Медиана

Чтобы определить медиану для сгруппированных данных, необходимо считать накопленные частоты. Например: По имеющимся данным определим медиану размера обуви воспитанников из детских домов.

Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину суммы частот ряда. В нашем примере сумма частот составила 300, её половина – 150. Накопленная сумма частот получилась равной 169. Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 37 и есть медиана ряда.

Средняя арифметическая

•Средняя арифметическая (М) – определяется как сумма всех значений измеренного признака, деленная на количество суммированных значений.

•В статистике ее обозначают буквой «М». Чтобы ее подсчитать, надо суммировать все значения ряда и разделить сумму на количество суммированных значений.

•Использовать для обоснования каких-либо предположений и гипотез только среднее значение нельзя, оно не отражает объективной картины!

Пример: 1+9=10, М=5, и 5+5=10, М=5.

Задание.

Найти среднее арифметическое ряда данных 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9 9 10 Найти среднее арифметическое ряда данных 5 6 1 8 1 6 5 1 9 7 4 2 6 6 4 5 2 2 3

Меры разброса

•Дисперсия случайной величины — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и Var(X) (англ. variance) в

зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение σх2 или σ2.

•Квадратный корень из дисперсии, равный σ, называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Дисперсия

Дисперсия (S2, Dx) (Variance) - мера изменчивости для метрических данных относительно среднего значения. Дисперсия показывает разброс значений признака относительно своего среднего арифметического значения, то есть насколько плотно значения признака группируются вокруг Мх.

Чем больше разброс, тем сильнее варьируются результаты испытуемых в данной группе, тем больше индивидуальные различия между испытуемыми.

Выборочная дисперсия:

где xi - каждое наблюдаемое значение признака; М - среднее арифметическое значение признака; n - количество наблюдений

Стандартное отклонение

•Стандартное отклонение — это число, описывающее, насколько значения данных обычно отличаются от среднего.

•По определению, стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии.

Задание.

Найти стандартное отклонение ряда данных 1 2 7 8 10

Найти стандартное отклонение ряда данных 6 5 1 9 7 4

Стандартная ошибка среднего

Коэффициент вариации

Из всех показателей вариации среднеквадратическое отклонение в наибольшей степени используется для проведения других видов статистического анализа. Однако среднеквадратическое отклонение дает абсолютную оценку меры разбросанности значений и чтобы понять, насколько она велика относительно самих значений, требуется относительный показатель. Такой показатель называется коэффициент вариации.

Коэффициент вариации – наиболее универсальный показатель, отражающий степень разбросанности значений независимо от их масштаба и единиц измерения. Коэффициент вариации измеряется в процентах и может быть использован для сравнения вариации различных процессов и явлений.

Формула коэффициента вариации:

Коэффициент вариации

В статистике принято, что, если коэффициент вариации меньше 10%, то

степень рассеивания данных считается незначительной, от 10% до 20% - средней, больше 20% и меньше или равно 33% - значительной,

значение коэффициента вариации не превышает 33%, то совокупность считается однородной,

если больше 33%, то – неоднородной.

Средние, рассчитанные для однородной совокупности – значимы, т.е. действительно характеризуют эту совокупность, для неоднородной совокупности – незначимы, не характеризуют совокупность из-за значительного разброса значений признака в совокупности.

Квартили и процентили

Квантиль – это точка на числовой оси измеренного признака, которая делит всю совокупность упорядоченных измерений на группы с известным соотношением их численности.

Обычно выделяют следующие разновидности квантилей:

1)Квартили Q1, Q 2, Q3 – они делят распределение на четыре части по 25% в каждой;

2)Квинтили К1, К2, К3, К4 – они делят распределение на пять частей по 20% в каждой;

3)Децили D1, ...,D9, их девять, и они делят распределение на десять частей по 10% в каждой;

4)Процентили P1, Р2 ...,Р99, девяносто девять точек, и они делят распределение на сто частей по 1% в каждой части.

Поскольку процентиль – наиболее мелкое деление, то все другие квантили могут быть представлены через процентили.

Например, первый квартиль – это двадцать пятый процентиль, первый квинтиль – второй дециль или двадцатый процентиль, и т.п.