ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

(СПбГУТ)

КАФЕДРА СЕТЕЙ СВЯЗИ И ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ (СС и ПД)

Дисциплина: «Оптимизация и математические методы принятия решений»

Лабораторная работа №7.

Тема: «Оценка эффективности моделей

аппроксимации стохастических данных»

Вариант 16

Выполнил:

Студент группы ИКПИ-32

Иванов О. В.

Принял:

Владимиров С.А.

Подпись ______________

Цель работы

Научиться оценивать получаемые результаты математического моделирования. Приобрести навык проведения оценок эффективности и пригодности имитационных математических моделей. Освоить методики принятия решений по результатам статистического анализа стохастических данных произвольной природы в рамках их аппроксимации математическими моделями скользящего среднего и авторегрессии и скользящего среднего. Получить навык анализа статистических характеристик и применения общих критериев согласия при выполнении задания своего варианта.

Ход работы Файл а (нормальное распределение)

Описательные моменты входной последовательности:

1. Минимум: -167.98

2. 1-й квартиль: -42.164

3. Медиана: -0.0184 (близка к нулю)

4. 3-й квартиль: 40.436

5. Максимум: 194.70

6. Среднее: 0.6581 (близко к медиане, но есть небольшой сдвиг)

7. СКО (σ): 60.759

8. Асимметрия: 0.1166 (слабая правосторонняя асимметрия)

9. Эксцесс: 3.1073 (близко к нормальному распределению, где эксцесс = 3)

10. Дисперсия (σ²): 3691.6

Критерий Колмогорова-Смирнова

• Для модели СС:

  • p = 0 (гипотеза H0 о совпадении распределений принимается).

  • ks = 0.2348 (значение статистики).

  • d = 0.0775 (расстояние между эмпирической и модельной функциями распределения).

• Для модели АРСС:

  • p = 0 (гипотеза H0 принимается).

  • ks = 0.1731 (лучше, чем у СС).

  • d = 0.0725 (немного меньше, чем у СС).

Вывод: Обе модели не идеально описывают данные, но АРСС чуть лучше.

Критерий Хи-квадрат

• Для модели СС и АРСС:

  • p = 0 (гипотеза H0 принимается).

  • kchi = 0.9396 (p < kchi)

  • chi2stat = 1.7693 (значение статистики).

  • df = 6 (степени свободы).

  • Наблюдаемые (O) и ожидаемые (E) частоты в интервалах приведены.

Вывод: Обе модели прошли тест, распределение частот близко. Обе модели в норме.

Критерий Пирсона

• Для моделей СС и АРСС:

  • pval = 1 (гипотеза H0 принимается).

  • 0.8562 (СС) и 0.8470 (АРСС)

Вывод: Модели практически не отличаются от исходных данных, но АРСС показывает себя чуть точнее.

Парный критерий Стьюдента

• Для модели СС:

  • h = 0 (H0 принимается).

  • p = 0.3509 (нет значимой разницы в средних).

• Для модели АРСС:

  • h = 0 (H0 принимается).

  • p = 0.5230 

Вывод: Средние значения моделей и исходных данных значимо не отличаются, модель АРСС принимает несколько более точное значение.

Медианный критерий

• Для модели СС:

  • p = 0.0801 (на границе значимости, но h = 0 — H0 принимается).

  • sign = 218 (количество наблюдений выше медианы).

• Для модели АРСС:

  • p = 0.7263 (H0 принимается).

  • sign = 196 (близко к ожидаемому).

Вывод: Медианы моделей и исходных данных практически не отличаются, но АРСС чуть точнее.

Критерий Манна-Уитни-Вилкоксона

• Для модели СС:

  • p = 0.6623 (H0 принимается).

  • z = 0 (нет сдвига).

• Для модели АРСС:

  • p = 0.8286 (H0 принимается).

  • z = 0 (нет сдвига).

Вывод: Распределения моделей и исходных данных не имеют значимого сдвига.

Все шесть критериев не отклоняют нулевую гипотезу.

Итоговый результат

1. Обе модели (СС и АРСС) не идеальны, но:

   • АРСС лучше соответствует данным по KS-тесту и моментам.

   • СС хуже воспроизводит среднее и экстремумы.

2. Гипотезы о равенстве распределений не отвергаются, что означает, что модели статистически близки к исходным данным.

Модель с авторегрессией + скользящим средним (АРСС) проходит все критерии и даёт более правдоподобное распределение, хотя в одиночном прогоне немного увеличило дисперсию.

Скользящее среднее (СС) формально корректно, но проигрывает по ключевым критериям согласия и искажает форму хвостов.

АРСС является статистически эквивалентной исходному процессу и предпочтительна для дальнейшего моделирования.

Рис. 1 Гистограмма входных данных

Гистограмма входных данных

Описание графика:

• Светло-голубые столбцы — гистограмма входного сигнала (основное распределение значений).

• Зелёные столбцы — более детализированная гистограмма (с меньшим шагом/бином).

• Синяя линия — эмпирическая плотность распределения (по выборке).

• Красная кривая — теоретическая нормальная плотность распределения (с тем же средним и СКО, как у выборки).

Рис. 2 Функция плотности вероятности

На изображении показана функция плотности вероятности (ФПВ) случайного процесса.

Описание графика:

• Гистограмма (голубые и зелёные столбцы):

  • Голубые столбцы — вероятностная гистограмма по всей реализации процесса. Это отражение распределения значений за весь период наблюдения.

  • Зелёные столбцы — вероятностные гистограммы для малых участков.

• Синяя линия — это вероятностная эмпирическая плотность распределения, построенная по данным гистограммы с зелеными столбцами.

• Красная линия — эмпирическая плотность распределения.

Рис. 3 Функция распределения

График: Функция распределения

Что изображено:

• Синяя линия — эмпирическая функция распределения (EDF), построенная по входной выборке. Она показывает, какая доля значений наблюдений меньше или равна данной точке.

• Зелёная линия — сглаженная эмпирическая функция распределения.

Рис. 4 Автокорреляционная функция

График: Автокорреляционная функция (АКФ)

Что изображено:

• По оси абсцисс: значение задержки (лаг) ΔN от −N до +N

• По оси ординат: коэффициент автокорреляции R(τ)

• Синяя вертикальная линия в центре при τ=0— всегда равна 1, так как это автокорреляция сигнала с самим собой.

Все R укладываются в доверительную полосу ±0.10.

У стационарного процесса автокорреляция должна зависеть только от лагов, а не от времени. Если ACF быстро убывает к нулю — это признак стационарности. Если ACF долго затухает или убывает медленно — признак нестационарности, возможно, наличие тренда или цикличности. В данном случае ACF затухает, а значит, можно утверждать о стационарности процесса.

Рис. 5 ВКФ 2-х половин ВХ

График: ВКФ 2-х половин ВХ

Что изображено: — Это взаимная корреляционная функция (ВКФ) между двумя равными половинами входного сигнала (ВХ). — По оси X: сдвиг ΔN между двумя половинами. — По оси Y: коэффициент корреляции R от -0.2 до +0.2.

Вывод:

• Две половины выборки статистически независимы.

• Это признак эргодичности по корреляции: одна реализация уже даёт достоверную информацию.

• Подтверждает, что входной процесс стационарен и эргодичен — его характеристики не зависят от временного положения сегмента.

На рис. 5 все значения R близки к нулю. Это значит, что две половины статистически эквивалентны и не содержат систематического сдвига.

Рис. 6 Графики "ВХ-А0", "СС", "АРСС"

Сравнение графиков "ВХ–A0", "CC", "АРСС"

Что показано:

• Синий: входной сигнал минус среднее (ВХ–A0)

• Красный: модель СС

• Зеленый: модель АРСС Вывод:

• АРСС (зеленый) ближе к исходному сигналу, чем СС (красный)

• СС-сглаживание теряет резкие перепады АРСС точнее отражает детали сигнала

Рис. 7 Графики остатков шумов

Остатки шумов: (ВХ–A0)–CC и (ВХ–A0)–АРСС

Что показано:

• Черный: ошибка модели СС

• Зелёный: ошибка модели АРСС

Вывод:

• Ошибки АРСС лежат ближе к нулю

• Модель СС даёт большие отклонения АРСС имеет меньшую ошибку восстановления

Рис. 8 График СПМ моделей "СС" и "АРСС"

СПМ моделей СС и АРСС

Что показано:

• Частотный спектр мощностей (СПМ)

• Красный — СС, зелёный — АРСС

Вывод:

• У АРСС — более сложная частотная структура, сохраняются пики

• У СС — сглаженный спектр АРСС лучше сохраняет частотные особенности

Рис. 9 График ошибок апроксимации ДКП моделей "СС" и "АРСС"

Ошибки аппроксимации после ДКП

Что показано:

• Разность после дискретного косинус-преобразования (ДКП) Вывод:

• Ошибки у обеих моделей в пределах ±4e-14 — это численные погрешности Аппроксимация по ДКП выполнена почти идеально

Рис. 10 Исходные и экстраполированные данные по моделям "СС" и "АРСС"

Исходные и экстраполированные данные (СС и АРСС)

Что показано:

• Сравнение исходных и синтезированных сигналов

• Синий — вход, красный — СС, зеленый — АРСС Вывод:

• АРСС лучше повторяет форму входа

• СС «размывает» пики АРСС точнее экстраполирует.

Рис. 11 ВКФ исходного и экстраполированного массива по модели "СС"

ВКФ: входной и экстраполированный массив по СС

Вывод:

• Пик в 0, остальное в пределах ±0.05

• Шумоподобная картина Модель СС воспроизводит некоррелированный сигнал

Рис. 12 ВКФ исходного и экстраполированного массива по модели "АРСС"

ВКФ: входной и экстраполированный массив по АРСС

Вывод:

• Пик в центре больше ≈ 0.85

• Небольшая автокорреляция АРСС лучше сохраняет корреляционную структуру

Рис. 13 Функции распределения

Функции распределения

Что видно:

• Чёрная — теоретическая функция

• Синяя – эмпирическая функция

• Зеленая – АРСС модель

• Красная – СС модель

Вывод:

Все близки, но АРСС (зеленая) точнее

Рис. 14 Функции плотности вероятности

Плотность вероятности (PDF)

Что видно:

• Синий — оригинал, зеленый — АРСС, красный — СС

Вывод:

• АРСС ближе по форме к исходному

• СС смещён и даёт сглаженные пики АРСС точнее описывает плотность