4.Если

3

6

популяции будет

4

4

бесконечно колебаться между двумя значениями x* и

x* .

1

5.Если

6

0.885, то численность популяции будет бесконечно

4

xn 1 f xn

(ENP.1)

с некоторой функцией f x

соседние

точки,

отличающиеся очень

маленьким значением 1

могут разбегаться.

Представим себе, что мы

выберем две начальные точки

x0

и x0 , причем две такие начальные

точки разделены очень малым значением

1.

Рис. ENP_1. Введение

показателя Ляпунова x0 , характеризующего

степень разбегания траекторий.

Если мы возьмем

в качестве начального значения величину x0 и

применим N раз отображение f x , то в результате мы получим величину

и применим N раз

отображение f x ,

то в

результате

мы

получим

величину

f ( N ) x0 . Оказывается, что

при

определенном

значении

начального

значения

x0 , при определенном

значении

управляющего

параметра , разность между этими величинами

f ( N ) x0 f ( N ) x0