экзамен / Билеты по синергетике

Турбулентность в её обычном понимании возникает в пристеночных слоях слабовязких жидкостей или газов либо на некотором удалённом расстоянии за плохо обтекаемыми телами.

Для теоретического описания турбулентности применяются различные подходы. При статистическом подходе считается, что турбулентность порождает случайно изменяющаяся совокупность вихревых элементов различных размеров. Другим подходом является метод спектрального анализа, который дополняет статистический подход.

Рис BEE_4. Рождение турбулентности при обтекании шара потоком жидкости:

а) ламинарное течение (Re=10-2);

б) появление вихрей в кормовой части (Re=20); в) развитие вихрей (Re=102);

г) развитая турбулентность (Re>104)

Рассмотрим вначале цилиндр, ось которого перпендикулярна скорости V движущейся жидкости. На рис. 6,а) схематически показаны линии тока жидкости при малой скорости ее движения. Характер этих линий зависит не

жидкости - ее средняя плотность) и от диаметра d цилиндра. Эти числа объединяют в безразмерный комплекс Рейнольдса, Re Vd , который более

полно, чем одна скорость описывает картину обтекания цилиндра жидкостью. Итак, при малых числах Re 20 линии тока стационарны, т. е. не меняются со временем. Но после того, как скорость превысит некий порог, появляются рециркуляционные вихри в следе за цилиндром (рис. BEE_4,б). Стационарный режим исчезает, уступая место цепочке вихрей, вращающихся попеременно то в одну, то в другую сторону. Это явление носит название вихревой дорожки Бенера - Кармана. На рис. BEE_4 изображена эволюция

вихрей для различных значений 20 Re 106 . При Re > 20 появляется пара вихрей, при Re > 102 вихри осциллируют. При еще более высокой скорости (Re > 106) появляется нерегулярная картина - турбулентный поток. В последней можно также усмотреть появление новой картины самоорганизации - порядка в хаосе. Подчеркнем универсальный характер описываемых здесь периодических явлений: след турбулентных явлений можно обнаружить в структуре облаков, создаваемых ветром над городом и за Большим красным пятном на Юпитере.

Возвратимся в нашем рассмотрении у явлению Бенара (рис. BEE_1). Управляющим параметром, определяющим смену режимов поведения жидкости при нагреве, является значение числа Рэлея R

W , градиент температуры T и коэффициент теплопроводности, имеет вид W T .

Вывод. В эксперименте Бенара, при котором жидкость в поле тяготения подогревается снизу при малых разностях температур

преобладает вязкость. Жидкость покоится и тепло переносится постоянной теплопроводностью. Такое состояние становится неустойчивым при критическом значении числа Рэлея Rcr . Такое критическое значение для

данной жидкости достигается увеличением разности температур Tmax Tmin . Если R Rcr в жидкости появляются стационарные конвективные валы,

88

характеризующие ее движение. При дальнейшем повышении величины R конвективные валы разрушаются и в жидкости устанавливается турбулентный режим, характеризующийся полностью хаотичным

свободного падения. Заметим, что нелинейность в гидродинамики связана с полной производной по времени

Чтобы упростить все вычисления предполагается, что система обладает трансляционной симметрией по оси Y. Учтем, что зависимостью всех постоянных нашей задачи, входящих в уравнения (BEE.2)-(BEE.4), от температуры T можно пренебречь. Единственной величиной, которая

89

зависит от температуры T , является плотность жидкости T , которая

линейным образом зависит от температуры. Такое приближение называется приближением Буссинеска. Требования симметрии определяют зависимость искомых величин от своих аргументов (рис. BEE_5). Ширина плоской пластины по оси z , нижняя часть которой нагрета до температуры

ax

функциями по координате x и по координате z являются sin иh

sin z .

h

«Детерминированный хаос».

90

X X Y

Связанная система трех обыкновенных дифференциальных уравнений для

91

Рис. BEE_6. Спектр мощности конвективного потока в эксперименте

Бенара. При увеличении относительного числа Рэлея R* наблюдаются следующие состояния: a) верхний рисунок. периодическое движение с одной

движение с несколькими узкими линиями в спектре R* 46.8; г) хаос,

R* 65.4

92

Вывод. Критерием хаотического поведения системы в задаче Бенара является сложный спектр Фурье исследуемой величины. При хаотическом поведении величины Vx x, z,t спектр мощности характеризуется широким

спектром частот, медленно спадающим при высоких частотах. Это означает, что исследуемая величина характеризуется сложным набором частот, в который одинаковым образом входят как низкие, так и высокие частоты колебаний.

93

2.6. Реакция Белоусова-Жаботинского

Реакция Белоусова — Жаботинского — класс химических реакций,

протекающих в колебательном режиме, при котором некоторые параметры реакции (цвет, концентрация компонентов, температура и др.) изменяются периодически, образуя сложную пространственно-временную структуру реакционной среды.

Реакция Белоусова-Жаботинского

https://www.youtube.com/watch?v=muYgGjNxB8c ( 0-30 сек; 8 min-13 min; 17 мин)

https://www.youtube.com/watch?v=GZnwjyVjH_I

В настоящее время под этим названием объединяется целый класс родственных химических систем, близких по механизму, но различающихся

молекулы (например, молекулы малоновой кислоты) окисляются бромат

системе элементов Д.И.Менделеева в группе лантаноидов, его порядковый номер равен 58.

такого управляющего параметра может выступать характерное время

до хаотических колебаний и являются важным объектом исследования универсальных закономерностей нелинейных систем. В частности, именно в реакции Белоусова — Жаботинского наблюдался первый экспериментальный странный аттрактор в химических системах и была осуществлена экспериментальная проверка его теоретически предсказанных свойств.

История открытия колебательной реакции Б. П. Белоусовым, экспериментальное исследование её и многочисленных аналогов, изучение механизма, математическое моделирование, историческое значение приведены в коллективной монографии. Борис Павлович Белоусов проводил исследования цикла Кребса, пытаясь найти его неорганический аналог. В

присутствии катализатора — ионов церия Ce+3, он обнаружил автоколебания.

Течение реакции менялось со временем, что проявлялось периодическим изменением цвета раствора от красного (избыток Ce+3) к синему (избыток

Ce+4) и обратно. Эффект ещё более заметен в присутствии индикатора ферроина. Сообщение Белоусова об открытии было встречено в советских научных кругах скептически, поскольку считалось, что автоколебания в химических системах невозможны. Статью Белоусова дважды отклоняли в редакциях советских журналов, поэтому опубликовать результаты исследований колебательной реакции он смог только в сокращённом виде спустя 8 лет в ведомственном сборнике, выходившем небольшим тиражом. Впоследствии эта статья стала одной из самых цитируемых в данной области, а реакция получила название реакции Белоусова.

Дальнейшее развитие исследований этой реакции произошло, когда

реакции. От приглашения проводить совместные исследования Белоусов отказался, хотя выражал удовлетворение тем, что его работа продолжена. Жаботинский провёл подробные исследования реакции, включая её различные варианты, а также составил её первую математическую модель (1964). Основные результаты были изложены в книге Жаботинского

«Концентрационные колебания». В 1969 году Жаботинский с коллегами обнаружили, что если реагирующую смесь разместить тонким плоским слоем, в нём возникают волны изменения концентрации, которые видны невооружённым глазом в присутствии индикаторов. Сейчас известно

Таким образом, реакция Белоусова-Жаботинского представляет собой окисление малоновой кислот броматом в кислой среде. Изначально Белоусов

95

использовал лимонную кислоту вместо малоновой кислоты. Возможно также использование и целого ряда других органических субстратов вместо малоновой кислоты. Во многих случаях необходимо избежать образования пузырей CO2 , затрудняющих наблюдение прохождения этой реакции.

Реакция Белоусова Жаботинского катализируется такими ионами металлов

или металлокомплексами, как ионы церия Ce3 , Mn2 , Fe2 . Для наблюдения волн или структур обычно применяются ионы Ce , за которыми удобно следить оптически, так как их оптический спектр очень хорошо известен. Концентрация ионов церия может быть найдена по селективному поглощению света этими ионами.

Рис. BZH_1. Концентрические и спиральные волны в реакции Белоусова-Жаботинского.

При определенных составах наблюдается периодическое изменение окраски раствора от красного (избыток ионов церия Ce3 ) для синего

(избыток ионов Ce4 ). В других случаях после периодических колебаний цвета: красный, синий, красный, ... с периодом около 4 минут в пробирке возникают неоднородности концентрации и образуются устойчивые красные и синие слои, которые можно наблюдать примерно в течение получаса В замкнутой системе колебания цвета постепенно затухают. Но, если непрерывно подводить реагенты и отводить конечные продукты, то колебания могут продолжаться неограниченно долго. Если реакционную смесь не перемешивать, то возникают пространственные структуры, либо подобные тем, что описаны выше, либо в виде концентрических волн или спиралей видных в широкой кювете.

96