Стационарность
По постоянству среднего, дисперсии и плоской автокорреляционной функции процесс удовлетворяет критериям широкой стационарности.
Практическое совпадение распределений разных сегментов позволяет считать его практически строго стационарным.
Эргодичность
Незначительные взаимные корреляции и одинаковые статистические моменты у двух независимых половин ряда подтверждают, что одна реализация «представляет» все возможные.
Следовательно, процесс эргодичен по среднему и по корреляционной функции.
Процесс эргодичен, если выборочные (временные) оценки совпадают с ансамблевыми, т.е. достаточно одной длинной реализации.
Файл b (равномерное распределение)
Описательные моменты входной последовательности:
Минимум: 0.12
1-й квартиль: 44.19
Медиана: 98.273
3-й квартиль: 141.13
Максимум: 191.18
Среднее: 94.5 (близко к медиане, но есть небольшой сдвиг)
СКО (σ): 56.00
Асимметрия: 0.03 (слабая правосторонняя асимметрия)
Эксцесс: 1.75
Дисперсия (σ²): 3135.1
Критерий Колмогорова-Смирнова
Для модели СС:
p = 0 (гипотеза H0 о совпадении распределений принимается).
ks = 0.4041 (значение статистики).
d = 0.0625 (расстояние между эмпирической и модельной функциями распределения).
Для модели АРСС:
p = 0 (гипотеза H0 принимается).
ks = 0.3115 (лучше, чем у СС).
d = 0.0675 (немного меньше, чем у СС).
Вывод: Обе модели не идеально описывают данные, но СС чуть лучше.
Критерий Хи-квадрат
Для модели СС и АРСС:
p = 1 (гипотеза H0 отвергается).
kchi = 0.000014 (p < kchi)
chi2stat = 34.429 (значение статистики).
df = 7 (степени свободы).
Наблюдаемые (O) и ожидаемые (E) частоты в интервалах приведены.
Вывод: Обе модели прошли тест, распределение частот близко. Обе модели в норме.
Критерий Пирсона
Для моделей СС и АРСС:
pval = 1 (гипотеза H0 принимается).
Вывод: Обе модели принимают нулевую гипотезу.
Парный критерий Стьюдента
Для модели СС:
h = 0 (H0 принимается).
p = 0.4142 (нет значимой разницы в средних).
Для модели АРСС:
h = 0 (H0 принимается).
p = 0.5150
Вывод: Модель СС показывает себя точнее
Медианный критерий
Для модели СС:
p = 0.58 (h = 0 — H0 принимается).
sign = 194
Для модели АРСС:
p = 0.39 (H0 принимается).
sign = 191
Вывод: Медианы моделей и исходных данных практически не отличаются, но СС чуть точнее.
Критерий Манна-Уитни-Вилкоксона
Для модели СС:
p = 0.6747 (H0 принимается).
z = 0 (нет сдвига).
Для модели АРСС:
p = 0.8353 (H0 принимается).
z = 0 (нет сдвига).
Вывод: Распределения моделей и исходных данных не имеют значимого сдвига.
Вывод: по двум главным энергия-показателям (μ и σ²) точнее скользящее среднее (СС).
Рис. 15 Гистограмма входных данных
Гистограмма входных данных
Описание графика:
Светло-голубые столбцы — гистограмма входного сигнала (основное распределение значений).
Зелёные столбцы — более детализированная гистограмма (с меньшим шагом/бином).
Синяя линия — эмпирическая плотность распределения (по выборке).
Красная кривая — теоретическая равномерная плотность распределения.
Рис. 16 Функция плотности вероятности
На изображении показана функция плотности вероятности (ФПВ) случайного процесса.
Описание графика:
Гистограмма (голубые и зелёные столбцы):
Голубые столбцы — вероятностная гистограмма по всей реализации процесса. Это отражение распределения значений за весь период наблюдения.
Зелёные столбцы — вероятностные гистограммы для малых участков.
Синяя линия — это вероятностная эмпирическая плотность распределения, построенная по данным гистограммы с зелеными столбцами.
Красная линия — эмпирическая плотность распределения.
Рис. 17 Функция распределения
График: Функция распределения
Что изображено:
Синяя линия — эмпирическая функция распределения (EDF), построенная по входной выборке. Она показывает, какая доля значений наблюдений меньше или равна данной точке.
Зелёная линия — сглаженная эмпирическая функция распределения.
Рис. 18 Автокорреляционная функция
График: Автокорреляционная функция (АКФ)
Что изображено:
По оси абсцисс: значение задержки (лаг) ΔN от −N до +N
По оси ординат: коэффициент автокорреляции R(τ)
Синяя вертикальная линия в центре при τ=0— всегда равна 1, так как это автокорреляция сигнала с самим собой.
Все R укладываются в доверительную полосу ±0.10.
У стационарного процесса автокорреляция должна зависеть только от лагов, а не от времени. Если ACF быстро убывает к нулю — это признак стационарности. Если ACF долго затухает или убывает медленно — признак нестационарности, возможно, наличие тренда или цикличности. В данном случае ACF затухает, а значит, можно утверждать о стационарности процесса.
Рис. 19 ВКФ 2-х половин ВХ
График: ВКФ 2-х половин ВХ
Что изображено: — Это взаимная корреляционная функция (ВКФ) между двумя равными половинами входного сигнала (ВХ). — По оси X: сдвиг ΔN между двумя половинами. — По оси Y: коэффициент корреляции R от -0.16 до +0.14.
Вывод:
Две половины выборки статистически независимы.
Это признак эргодичности по корреляции: одна реализация уже даёт достоверную информацию.
Подтверждает, что входной процесс стационарен и эргодичен — его характеристики не зависят от временного положения сегмента.
На рис. 19 все значения R близки к нулю. Это значит, что две половины статистически эквивалентны и не содержат систематического сдвига.
Рис. 20 Графики "ВХ-А0", "СС", "АРСС"
Сравнение графиков "ВХ–A0", "CC", "АРСС"
Что показано:
Синий: входной сигнал минус среднее (ВХ–A0)
Красный: модель СС
Зеленый: модель АРСС Вывод:
красная кривая (СС) сглаживает пики; зелёная (АРСС) точнее повторяет форму.
АРСС точнее локально, СС стабильнее.
Рис. 21 Графики остатков шумов
Остатки шумов: (ВХ–A0)–CC и (ВХ–A0)–АРСС
Что показано:
Черный: ошибка модели СС
Зелёный: ошибка модели АРСС
Вывод:
Ошибка АРСС меньше по амплитуде, у СС чуть равномернее.
Рис. 22 График СПМ моделей "СС" и "АРСС"
СПМ моделей СС и АРСС
Что показано:
Частотный спектр мощностей (СПМ)
Красный — СС, зелёный — АРСС
Вывод:
У СС — сглаженный спектр
СС дает «колокол», СС безопаснее
СС (красная) дает более гладкий спектр, что может указывать на лучшее подавление шумов.
АРСС (зеленая) имеет более сложную форму, что может лучше отражать реальные процессы, если в данных есть авторегрессионная составляющая.
Рис. 23 График ошибок апроксимации ДКП моделей "СС" и "АРСС"
Ошибки аппроксимации после ДКП
Что показано:
Разность после дискретного косинус-преобразования (ДКП) Вывод:
Ошибки у обеих моделей в пределах ±4e-14 — это численные погрешности Аппроксимация по ДКП выполнена почти идеально
Рис. 24 Исходные и экстраполированные данные по моделям "СС" и "АРСС"
Исходные и экстраполированные данные (СС и АРСС)
Что показано:
Сравнение исходных и синтезированных сигналов
Синий — вход, красный — СС, зеленый — АРСС Вывод:
АРСС лучше повторяет форму входа
СС «размывает» пики АРСС точнее экстраполирует.
Рис. 25 ВКФ исходного и экстраполированного массива по модели "СС"
ВКФ: входной и экстраполированный массив по СС
Вывод:
Пик в 0, остальное в пределах ±0.10
Показывает хорошую корреляцию. Более точная, чем в модели АРСС.
Рис. 26 ВКФ исходного и экстраполированного массива по модели "АРСС"
ВКФ: входной и экстраполированный массив по АРСС
Вывод:
Пик в центре больше ≈ 0.85
Показывает хорошую корреляцию
Рис. 27 Функции распределения
Функции распределения
Что видно:
Чёрная — теоретическая функция
Синяя – эмпирическая функция
Зеленая – АРСС модель
Красная – СС модель
Вывод:
Обе близки, но СС (красная) точнее. Она ближе к черной и синей в центре. Хвосты немного жирнее.
Рис. 28 Функции плотности вероятности
Плотность вероятности (PDF)
Что видно:
Синий — оригинал, зеленый — АРСС, красный — СС
Вывод:
Модель СС показывает себя лучше, хоть некоторые экстремумы слишком большие.
Для варианта B адекватной считается модель скользящего среднего (СС). Она меньше портит энергию сигнала и обеспечивает наименьшее расстояние KS, несмотря на более грубое локальное сглаживание.