экзамен / Билеты по синергетике

отклонения маятника от положения равновесия. Период таких колебания

период колебаний по оси x 2 . Фазовая диаграмма (зависимость U от U ) для случая нулевого электрического поля 0 =0 эллиптическую траектория с монотонно уменьшающимися размерами полуосей. После примерно девяти колебаний движение маятника скорости маятника становятся маленькими

Для выбранных параметров (частота внешнего поля совпадает с собственной частотой математического маятника 0 , 2 0 ) характер

движения немного изменяется. Малое электрическое поле позволяет математическому маятнику создать квазистационарный режим работы.

электрического поля фазовая траектория сильно изменяется. Происходит очень быстрое нарастание амплитуды колебаний. Затухание в системе, пропорциональное величине , не может стабилизировать неустойчивость.

77

Параметрический резонанс

Задача параметрического резонанса рассматривается в книге Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (Теоретическая физика, Т.1, Механика, параграф 27). Для возникновения параметрического резонанса необходимо, чтобы круговая

частота колебаний 2 t изменялась бы по гармоническому закону

покоя системы, представляющее собой положение равновесия, будет неустойчивым. Достаточно сколь угодно слабого отклонения от этого состояния, чтобы появившееся смещение будет быстро возрастать со временем. Это явление называется параметрическим резонансом. Наиболее интенсивным образом параметрический резонанс будет проявлять себя, если частота функции t близка к удвоенной частоте собственных колебаний

2 0 . В таком случае частоту внешнего воздействия положим равной2 0 , где малая поправка удовлетворяет условию 0 . Основной моделью в теории параметрических колебаний в линейный системах служит уравнение Матьё

y t 02 1 h cos t y t 0 (EMC.15)

В нашем случае линеаризованное уравнение колебаний (EMC.12) для малых колебаний U (x) 1 имеет вид

с гармоническим параметрическим возбуждением. Это уравнение детально

79

исследовано математиками. Решения такого уравнения составляют особый класс специальных функций - функции Матьё. Для наших целей важно отметить свойства неустойчивости такого уравнения. На плоскости параметров - амплитуда частота существуют зоны неустойчивости, которые имеют вид характерных клювов, расположенных в окрестности резонансных

Матьё. Таким образом, для того чтобы решение уравнения (EMC.16) было неустойчивым, необходимо, чтобы соответствующее решение уравнения (EMC.17) нарастало бы по закону Z x exp px , где параметр p .

Таким образом, границы зон неустойчивостей при 0 сдвигаются вверх. Поскольку амплитуда воздействия, связанная с величиной q должна превышать некоторое пороговое значение, которое увеличивается с номером резонанса), то такая неустойчивость носит пороговый характер.

Исследуем возможность экспоненциального нарастания во времени решений классического уравнения Матьё y t exp t (EMC.17). Функция

частоты t в этом уравнении является периодической функцией времени

- два независимых решения дифференциального уравнения, то при замене

постоянный множитель

80

y1 t T 1 y1 t ; y2 t T 2 y2 t . (EMC.18)

Наиболее общий вид этих функций, обладающих таким свойством, можно выбрать в виде

Покажем, что постоянные 1 и 2 в этих функциях должны быть связаны друг с другом определенным соотношением. Мы имеем два уравнения y1 t 2 t y1 t 0 ; y2 t 2 t y2 t 0 . Умножим первое уравнение

Из условия вещественности решений y1 t и y2 t вытекает, что константы

другое решение экспоненциально затухает со временем

от положения равновесия приводит к параметрическому резонансу, согласно

(Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М, Нелинейные колебания, издание 3, М., Ленард, 2020, Лекция 16; Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические метолы физики, Москва, Атомиздат, 1972 ) На некоторой плоскости параметров, для которых осью абсцисс является ось величин a , а осью ординат является величина q существуют зоны неустойчивостей, которые имеют вид характерных клювов, расположенных вблизи величины

a n2 , где n 1,2,3... Эти устойчивые области изменения параметров q и a уравнения Матье (EМC.17) закрашены зеленым цветом. Области неустойчивого решения уравнения Матье имеют белый цвет.

Рис. EMC_3. Границы зон неустойчивости на плоскости параметров a и q для классического уравнения Матьё. Цифры 1,2,3,4, 5 соответствуют номерам резонансов. Зеленым цветом закрашены устойчивые области. При учете затухания 0 границы этих областей сдвигаются наверх. Пунктирными линиями обозначены границы устойчивости при 0 .

Первый резонанс наблюдается при a 1. Область устойчивости при a 1 очень узкая и распространяется только для очень малых q . В наших

82

расчетах мы считали, что a b 2 =1.0009−(0.03)2=1. Эта величина в точности соответствует первому резонансу уравнения Матьё ( рис. 1_3_2). Для нашего численного расчета нелинейного уравнения Матье с затуханием мы получили, что границы устойчивости нелинейного уравнения Матье представляют величину q 0.5 ( случай 6).

Вывод

Выводом данного параграфа, посвященного решению уравнения движения нелинейного маятника с диссипацией, находящего в поле тяжести и периодическом поле, обусловленном электрическим полем, является обнаружение неустойчивости. Такая неустойчивость, называемая параметрическим резонансом, приводит к экспоненциальному поведению решения дифференциального уравнения со временем. При такой неустойчивости возникает серьезное изменение фазовой траектории такого маятника.

83

2.5. Эксперимент Бенара

Ячейки Бенара или Рэлея — Бенара — возникновение упорядоченности в виде конвективных ячеек в форме цилиндрических валов или правильных шестигранных структур в слое вязкой жидкости с вертикальным градиентом температуры, то есть равномерно подогреваемой снизу.

https://www.youtube.com/watch?v=SC2nXB1s1mA ( 5 минут, в середине сбой) https://www.youtube.com/watch?v=EnNe8LJJEVQ ( 6 минут )

Ячейками Бенара можно объяснить происхождение вулканических образований в форме пучка вертикальных колонн — такими являются памятники природы «Девилс-Тауэр» (США) и «Мостовая гигантов» (Северная Ирландия).

===========================================================

=

Рис. BEE_1. Ячейки Бенара в гравитационном поле: a) режим теплопроводности; б) режим конвективных валов; в) режим турбулентности.

84

В 1901 году физик Бенар обнаружил странный эффект в конвективном движении газа и жидкости. Рассмотрим слой жидкости, подогреваемой снизу (рис. 1,а). Эффект Бенара можно также наблюдать в следующем опыте: в неглубокий сосуд помещают растительное или силиконовое масло и равномерно подогревают его снизу. Возникает разность температур между верхней и нижней поверхностями

1) при малых значениях градиента температур тепло переносится в результате процесса теплопроводности, т. е. благодаря молекулярной передаче энергии хаотически движущихся молекул газа или жидкости ( рис.

BEE_2 a)

2) При больших градиентах Tmax Tmin Tcr возникает конвекция и

жидкость разбивается на гексагональные ячейки (рис. BEE_2б), т. е. возникает динамическая, организованная, упорядоченная структура - это один из видов диссипативной структуры. Для таких перепадах температур диффузия и теплопроводность не успевает привести к однородному распределению температуры по объёму. Возникают цилиндрические валы, вращающиеся навстречу друг другу (как сцепленные шестерёнки).

3) при дальнейшем увеличении температуры ячейки Бенара будут существовать, однако, некоторые их характеристики начнут изменяться. При увеличении градиента температуры возникает второй критический переход. Для ускорения диффузии каждый вал распадается на два вала меньшего размера. При дальнейшем увеличении управляющего параметра валы дробятся и в пределе возникает турбулентный хаос. После перехода через второе критическое состояние структура течения станет размытой и возникнет новый режим, характеризуемый неупорядоченной зависимостью переменных во времени - это так называемый турбулентный режим.

Рис. BEE_2 Образование ячеек Бенара на поверхности жидкости.

В тонком слое при подогреве снизу образуются ячейки правильной гексагональной формы, внутри которых жидкость поднимается по центру и опускается по граням ячейки. Такая постановка эксперимента исторически была первой, однако здесь на самом деле наблюдается конвекция Марангони,

85

возникающая за счёт действия сил поверхностного натяжения и зависимости их от температуры жидкости.

Рис. BEE_3. Зарождение конвективного движения: а) хаотическое движение; б) возникают и разрушаются конвективные ячейки; в) ячейки Бенара.

Зарождение турбулентности

Турбуле́нтность, (от лат. turbulentus — бурный, беспорядочный), турбуле́нтное тече́ние — явление, когда при увеличении скорости течения жидкости (или газа) образуются нелинейные волны. Волны образуются обычные, линейные различных размеров, без наличия внешних сил и/или при наличии - сил, возмущающих среду. Для расчёта подобных течений были созданы различные модели турбулентности. Волны появляются случайно, и их амплитуда меняется хаотически в некотором интервале. Они возникают чаще всего либо на границе, у стенки, и/или при разрушении или опрокидывании волны. Они могут образоваться на струях. Экспериментально турбулентность можно наблюдать на конце струи пара из электрочайника. Количественные условия перехода к турбулентности были экспериментально открыты английским физиком и инженером О. Рейнольдсом в 1883 году при изучении течения воды в трубах.

86