Выбор меры центральной тенденции

Выборочные средние можно сравнивать, если выполняются следующие условия:

•группы достаточно большие, чтобы судить о форме распределения;

•распределения симметричны;

•отсутствуют «выбросы».

Если хотя бы одно из перечисленных условий не выполняется, то следует ограничиться модой и медианой. Альтернативой является «сквозное» ранжирование представителей сравниваемых групп и сравнение средних, вычисленных для рангов этих групп.

Размах

Наиболее простой мерой изменчивости является размах, указывающий на диапазон изменчивости значений.

Размах (Range) - это разность максимального и минимального значений вариационного ряда:

R = xmax – xmin.

Пример: {11, 9, 12, 8, 13, 14, 17, 19, 20, 19}.

чем сильнее варьирует измеряемый признак, тем больше величина R, и наоборот.

Размах – неустойчивая мера изменчивости, на которую влияют любые возможные «выбросы».

Размах

•Исключающий размах – это разность максимального­ и минимального значений в выборке [6].

•Например, исключающий размах значений 0, 2, 3, 5, 8 равен 8 – 0 = 8. Значения: –0,2; 0,4; 0,8; 1,6 имеют исключающий размах, равный 1,6 – (–0,2) = 1,8.

•Включающий размах – это разность между естественной верхней границей интервала, содержащего максимальное значение, и естественной нижней границей интервала, включающего минимальное значение [6]. Или к величине исключающего размаха добавляют значение единицы точности измерения.

•Например, рост пяти мальчиков измеряется с точностью до 1 сантиметра. Получены следующие значения:

•Размах представляет собой меру рассеяния, разброса, неоднородности­ или изменчивости. Эта величина возрастает с ростом рассеяния и уменьшением однородности­. Размах является довольно грубой, но достаточно распространенной­ мерой изменчивости.

•Более точной мерой изменчивости является дисперсия

Задание.

Найти исключающий размах ряда данных 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9 9 10 Найти включающий размах ряда данных 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9 9 10

Найти исключающий размах ряда данных 5 6 1 8 1 6 5 1 9 7 4 2 6 6 4 5 2 2 3 Найти включающий размах ряда данных 5 6 1 8 1 6 5 1 9 7 4 2 6 6 4 5 2 2 3

Мода

•Мода (Мо)– наиболее часто встречающееся значение признака.

•Правила нахождения моды:

•В том случае, когда все значения в выборке встречаются наиболее часто, принято считать, что данный выборочный ряд не имеет моды.

Пример: 5 5 6 6 7 7 – моды нет.

•Когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, мода вычисляется как среднее арифметическое этих двух значений.

Пример: 1 2 2 2 5 5 5 6, мода (2+5)/2=3,5.

•Если два не соседних значения в выборке имеют равные частоты, которые больше частот любого другого значения, то выделяют две моды.

Пример: 10 11 11 11 12 13 14 14 14 17, моды 11 и 14, выборка бимодальная.

Задание.

Найти моду ряда данных 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9 9 10 Найти моду ряда данных 5 6 1 8 1 6 5 1 9 7 4 2 6 6 4 5 2 2 3

Мода

Если выборка содержит две моды, то распределение называется

бимодальным.

Пример: массив {3, 3, 5, 1, 4, 5, 6, 5, 3} (Мо1 = 5, а Мо2 = 3).

Бимодальное или полимодальное (содержащее более двух мод) распределения могут рассматриваться как признак неоднородности выборки.

Например, школьный класс образован в результате механического слияния двух разных классов, и показатели мод интеллекта были изначально различны. После слияния в объединенной выборке график интеллекта будет иметь две моды.

Мода

Мода

Для интервального ряда распределения мода определяется по формуле:

где ХMo - нижняя граница модального интервала; hMo - величина модального интервала;

fMo – частота модального интервала; fMo-1 и fMo+1

предшествующего модальному и следующего за ним.

Мода

Например: Распределение учителей по стажу работы характеризуется следующими данными.

Определить моду интервального ряда распределения. Мода интервального ряда составляет

Мода

Графический способ определение моды для интервального ряда (закупка учебников)

Медиана

•Медиана (Мd) – значение, которое делит упорядоченное множество данных пополам.

Пример: найдем медиану выборки 9 3 5 8 4. Упорядочим по величинам 3 4 5 8 9, т.к. в выборке пять элементов, то 3-й медиана.

Пример: найдем медиану выборки 2 7 5 4. Упорядочим 2 4 5 7, т.к. четное число элементов, то существуют две середины – 4 и 5. В этом случае медиана – это среднее арифметическое этих значений (4+5)/2= 4,5.

Задание.

Найти медиану ряда данных 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9 9 10 Найти медиану ряда данных 5 6 1 8 1 6 5 1 9 7 4 2 6 6 4 5 2 2 3